Análise Numérica de Equações Diferenciais Parciais (introdução)

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An´lise Num´rica de Equa¸oes Diferenciais Parciais a e c˜ (uma introdu¸ao) c˜ 2 1 0 1 0.5 0 -0.5 -2 -1 -1 -2 -1 0 1 2 Carlos J. S. Alves Departamento de Matem´tica a Instituto Superior T´cnico e Universidade T´cnica de Lisboa e (Vers˜o 0.3 — Julho de 2008) a Ind´ ıce I Introdu¸˜o ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 7 7 8 9 10 11 13 15 1 No¸oes gerais c˜ 1.1 Exemplos de Equa¸˜es Diferenciais Parciais . . . . . . . . co 1.1.1 Exemplo 1 — Equa¸ao de Poisson . . . . . . . . . . c˜ 1.1.2 Exemplo 2 - Equa¸ao do Calor . . . . . . . . . . . c˜ 1.1.3 Exemplo 3 - Equa¸ao das Ondas . . . . . . . . . . c˜ 1.2 Aproxima¸˜o de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . ca 1.2.1 Aproxima¸˜o usando Coeﬁcientes Indeterminados. ca 1.2.2 Aproxima¸˜o de derivadas . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2.3 Expans˜o simb´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . a o II M´todo das Diferen¸as Finitas e c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 20 21 26 27 29 30 30 32 33 34 38 39 43 45 46 46 47 49 50 2 Diferen¸as Finitas em Problemas El´ c ıpticos 2.1 Equa¸˜o de Laplace/Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.1.1 Resultados elementares . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Princ´ ıpio do M´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.1.4 Problema bem-posto . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Diferen¸as Finitas - Equa¸ao de Poisson . . . . . . . . . . c c˜ 2.2.1 Aproxima¸˜o do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . ca 2.2.2 Equa¸˜es nos pontos interiores . . . . . . . . . . . co 2.2.3 As condi¸˜es de fronteira . . . . . . . . . . . . . . co 2.2.4 O problema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 O sistema linear no caso de um rectˆngulo . . . . . a 2.2.6 Dom´ ınio gen´rico - aplica¸˜o de m´todos iterativos e ca e 2.2.7 Convergˆncia e estimativa de erro . . . . . . . . . e 2.2.8 Caso tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Outras equa¸˜es e sistemas el´ co ıpticos . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Bilaplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Elasticidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Sistema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Exemplos computacionais (Laplaciano) . . . . . . . . . . . 1 3 Diferen¸as Finitas em Problemas de Evolu¸˜o c ca 3.1 Equa¸˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3.1.1 Diferen¸as ﬁnitas para a equa¸˜o do calor . . c ca 3.2 Esquema Expl´ ıcito para a Equa¸˜o do Calor . . . . . ca 3.2.1 Consistˆncia do Esquema Expl´ e ıcito . . . . . . 3.2.2 Estabilidade do Esquema Expl´ ıcito . . . . . . 3.2.3 Convergˆncia do Esquema Expl´ e ıcito . . . . . 3.3 Consistˆncia, Estabilidade e Teorema de Lax . . . . e 3.3.1 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Consistˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.3 Convergˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Esquemas θ para a Equa¸˜o do Calor . . . . . . . . ca 3.4.1 Esquema Impl´ ıcito (puro) . . . . . . . . . . . 3.4.2 Esquemas impl´ ıcitos θ . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Simula¸˜es num´ricas . . . . . . . . . . . . . co e 3.5 Redu¸˜o a um sistema linear de EDO’s . . . . . . . ca 3.6 Equa¸˜o das Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3.6.1 Caso unidimensional (1D+1T) . . . . . . . . 3.6.2 Sistema de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Esquema expl´ ıcito inst´vel . . . . . . . . . . . a 3.6.4 Esquema impl´ ıcito . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5 Esquema expl´ ıcitos condicionalmente est´veis a 3.6.6 Esquemas de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 54 56 57 58 59 60 61 61 62 62 63 63 65 68 70 70 71 72 74 75 75 78 III M´todo dos Elementos Finitos e . . . . . . . . . . . . . . de energia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 81 . 81 . 85 . 87 . 90 . 93 . 99 . 100 . . . . . . . . . 102 102 105 108 109 110 111 112 118 119 4 M´todo de Galerkin e 4.1 Formula¸˜o Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . ca 4.2 Formula¸˜o abstracta . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 4.2.1 Equivalˆncia I (Caso sim´trico - minimiza¸˜o e e ca 4.2.2 Equivalˆncia II (Formula¸˜es fraca e forte) . e co 4.2.3 Teoremas fundamentais . . . . . . . . . . . . 4.3 Formula¸˜o Variacional Discreta . . . . . . . . . . . ca 4.3.1 Fun¸˜es base . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 5 Interpola¸˜o por Elementos Finitos ca 5.1 Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . 5.2 Discretiza¸˜o geom´trica (malhagem) . . . . ca e 5.2.1 Constru¸˜o da Triangula¸˜o . . . . . ca ca 5.3 Elementos Finitos - Tripleto . . . . . . . . . 5.3.1 Elementos de Lagrange Lineares . . 5.3.2 Elementos de Lagrange Quadr´ticos a 5.3.3 Outros elementos ﬁnitos . . . . . . . 5.3.4 Elementos equivalentes aﬁns . . . . . 5.4 Interpola¸˜o Local e Global . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.4.1 5.4.2 5.4.3 Interpola¸˜o local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ca Interpola¸˜o global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ca Constru¸˜o da interpola¸˜o global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ca ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 124 124 129 134 134 135 137 138 138 139 140 141 142 147 147 147 148 151 151 151 153 154 154 155 6 Estimativas de Erro e Integra¸˜o ca 6.1 Estimativas para o erro de interpola¸˜o . . . . . . . . . . ca 6.1.1 Espa¸o quociente por polin´mios . . . . . . . . . . c o 6.1.2 Estimativas Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Estimativas de erro do M´todo de Galerkin . . . . . . . . e 6.2.1 Regularidade da solu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . ca 6.2.2 Estimativas de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Erro de aproxima¸˜o do dom´ ca ınio . . . . . . . . . . 6.3 Integra¸˜o num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca e 6.3.1 Integra¸˜o de Gauss em cada elemento . . . . . . . ca 6.3.2 Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 F´rmulas de Gauss para o Quadrado de Referˆncia o e 6.3.4 F´rmulas de Gauss para o Triˆngulo de Referˆncia o a e 6.3.5 O erro na integra¸˜o num´rica . . . . . . . . . . . ca e 7 Complementos - M´todo de Galerkin e 7.1 M´todo de Galerkin-Estrutura do Sistema Linear e 7.1.1 Numera¸˜o dos n´s e dos triˆngulos . . . ca o a 7.1.2 Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Outras Condi¸˜es de Fronteira . . . . . . . . . . co 7.2.1 Condi¸˜o de Dirichlet n˜o homog´nea . . ca a e 7.2.2 Condi¸˜o de Neumann . . . . . . . . . . . ca 7.2.3 Condi¸˜es mistas Dirichlet-Neumann . . . co 7.3 Outros Problemas El´ ıpticos . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Bilaplaciano (equa¸˜o das placas) . . . . . ca 7.3.2 Elasticidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Apˆndices e . . . . . . . . . . . . . . . . ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 159 159 162 164 164 165 168 169 171 173 174 8 Complementos de apoio 8.1 F´rmulas Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.2 Espa¸os de Hilbert e Dualidade . . . . . . . . . . . . . . c 8.3 Algumas no¸˜es em Espa¸os de Sobolev . . . . . . . . . co c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Espa¸os L c 8.3.2 O espa¸o H 1 (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . c 8.3.3 O espa¸o H 1 ( ) com ⊂ Rd . . . . . . . . . . . c 8.3.4 Espa¸os de Sobolev W m,p ( ) . . . . . . . . . . . c 8.3.5 Tra¸o de uma fun¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . c ca 8.3.6 Dualidade - Espa¸os de Sobolev negativos, H −s ( c 8.3.7 Resultados em espa¸os de Sobolev . . . . . . . . c 3 9 Exerc´ ıcios 175 9.1 Diferen¸as ﬁnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 c 9.2 Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4 Pref´cio a O presente texto resulta de um texto anterior de 2002, usado para a disciplina de M´todos e Num´ricos para Problemas El´ e ıpticos, disciplina que foi leccionada no Instituto Superior T´cnico, e no quarto ano da Licenciatura em Matem´tica Aplicada e Computa¸˜o para os alunos que a ca seguiam a especializa¸˜o em An´lise Num´rica e tamb´m como cadeira introdut´ria para a ca a e e o mesma especializa¸˜o no Mestrado em Matem´tica Aplicada. Actualmente, essa disciplina deu ca a lugar a An´lise Num´rica de Equa¸˜es Diferenciais Parciais, onde o conte´do program´tico inclui a e co u a tamb´m uma parte de problemas de evolu¸˜o. e ca A escolha foi dividir a mat´ria em dois grandes t´picos - M´todos de Diferen¸as Finitas e e o e c M´todo dos Elementos Finitos. Na primeira parte inclui-se n˜o apenas a aproxima¸˜o de problee a ca mas el´ ıpticos, mas tamb´m problemas de evolu¸˜o, concentrando-se no caso unidimensional em e ca espa¸o. Na segunda parte ´ apenas abordado o caso estacion´rio, por uma quest˜o de exiguidade c e a a temporal. Esta divis˜o em duas partes ´ tamb´m uma divis˜o conceptual entre a aproxima¸˜o a e e a ca forte, ilustrada pelo m´todo das diferen¸as ﬁnitas, e aproxima¸˜o fraca, ilustrada pelo m´todo e c ca e dos elementos ﬁnitos. Como o assunto ´ demasiado vasto, foram feitas algumas simpliﬁca¸˜es do ponto vista te´rico, e co o j´ que um dos objectivos da cadeira ´ tamb´m a implementa¸˜o computacional efectiva. A implea e e ca menta¸˜o computacional dos m´todos n˜o ´ trivial para o caso bidimensional ou tridimensional, ca e a e especialmente quando se consideram dom´ ınios arbitr´rios; aqui ´ apenas focado com maior dea e talhe o caso bidimensional. A teoria matem´tica dos elementos ﬁnitos n˜o ´ trivial e necessita de a a e utilizar conhecimentos em espa¸os de Sobolev, pelo que ´ feita uma introdu¸˜o te´rica (grande c e ca o parte em apˆndice). e ´ E claro que neste curso introdut´rio n˜o h´ tempo para introduzir outros m´todos num´ricos, o a a e e como o m´todo dos elementos de fronteira, nem t˜o pouco h´ tempo para entrar num maior e a a detalhe acerca do pr´prio m´todo dos elementos ﬁnitos. O objectivo do curso ´ apenas introo e e duzir conhecimentos que poder˜o (e dever˜o...) ser complementados atrav´s da leitura de obras a a e referenciadas na bibliograﬁa. Carlos J. S. Alves 5 Parte I Introdu¸˜o ca 6 Cap´ ıtulo 1 No¸oes gerais c˜ co Um objectivo deste cap´ ıtulo inicial ´ apresentar alguns problemas no quadro das equa¸˜es com e derivadas parciais, come¸ando por apresentar a cl´ssica distin¸˜o entre problemas el´ c a ca ıpticos, parab´licos e hiperb´licos atrav´s da classiﬁca¸˜o do operador diferencial envolvido e tamb´m o o e ca e atrav´s dos exemplos mais cl´ssicos, com aplica¸˜es directas em problemas f´ e a co ısicos. O outro objectivo ´ apresentar algumas no¸˜es de aproxima¸˜o de operadores diferenciais, recorrendo ` e co ca a no¸˜o de delta de Dirac, enquanto elemento base dessas aproxima¸˜es no sentido cl´ssico, e ao ca co a mesmo tempo obter algumas aproxima¸˜es que ser˜o uteis para o m´todo das diferen¸as ﬁnitas. co a ´ e c 1.1 Exemplos de Equa¸oes Diferenciais Parciais c˜ Uma rela¸˜o entre formas quadr´ticas e as equa¸˜es diferenciais parciais de segunda ordem, ca a co pode ser estabelecida de forma na¨ve motivando a distin¸˜o habitual entre problemas el´ ı ca ıpticos, parab´licos e hiperb´licos. As vari´veis nas derivadas parciais s˜o substitu´ o o a a ıdas por vari´veis a cartesianas e podemos ver que isso corresponde ` classiﬁca¸˜o habitual em c´nicas. a ca o Vejamos alguns dos exemplos mais signiﬁcativos nas aplica¸˜es, e que correspondem a exco emplos cl´ssicos de operadores diferenciais el´ a ıpticos, parab´licos ou hiperb´licos. o o 1.1.1 Exemplo 1 — Equa¸˜o de Poisson ca O operador diferencial el´ ıptico mais simples e importante ´ o operador de Laplace: e 2 2 = ∂1 + ... + ∂d . 2 2 No caso 2D temos = ∂x + ∂y e se relacionarmos com Q(x, y) = x2 + y 2 , torna-se clara a raz˜o de lhe chamar el´ a ıptico. A equa¸˜o diferencial associada num dom´ ca ınio (aberto). ⊂ Rd , u = f, em (1.1) ´ conhecida como Equa¸ao de Poisson. e c˜ No caso homog´neo, f = 0, a equa¸˜o u = 0 ´ conhecida como Equa¸ao de Laplace e as e ca e c˜ suas solu¸˜es s˜o tamb´m designadas fun¸oes harm´nicas. co a e c˜ o ınio ´ limitado, e problemas exe Distingue-se entre problemas interiores em que o dom´ ınio ´ o complementar de um dom´ e ınio limitado. No primeiro caso teriores, em que o dom´ 7 imp˜em-se apenas condi¸˜es sobre a fronteira, e no segundo caso, h´ que considerar um comporo co a tamento assimpt´tico no inﬁnito, o que corresponde a considerar o inﬁnito como uma fronteira o artiﬁcial. Condi¸oes de Fronteira. Para equa¸˜es diferenciais de segunda ordem, as condi¸oes de c˜ co c˜ fronteira habituais s˜o: a • Condi¸˜o de Dirichlet: u = g, sobre ∂ ca • Condi¸˜o de Neumann: ∂n u = g, sobre ∂ ca O s´ ımbolo ∂n designa a derivada normal, deﬁnida pelo produto interno do vector normal n = (n1 , ..., nd ) com o gradiente = (∂1 , ..., ∂d ) ∂n u = u·n (1.2) Por conven¸˜o, a normal n aponta sempre para o exterior de . Trata-se de uma fun¸˜o deﬁnida ca ca em cada ponto da fronteira ∂ que toma valores vectoriais. Est´ bem deﬁnida se a fronteira a for regular (variedade C 1 de dimens˜o d − 1), ou pelo menos seccionalmente regular (o conjunto a dos pontos onde n˜o est´ bem deﬁnida tem medida nula). Consideram-se ainda condi¸oes de a a c˜ fronteira mistas, em que numa parte da fronteira ´ imposta a condi¸˜o de Dirichlet e na restante e ca Neumann, ou ainda condi¸oes de Robin, da forma ∂n − Zu = g, em que Z ´ uma fun¸˜o n˜o c˜ e ca a negativa. Ω ∆u = f ∂Ω ∂nu Figura 1.1.1: Ilustra¸ao de um problema de Poisson com condi¸oes de Neumann na fronteira. c˜ c˜ As equa¸˜es de Poisson servem de modelo a muitos fen´menos, nomeadamente electrost´tica co o a (nesse caso u ´ o potencial electrost´tico e trata-se da Lei de Ohm para a conductividade e a el´ctrica), termodinˆmica (nesse caso u ´ a temperatura e trata-se da Lei de Fourier da conduce a e tividade t´rmica), concentra¸˜o qu´ e ca ımica (sendo u a concentra¸˜o qu´ ca ımica, trata-se da Lei da Difus˜o de Fick), escoamento de ﬂuidos perfeitos (nesse caso u ser´ um potencial e u o campo a a de velocidades), etc. Trata-se de um modelo para situa¸˜es de equilibrio. co 1.1.2 Exemplo 2 - Equa¸˜o do Calor ca Um exemplo de equa¸˜o diferencial parab´lica est´ associada com o operador de difus˜o: ca o a a Du = ∂t u − κ u, 8 (1.3) em que κ ´ uma constante de difus˜o. Esta equa¸˜o tem uma forma mais geral considerando κ e a ca como fun¸˜o, Du = ∂t u − · (κ u), mas iremos concentrar-nos no caso constante. ca O operador D ´ designado por parab´lico pois ´ facilmente associado a uma forma quadr´tica e o e a 2 e Q(x, t) = t − κx2 = 0 corresponde ` equa¸˜o da parab´lica. No caso 1D+1T, D = ∂t u − κ∂x o a ca 2 2 par´bola t = κx2 ; e no caso 2D+1T, D = ∂t u − κ(∂x + ∂y ) temos Q(x, y, t) = t − κ(x2 + y 2 ) = 0 a associado ` equa¸˜o do parabol´ide t = κ(x2 + y 2 ). a ca o A equa¸ao do calor c˜ ∂t u − u=f (1.4) modela a evolu¸˜o da temperatura de um corpo. No caso homog´neo, f = 0, assume-se que n˜o ca e a h´ fontes de calor internas. a Para al´m disso, pode tamb´m servir para modelar a concentra¸˜o qu´ e e ca ımica de produtos (o que ´ util em engenharia do ambiente, para controle de polui¸˜o... nesse caso considera-se e ´ ca tamb´m uma parte de advec¸˜o). A equa¸˜o do calor ´ tamb´m utilizada em modelos ﬁnanceiros e ca ca e e (equa¸˜es de Black-Scholes), por via da teoria de equa¸oes diferenciais estoc´sticas. Finalmente, co c˜ a notamos ainda a semelhan¸a com a equa¸˜o de Schr¨dinger i ∂t u − u = V, no caso homog´neo c ca o e ou quando o potencial V n˜o depender de u. a Condi¸oes Iniciais. Como se trata de uma equa¸˜o de evolu¸˜o, a vari´vel temporal ´ c˜ ca ca a e substantivamente diferente das vari´veis espaciais. Assim, normalmente o dom´ a ınio ´ da forma e ×]t0 , +∞[ em que representa o dom´ ınio espacial, t0 representa o instante inicial, podendo ainda considerar-se um instante ﬁnal tf > t0 . A fronteira tem assim duas componentes, uma espacial ∂ ×]t0 , +∞[ e uma temporal ¯ × {t0 }. Na parte temporal ´ imposta uma condi¸ao de e c˜ valores iniciais, da forma u(x, t0 ) = u0 (x), (x ∈ ¯ ), e na parte da fronteira espacial consideramos, para o problema de Dirichlet, u(x, t) = uΓ (x, t), (x, t) ∈ ∂ ×]t0 , +∞[, sendo conveniente compatibilizar os valores em ∂ , u0 (x) = uΓ (x, 0+ ) para x ∈ ∂ . 1.1.3 Exemplo 3 - Equa¸˜o das Ondas ca Um exemplo de operador diferencial hiperb´lico ´ o operador de d’Alembert: o e 2 u = ∂t u − u (1.5) 2 2 2 em que, por exemplo, no caso 1T+2D, = ∂t u − (∂x + ∂y ) est´ associado a Q(t, x, y) = a 2 − (x2 + y 2 ), o que deﬁne um hiperbol´ide. t o A equa¸ao das ondas c˜ 2 ∂t u − u=f (1.6) modela a evolu¸˜o da amplitude das ondas ac´sticas ao longo do tempo. No caso homog´neo, ca u e f = 0, assume-se que n˜o h´ fontes ac´sticas internas que perturbem essa evolu¸˜o. O dom´ a a u ca ınio ca pode ser considerado, tal como no caso anterior, ×]t0 , +∞[, com eventual limita¸˜o por um a co e ca instante ﬁnal tf . Relativamente `s condi¸˜es de fronteira, este caso ´ semelhante ao da equa¸˜o 9 das ondas, mas como o operador diferencial envolve uma segunda derivada no tempo, h´ duas a condi¸˜es iniciais a impor, co u(x, t0 ) = u0 (x), ∂t u(x, t0 ) = u1 (x), (x ∈ ¯ ), (x ∈ ¯ ). Equa¸˜es semelhantes a esta, mas em que o laplaciano ´ substitu´ por outros operadores co e ıdo diferenciais vectoriais (Maxwell, Lam´), modelam a propaga¸˜o de ondas electromagn´ticas ou e ca e ondas el´sticas (respectivamente). a 1.2 Aproxima¸˜o de Operadores Lineares ca Recordamos a no¸˜o de operador linear A : X → Y, entre dois espa¸os de Banach X, Y , e a ca c norma de operadores associada ||A||L(X,Y ) = sup x=0 ||Ax||Y . ||x||X (1.7) Alguns dos operadores que iremos considerar est˜o deﬁnidos em espa¸os C p (V ), em que V ´ um a c e d . Recordamos normas associadas a estes espa¸os de fun¸˜es conjunto compacto em R c co ||f ||C p (V ) = max ||f (x)|| + max || f (x)|| + ... + max || x∈V x∈V x∈V p f (x)|| (1.8) em que p representa o tensor ∂i1 · · · ∂ip das derivadas parciais com ´ ındices i1 , ..., ip ∈ {1, ..., p}. No caso unidimensional, temos simplesmente ||f ||C p (V ) = max ||f (x)|| + max ||∂f(x)|| + ... + max ||∂ p f (x)|| x∈V x∈V x∈V (1.9) em que ∂ representa o operador de deriva¸˜o. ca Para efeitos de aproximar operadores A que actuem sobre um dom´ ınio D(A) ⊂ C(V ), interessa-nos deﬁnir operadores simples, que podem servir como base dessas aproxima¸˜es, em co particular iremos considerar deltas de Dirac. Deﬁni¸˜o 1.2.1 Dado um ponto x ∈ V, e fun¸oes f ∈ C(V ), o operador linear ca c˜ δx (f ) = f (x), ´ designado delta de Dirac, centrado em x. e Em muitos casos as aproxima¸˜es s˜o combina¸˜es lineares de deltas de Dirac co a co ˜ A = α0 δx0 + · · · + αn δxn , Regras num´ricas bem conhecidas s˜o caso particular de aproxima¸˜es de operadores difere a co enciais e integrais por deltas de Dirac. Essas aproxima¸˜es s˜o normalmente deduzidas de forma co a a que a aproxima¸˜o seja exacta para polin´mios de um determinado grau. Pela expans˜o em ca o a s´rie de Taylor, ´ expect´vel que a f´rmula sendo v´lida para polin´mios de um determinado e e a o a o grau, permita uma boa aproxima¸˜o para fun¸˜es regulares, ou anal´ ca co ıticas. Designaremos por A(V ) o espa¸o de fun¸˜es anal´ c co ıticas num conjunto V ⊂ Rd . No que se segue iremos admitir que A(V ) ⊂ D(A), ou seja que os operadores est˜o deﬁnidos a para fun¸˜es anal´ co ıticas. 10 (1.10) Deﬁni¸˜o 1.2.2 Seja d = 1. Dizemos que uma aproxima¸ao A de um operador linear A tem ca c˜ ˜ pelo menos grau m se for exacta para mon´mios de grau menor ou igual a m. Ou seja, o ˜ A(#k ) = A(#k ), (k = 0, · · · , m), (1.11) com #k (x) = xk . Uma aproxima¸ao com pelo menos grau m diz-se ter grau m se n˜o tiver grau c˜ a m + 1. k No caso de dimens˜o d > 1, a deﬁni¸ao ´ semelhante entendendo #k = #11 · · · #kd . a c˜ e d Deve distinguir-se grau, ou grau soma, de grau m´ximo. No caso do grau soma exige-se |k|1 = a k1 + · · · + kd ≤ m, enquanto no caso de grau m´ximo exige-se |k|∞ = max{k1 , · · · , kd } ≤ m. a Observa¸ao: No caso multidimensional, temos duas classiﬁca¸˜es de graus de polin´mios, c˜ co o em que a no¸˜o grau m´ximo m inclui todos os polin´mios de grau m, pois |k|∞ ≤ |k|1 ≤ m. ca a o Exigir que uma f´rmula tenha grau m´ximo m ´ mais forte que exigir grau m. Por exemplo se o a e a aproxima¸˜o tiver grau m´ximo 3, isso inclui a veriﬁca¸˜o para um mon´mio de grau 5, por ca a ca o 2 exemplo, #3 #2 (x) = x3 x2 . 1 2 1 1.2.1 Aproxima¸˜o usando Coeﬁcientes Indeterminados. ca O m´todo mais simples que permite obter aproxima¸˜es de um certo grau, consiste em deﬁnir e co uma combina¸˜o cujos coeﬁcientes s˜o determinados pela resolu¸˜o de um sistema linear. Por ca a ca ˜ exemplo, consideramos A uma aproxima¸˜o que ´ combina¸˜o linear de operadores dados (norca e ca ˜ malmente mais simples) Aj , n ˜ A= j=0 ˜ αj Aj (1.12) Os coeﬁcientes α1 , · · · , αn podem ser determinados pela resolu¸˜o do sistema linear ca n ˜ A(ϕi ) = A(ϕi ) ⇐⇒ A(ϕi ) = ˜ αj Aj (ϕi ) j=0 (i = 0, ..., n) em que ϕk s˜o fun¸˜es base de teste, e para efeitos de impor um grau n, ser˜o os mon´mios #k a co a o at´ grau n. e Matriz de Vandermonde. A aplica¸˜o do m´todo dos coeﬁcientes indeterminados no caso unidimensional com mon´mios, ca e o ˜ leva a um sistema de Vandermonde, considerando aproxima¸oes por operadores Aj = δyj c˜ ˜ deﬁnidos por deltas de Dirac em n´s y0 , · · · , ym pr´-estabelecidos. Neste caso, Aj (ϕi ) = δyj (#i ) = o e i (y ) = y i , e portanto, veriﬁcando para os mon´mios #0 , · · · , #n , obtemos um sistema (n + # j o j 1) × (m + 1)      1 ··· 1 α0 A(#0 )  . ..  . .  .  =  .  .   . (1.13)  .  . . . . . n · · · yn n) y0 αm A(# m i e em que a matriz do sistema M = [yj ] ´ habitualmente quadrada (n = m), e ´ designada matriz e e ıvel, de Vandermonde (transposta). Nesse caso, o sistema, ainda que mal condicionado, ´ invert´ 11 permitindo obter os coeﬁcientes que deﬁnem uma aproxima¸ao A do operador A, que tem pelo c˜ ˜ ´ ainda poss´ menos grau n. E ıvel considerar como inc´gnitas os pr´prios n´s yj , o que permite o o o obter graus n > m. No entanto, nesse caso o sistema deixa de ser linear (e a sua apresenta¸˜o ca matricial n˜o ter´ signiﬁcado util). a a ´ Observa¸ao: Uma aproxima¸˜o de grau m n˜o signiﬁca uma aproxima¸˜o de ordem m. Por c˜ ca a ca exemplo, no caso de integra¸˜o num´rica, as aproxima¸oes de grau m correspondem normalmente ca e c˜ a aproxima¸˜es de ordem m + 1. Na deriva¸˜o num´rica, uma aproxima¸˜o de grau m para a co ca e ca primeira derivada tem normalmente ordem m, mas para a segunda derivada tem ordem m − 1. Como regra emp´ ırica (podendo ser enunciada mais precisamente): uma aproxima¸˜o de grau m ca para a deriva¸˜o de ordem q ter´ normalmente uma ordem de aproxima¸˜o m − q + 1. ca a ca Exemplo conhecido: a) Regra de quadratura dos trap´zios simples. e Relembramos o caso em que o operador considerado consiste na integra¸˜o de fun¸˜es ca co cont´ ınuas f ∈ C([a, b], Y ), b I(f ) = a f (t)dt. ˜ Se procurarmos uma aproxima¸˜o com os n´s de integra¸˜o a e b, na forma I = αδa + βδb , que ca o ca tenha pelo menos grau 1, obtemos o sistema 1 1 a b α β = I(#0 ) I(#1 ) = 1 2 2 (b b−a − a2 ) cuja solu¸˜o α = β = 1 (b − a), d´ exactamente a Regra dos trap´zios. Portanto o operador ca a e 2 b integral I = a · pode ser rudemente aproximado por uma combina¸˜o linear de 2 deltas de ca Dirac ˜ (b − a) (δa + δb ). I= 2 Esta aproxima¸˜o pode ser concretizada exactamente para fun¸˜es em D(I) = C 2 [a, b], atrav´s ca co e da express˜o de erro (∂ representa o operador de deriva¸˜o), a ca (b − a) ˜ ∃ξ∈(a,b) : I − I = − δξ ∂ 2 12 b) Regra de quadratura dos trap´zios composta. e Como ´ bem conhecido, usando subintervalos de comprimento h = (b − a)/n, deﬁnindo n + 1 e n´s, xk = a + kh, k ∈ {0, 1, · · · , n}, temos ainda a regra dos trap´zios composta em C 2 [a, b], o e b 3 ∃ξn ∈(a,b) : a · = (b − a) 1 n n k=0 1∗ δxk − k h2 δξ ∂ 2 , 12 n ¯ em que 1∗ representa uma fun¸˜o caracter´ ca ıstica para o conjunto dos ´ ındices J = {0, · · · , n}, k mais concretamente,  k ∈ J = {1, · · · , n − 1}  1, 1∗ = 1/2, k ∈ ∂J = {0, n} . k  ¯ 0, k∈J / 12 O termo de erro com a segunda derivada permite assim garantir que a f´rmula tem grau 1, o e tamb´m que ´ poss´ e e ıvel, para fun¸˜es C 2 , uma boa aproxima¸˜o do integral I por uma simples co ca soma ponderada de deltas de Dirac, n ˜ In = h k=0 1∗ δxk . k De facto, obtemos uma boa aproxima¸˜o na norma dos funcionais L(C 2 [a, b], R) ca ˜ I − In L(C 2 [a,b],R) = − h2 δξ ∂ 2 12 n = L(C 2 [a,b],R) h2 12 sup f =0 f ∈C 2 [a,b] δξn ∂ 2 f h2 ≤ , ||f ||C 2 [a,b] 12 resultante de |f (ξn )| ≤ ||f ||C 2 [a,b] . 1.2.2 Aproxima¸˜o de derivadas ca Um outro exemplo conhecido ´ a aplica¸˜o de regras num´ricas na aproxima¸˜o de operadores e ca e ca de deriva¸˜o. Por exemplo, ﬁxando um ponto z, e sendo δz ∂f = f (z) o operador de deriva¸˜o ca ca ˜z que, estabelecido um espa¸amento h > 0, nesse ponto, consideramos as aproxima¸˜es cl´ssicas ∂ co a c usam como n´s z − h, z, z + h. o ca ˜ A aplica¸˜o do m´todo dos coeﬁcientes indeterminados para a aproxima¸˜o ∂z = α0 δz−h + ca e α1 δz + α2 δz+h leva `s equa¸˜es a co   δz ∂#0 = (α0 δz−h + α1 δz + α2 δz+h )(#0 ) ⇔ 0 = α0 + α1 + α2 δ ∂#1 = (α0 δz−h + α1 δz + α2 δz+h )(#1 ) ⇔ 1 = α0 (z − h) + α1 z + α2 (z + h)  z 2 δz ∂# = (α0 δz−h + α1 δz + α2 δz+h )(#2 ) ⇔ 2z = α0 (z − h)2 + α1 z 2 + α2 (z + h)2 1 Das duas primeiras equa¸˜es tem-se (α2 − α0 ) = h e h´ v´rias possibilidades de aproxima¸˜es co a a co o grau. Por exemplo, α = 0 implica α = 1 e α = −α = − 1 , o que nos d´ as diferen¸as de 1 a c 0 2 1 2 h h progressivas, e de forma semelhante α2 = 0 leva `s diferen¸as regressivas. Para obtermos uma a c aproxima¸˜o de segundo grau, a terceira equa¸˜o implica 2z = 2(α2 − α0 )zh + 2(α2 + α0 )h2 , ou ca ca 1 1 ainda z = z + (α2 + α0 )h2 ⇔ α2 = −α0 . A solu¸˜o ´ unica α2 = 2h , α0 = − 2h e portanto α1 = 0, ca e ´ donde se obt´m a f´rmula com diferen¸as centradas. Este sistema d´-nos as trˆs principais e o c a e aproxima¸˜es que iremos considerar para a primeira derivada: co Diferen¸as progressivas c f (z + h) − f (z) ˜+ ∂z (f ) = = f [z, z + h], h (1.14) 1 1 ˜ ˜ ou seja δz ∂ ´ aproximado por δz ∂ + = h (δz+h − δz ) = δ[z, z + h], com ∂ + = h (τh − 1), em que e τh (f ) = f (# + h), e 1 representa a identidade. Diferen¸as regressivas. c f (z) − f (z − h) ˜− ∂z (f ) = , h 1 1 ˜ ˜ ou seja δz ∂ ´ aproximado por δz ∂ − = h (δz − δz−h ) = δ[z − h, z], com ∂ − = h (1 − τ−h ). e (1.15) 13 Diferen¸as centradas c f (z + h) − f (z − h) ˜ ∂z (f ) = , 2h (1.16) 1 1 ˜ ˜ ou seja δz ∂ ´ aproximado por δz ∂ = 2h (δz+h − δz−h ) = δ[z − h, z + h], com ∂ = 2h (τh − τ−h ). e ˜ ´ E tamb´m comum considerar-se metade do espa¸amento, ou seja, ∂z = δ[z − h , z + h ]. e c 2 2 • O m´todo dos coeﬁcientes indeterminados permite obter aproxima¸˜es, mas n˜o nos d´ e co a a uma express˜o para o erro cometido nessas aproxima¸˜es. Para esse efeito podemos considerar a co um outro m´todo, atrav´s da expans˜o de Taylor, e e a   α0 f (z − h) = α0 f (z) − α0 hf (z) + α0 h2 f (z) − α0 h3 f (z) + α0 h4 f (ξ − )  2 3! 4! α1 f (z) = α1 f (z)   α f (z + h) = α f (z) + α hf (z) + α h2 f (z) + α h3 f (z) + α h4 f (ξ + ) 2 2 2 2 2 2 3! 2 4! Somando obtemos α0 f (z − h) + α1 f (z) + α2 f (z + h) = (α0 + α1 + α2 )f (z) + (α2 − α0 )hf (z) + ..., ou seja iremos obter as equa¸˜es nos coeﬁcientes que tamb´m se deduziram pelo m´todo dos co e e coeﬁcientes indeterminados, mas haver´ ainda uma parte que cont´m o erro, pois n˜o foram a e a consideradas aproxima¸˜es. Consoante se pretenda obter a primeira, a segunda ou at´ a terceira co e derivada, podemos exigir que os coeﬁcientes sejam 0 ou 1. Por exemplo, para a primeira derivada, para conseguir uma aproxima¸˜o de 3a ordem dever´ ca ıamos obter, (α0 + α1 + α2 ) = 0, (α2 − α0 )h = 1, (α0 + α2 ) h2 = 0, 2 (α2 − α0 ) h3 = 0, 3! o que ´ imposs´ e ıvel, devendo retirar-se a ultima condi¸ao. Assim voltamos a uma aproxima¸˜o ´ c˜ ca 1 de 2a ordem onde obtemos novamente α1 = 0, α2 = −α0 = 2h , podendo escrever-se f (z + h) − f (z − h) 1 h3 1 h4 = 0 + f (z) + 0 + f (z) + (f (ξ + ) − f (ξ − )) 2h h 3! 2h 4! que ´ uma express˜o para o erro em O(h2 ), pois e a f (z) = f (z + h) − f (z − h) h3 h3 − f (z) + (f (ξ + ) − f (ξ − )). 2h 6 48 No entanto ´ claro que neste caso ´ excessivo expandir at´ ` 4a ordem, podendo obter-se com e e ea uma expans˜o de 3a ordem (exerc´ a ıcio), f (z) = f (z + h) − f (z − h) h3 − f (ξ). 2h 6 h2 = 1, 2 h3 = 0, 3! Por outro lado, se o objectivo for aproximar a segunda derivada, impˆmos o (α0 + α1 + α2 ) = 0, (α2 − α0 )h = 0, (α0 + α2 ) (α2 − α0 ) e como α2 = α0 satisfaz a 1a e a 4a equa¸˜es, ´ poss´ obter essa aproxima¸˜o, com α2 = α0 = co e ıvel ca −2 e α = −2h−2 . Assim, retiramos h 1 f (z + h) − 2f (z) + f (z − h) 1 h4 = 0 + f (z) + 0 + 2 (f (ξ + ) + f (ξ − )) h2 h 4! 14 e estando a admitir implicitamente f ∈ C 4 [z − h, z + h], pelo Teorema do Valor Interm´dio, e ∃ξ ∈ [z − h, z + h] : f (ξ) = 1 (f (ξ + ) + f (ξ − )) . 2 Obtemos assim uma aproxima¸˜o por diferen¸as centradas de segunda ordem: ca c f (z) = f (z + h) − 2f (z) + f (z − h) h2 − f (ξ), h2 12 (1.17) que iremos usar ao longo do curso. Esta aproxima¸˜o pode ser descrita em termos de deltas de ca Dirac, na forma 1 ˜2 ∂z = 2 (δz+h − 2δz + δz−h ) = 2δ[z − h, z, z + h]. h Observa¸ao: A aproxima¸˜o da 3a derivada s´ ser´ poss´ nestes pontos se incluirmos as c˜ ca o a ıvel a ordem n˜o poder´ ser nulo se o coeﬁciente de 3a ordem n˜o derivadas, j´ que o coeﬁciente de 1 a a a a o for. Exerc´ ıcio 1: Usando o m´todo dos coeﬁcientes indeterminados obter a express˜o da aproxe a ima¸˜o ca f (z + h) − 2f (z) + f (z − h) f (z) = + O(h2 ). 2h Exerc´ ıcio 2: Mostrar que para fun¸˜es f ∈ C 2 [z, z + h], co h ˜+ ˜ ∃ξ∈(z,z+h) : ∂z − ∂z = − δξ ∂ 2 ⇒ ∂ − ∂ + 2 L(C 2 [z,z+h],R) ≤ h . 2 1.2.3 Expans˜o simb´lica a o Escrever as f´rmulas em termos de deltas de Dirac pode servir para obter f´rmulas de aproxo o ima¸˜o de derivadas atrav´s de uma expans˜o simb´lica. Mais concretamente, come¸amos por ca e a o c a ordem, notar que a expans˜o em s´rie de Taylor com resto de Lagrange de 3 a e 1 1 ∃ξx ∈(x;x+h) : f (x + h) = f (x) + hf (x) + h2 f (x) + h3 f (ξx ), 2 3! pode ser escrita 1 1 ∃ξx ∈(x;x+h) : δx+h = δx (1 + h∂ + h2 ∂ 2 ) + δξx h3 ∂ 3 . 2 6 A aplicabilidade desta f´rmula est´ restrita, no sentido cl´ssico, para fun¸˜es f ∈ C 3 (Vx ), em o a a co que Vx ⊃ [x, x + h] ´ uma vizinhan¸a de x, o que se depreende do contexto. Da mesma forma, e c para fun¸˜es anal´ co ıticas, continuando a expans˜o em s´rie de Taylor, obtemos a f´rmula mais a e o interessante δx+h = δx exp(h∂), porque formalmente, 1 exp(h∂) = 1 + h∂ + h2 ∂ 2 + ... 2 Observa¸ao: Nexto contexto, poder´ ser util deﬁnir c˜ a ´ m expm (x) = k=0 xk , k! 15 notando que expm (x) → exp(x), quando m → ∞. Assim, podemos escrever a expans˜o de Taylor a com resto de Lagrange de ordem m, de uma forma mais reduzida ∃ξx ∈(x;x+h) : δx+h = δx expm (h∂) + 1 δξ (h∂)m . m! x • Recuperando a deﬁni¸˜o de diferen¸a progressiva, obtemos ca c ˜ δz ∂ + = 1 1 ˜ (δz+h − δz ) = (δz exp(h∂) − δz ) ⇒ δz exp(h∂) = δz (1 + h∂ + ). h h ˜ Da igualdade anterior retiramos exp(h∂) = 1 + h∂ + (1 signiﬁca identidade), obtendo ˜ h∂ = log(1 + h∂ + ), em que o logaritmo est´ deﬁnido atrav´s da sua s´rie de potˆncias, a e e e log(1 + x) = ∞ k=1 (−1)k+1 k x . k Assim, obtemos formalmente a expans˜o simb´lica a o ∂= 1 1 ˜ log(1 + h∂ + ) = h h ∞ k=1 (−1)k+1 ˜+ k (h∂ ) . k ˜ Truncando a soma a um termo obtemos ∂ ≈ ∂ + (o que j´ conhec´ a ıamos). Podemos agora obter aproxima¸˜es superiores, com dois termos: co 1 ˜+ 2 ˜+ h ˜+ 2 ˜+ 1 ˜ ∂ ≈ ∂+ − (h∂ ) = ∂ − (∂ ) = ∂ − (τh − 1)2 2h 2 2h 1 1 1 = (τh − 1) − (τ2h − 2τh + 1) = (4τh − τ2h − 3 · 1) h 2h 2h o que corresponde a uma conhecida aproxima¸˜o de segunda ordem, ca f (x) = 4f (x + h) − f (x + 2h) − 3f (x) h2 f (ξ) + . 2h 3 Continuando com a expans˜o podemos obter outras f´rmulas de ordem superior, neste caso a o usando os n´s x, x + h, x + 2h, ... o • Para obter f´rmulas centradas, usamos a rela¸˜o com diferen¸as centradas, ou seja o ca c ˜ δz ∂ = 1 1 exp(h∂) − exp(−h∂) ˜ (δz+h − δz−h ) = δz ( ) ⇒ δz sinh(h∂) = δz (h∂). 2h h 2 ˜ ∂ = h−1 sinh−1 (h∂) em que sinh−1 (x) = x − 1 1×3 1×3×5 x3 + x5 − x5 + ... 2×3 2×4×5 2×4×6×7 16 Em vez do logaritmo, obtemos o inverso do seno hiperb´lico, o ˜ obtendo-se como primeira aproxima¸˜o exactamente ∂ ≈ ∂, que neste caso tem ordem 2. Conca ˜ − h2 ∂ 3 , que j´ ´ uma f´rmula de ordem 4. Conv´m notar ˜ tinuando a expans˜o, obtemos ∂ ≈ ∂ a ae o e 6 h2 ˜3 e e ca c que − 6 ∂ ´ ainda semelhante ao termo de erro que se obt´m para a aproxima¸˜o por diferen¸as ˜3 por ∂ 3 ...), o mesmo se passava com a aproxima¸˜o anterior por centradas (substituindo ∂ ca diferen¸as progressivas, n˜o s´ para o primeiro termo, mas tamb´m para a f´rmula deduzida, j´ c a o e o a 2 ˜ que o termo seguinte da expans˜o logar´ a ıtmica ser´ 3h (h∂ + )3 = h (∂ + )3 . Podemos ver que esta a 1 ˜ 3 expans˜o simb´lica permite n˜o apenas obter as f´rmulas, mas tamb´m indicar as express˜es a o a o e o dos erros, truncando as s´ries com o termo de Lagrange. e 17 Parte II M´todo das Diferen¸as Finitas e c 18 Cap´ ıtulo 2 Diferen¸as Finitas em Problemas c El´ ıpticos O objectivo principal desta parte ´ permitir uma familiariza¸˜o com uma t´cnica extremamente e ca e simples, mas frequentemente eﬁcaz, para a aproxima¸˜o da solu¸˜o de problemas de equa¸˜es ca ca co com derivadas parciais – o denominado m´todo das diferen¸as ﬁnitas (FDM - ﬁnite diﬀerence e c method). Uma das principais desvantagens que os m´todos de diferen¸as ﬁnitas apresentam diz respeito e c a ` discretiza¸˜o espacial do dom´ ca ınio, que normalmente ﬁca condicionada a uma grelha reticulada. Este tipo de desvantagem n˜o aparece numa discretiza¸˜o temporal, pelo que o uso de t´cnicas a ca e relacionadas com diferen¸as ﬁnitas continua a ser mais popular em problemas de evolu¸˜o, c ca nomeadamente atrav´s de uma liga¸˜o com outros m´todos apropriados para discretiza¸˜es e ca e co espaciais. Iremos concentrar-nos no caso de operadores diferenciais lineares de segunda ordem, j´ que a modelam uma parte consider´vel dos problemas el´ a ıpticos. Todo o destaque ser´ dado ` equa¸˜o a a ca de Laplace (ou Poisson), j´ que o Laplaciano ´ o operador el´ a e ıptico mais simples que encontramos. Algumas considera¸˜es te´ricas ser˜o introduzidas, de forma a que se possa estabelecer melhor co o a uma ponte entre o problema discreto e o problema cont´ ınuo. Nomeadamente alguns processos construtivos para a obten¸˜o de uma solu¸˜o expl´ ca ca ıcita ser˜o apresentados, n˜o apenas com o a a intuito de permitir uma compara¸˜o (por exemplo, computacional) com solu¸˜es exactas, mas ca co tamb´m para que estejam presentes outras possibilidades de obter a solu¸˜o. e ca Um operador diferencial linear de segunda ordem da forma, escrito na forma da divergˆncia, e d d Au = − ou escrito na forma usual, ∂j (aij ∂ı u) + i,j=1 i=1 bı ∂ı u + c u, (2.1) d d Au = − com Bi = bi − d j=1 ∂j aij . aij ∂ij u + i,j=1 i=1 Bi ∂i u + c u, (2.2) Consideramos normalmente aij = aji . Dizemos que A ´ um operador e 19 el´ ıptico se existir α > 0 tal que d i,j=1 aij vi vj ≥ α|v|2 , ∀v ∈ Rd . (2.3) Repare-se que isto corresponde a considerar que a matriz dos coeﬁcientes aij ´ deﬁnida positiva, o e que nos leva a valores pr´prios positivos e ´ consistente com a rela¸˜o estabelecida anteriormente o e ca com as c´nicas, neste caso as elipses. Notamos ainda que no caso em que os coeﬁcientes s˜o o a fun¸˜es pode ocorrer que a propriedade de elipticidade seja veriﬁcada em certos pontos e noutros co n˜o. a O exemplo ´bvio de operador el´ o ıptico ´ Au = − u, considerando aij = δij , e os restantes coe eﬁcientes nulos. Grande parte das propriedades dos operadores el´ ıpticos ´ deduzida inicialmente e no caso mais simples, o do operador de Laplace, que ir´ assim constituir o assunto principal a deste texto. 2.1 Equa¸˜o de Laplace/Poisson ca Como j´ ﬁz´mos referˆncia, a equa¸˜o de Laplace descreve estados de equil´ a e e ca ıbrio. Vejamos como podemos deduzir esta equa¸˜o a partir de algumas considera¸˜es f´ ca co ısicas. Consideremos u representando uma certa densidade (segundo as v´rias interpreta¸˜es f´ a co ısicas em que se aplica) e consideremos que ´ conservativo o ﬂuxo F (quantidade proporcional ao gradiente, ou seja e F = a u) atrav´s da fronteira ∂ω de qualquer subconjunto aberto ω do dom´ e ınio , ou seja1 , F · n = 0, para qualquer ω ⊂ , ∂ω ent˜o, pelo teorema da divergˆncia a e · F = 0, para qualquer ω ⊂ . ω Como os subconjuntos ω s˜o arbitr´riamente pequenos, isto corresponde a estabelecer a equa¸˜o a a ca pontual · F = 0, em ou seja, a equa¸˜o de Laplace, ca resume a · (a u) = 0, que no caso de a ser uma fun¸˜o constante se ca u = 0, em Na sua forma n˜o homog´nea, isto ´, a e e 1 . u = f, ´ denominada Equa¸ao de Poisson. e c˜ Caso n˜o se considere esta conserva¸ao, assume-se que h´ uma compensa¸ao ao ﬂuxo que se traduz numa a c˜ a c˜ m´dia nesse subconjunto, ou seja e F·n= ∂ω ω f, obtendo-se assim a equa¸ao de Laplace n˜o homog´nea c˜ a e u = f, designada equa¸ao de Poisson. c˜ Por vezes escreve-se − u = f, ou at´ − u = 0, consistente com a deﬁni¸ao de operador el´ e c˜ ıptico. 20 ´ E claro que a equa¸˜o de Laplace colocada em todo o espa¸o e sem outras restri¸˜es tem ca c co uma inﬁnidade de solu¸˜es poss´ co ıveis, come¸ando pela solu¸˜o trivial u = 0, ou pelos polin´mios c ca o de primeiro grau. Torna-se necess´rio impˆr condi¸˜es suplementares, de forma a especiﬁcar a o co qual a solu¸˜o pretendida. Habitualmente essas condi¸oes s˜o impostas na fronteira do dom´ ca c˜ a ınio ∂ , e no caso de considerarmos dom´ ınios ilimitados tamb´m devemos impor condi¸˜es na ’outra e co fronteira’, no inﬁnito, atrav´s de um comportamento assimpt´tico. e o Observa¸˜o: Conv´m relembrar que em R2 ´ extremamente f´cil encontrar fun¸˜es que ca e e a co veriﬁquem a equa¸˜o de Laplace (fun¸oes harm´nicas), atrav´s do isomorﬁsmo de R2 com o ca c˜ o e corpo dos complexos C. Com efeito, sendo z = x + iy, ´ bem conhecido que qualquer fun¸˜o e ca de vari´vel complexa f (z) = u(z) + iv(z), que seja holomorfa, veriﬁca as condi¸˜es de Cauchya co Riemann, e consequentemente veriﬁca a equa¸˜o de Laplace. ca Isto permite um processo extremamente f´cil de encontrar fun¸˜es harm´nicas em R2 , e em a co o particular conclu´ ımos, pelo facto dos polin´mios serem fun¸˜es holomorfas, que a sua parte real o co ou a sua parte imagin´ria ´ uma fun¸˜o que veriﬁca a equa¸˜o de Laplace — obtˆm-se assim a e ca ca e polin´mios harm´nicos. Por exemplo, o o x = Re(z), y = Im(z); x2 −y 2 = Re(z 2 ), 2xy = Im(z 2 ); x3 −3xy 2 = Re(z 3 ), 3x2 y−y 3 = Im(z 3 ), etc... s˜o polin´mios harm´nicos. Ou ainda, ex cos(y) = Re(ez ), ex sin(y) = Im(ez ) s˜o tamb´m a o o a e fun¸˜es harm´nicas. co o Interessa-nos saber em que circunstˆncias podemos assegurar a existˆncia, a unicidade e a a e dependˆncia cont´ e ınua dos dados, trˆs quest˜es que se colocam em qualquer problema de equa¸˜es e o co diferenciais — dizendo-se nesse caso que se trata de um problema bem posto (no sentido de Hadamard). Deﬁni¸˜o 2.1.1 Um problema diz-se bem posto se: ca (i) existe solu¸ao; (ii) a solu¸ao ´ unica; (iii) a solu¸ao depende continuamente dos dados (numa c˜ c˜ e ´ c˜ certa norma). 2.1.1 Resultados elementares Antes de passarmos ao caso com v´rias vari´veis, analisemos o que se passa com uma unica a a ´ vari´vel, em que o correspondente ` equa¸˜o de Laplace ´ a equa¸˜o diferencial ordin´ria u = 0. a a ca e ca a Caso unidimensional, u = 0. O caso unidimensional ´ um caso trivial mas que aponta algumas caracter´ e ısticas. A equa¸˜o ca u = 0, que ´ uma equa¸˜o diferencial ordin´ria com equa¸˜o caracter´ e ca a ca ıstica associada r2 = 0. Essa equa¸˜o tem uma raiz dupla r1 = r2 = 0, o que signiﬁca que a f´rmula geral ´ dada por ca o e u(x) = Ax + B em que as constantes podem ser determinadas por condi¸˜es na fronteira do dom´ co ınio, que ser´ a um intervalo. 21 Se considerarmos o problema no intervalo =]a, b[, u (x) = 0, ∀x ∈]a, b[, as condi¸˜es de fronteira correspondentes s˜o colocadas nos extremos a e b, j´ que ∂]a, b[= {a, b}. co a a Problema de Dirichlet. Corresponde a impor u(a) = α, u(b) = β, e as constantes A, B podem ser determinadas resolvendo o sistema Aa + B = α Ab + B = β ou seja a 1 b 1 A B = α β que tem solu¸˜o unica, j´ que a = b. A solu¸˜o ´ a recta que une os extremos, ca ´ a ca e u(x) = α + x−a (β − α). b−a Problema misto Dirichlet-Neumann. Consideramos, por exemplo, u(a) = α, u (b) = β, e as constantes A, B surgem da resolu¸˜o ca de Aa + B = α A=β ou seja a 1 1 0 A B = α β que tem a solu¸˜o unica u(x) = α + β(x − a). ca ´ Problema de Neumann. Consideramos u (a) = α, u (b) = β. Aqui surge um pequeno problema, pois ﬁcamos com as condi¸˜es co A=α 1 0 A α ou seja = . A=β 1 0 B β Assim, para que haja solu¸˜o ´ preciso uma condi¸˜o de compatibilidade: α = β e nesse caso a ca e ca constante B ´ arbitr´ria, n˜o havendo solu¸˜o unica... ou seja, haver´ uma fam´ de solu¸˜es e a a ca ´ a ılia co u(x) = αx + B... podendo-se dizer que u(x) = αx ´ solu¸˜o unica a menos de uma constante e ca ´ aditiva. Problema de Cauchy. Consideramos, por exemplo, u(a) = α, u (a) = β. Neste caso voltamos a ter o sistema Aa + B = α A=β ou seja a 1 1 0 A B = α β . que tem a solu¸˜o unica u(x) = α+β(x−a). Neste caso ´ preciso ter em aten¸˜o que as condi¸˜es ca ´ e ca co colocadas em a determinam perfeitamente a solu¸˜o do problema, pelo que qualquer condi¸˜o ca ca colocada em b ser´ dispens´vel e poder´ n˜o ser compat´ com a solu¸˜o. a a a a ıvel ca 22 Separa¸˜o de vari´veis ca a Iremos brevemente rever o processo cl´ssico de separa¸˜o de vari´veis para obter solu¸˜es para ca a co ticulares para uma equa¸˜o diferencial parcial. Consiste em admitir que em determinadas coca ordenadas a solu¸˜o pode ser escrita como o produto de de fun¸˜es que dependem apenas de ca co uma das vari´veis. Ao obter solu¸oes desta forma, n˜o resolvemos o problema para qualquer a c˜ a dom´ ınio, nem para qualquer condi¸˜o de fronteira, mas permite ter uma ideia de uma certa ca classe de solu¸˜es e ao mesmo tempo encontrar fun¸˜es que sirvam de teste para veriﬁcar a co co eﬁc´cia de m´todos num´ricos. a e e Antes de prosseguir conv´m lembrar que no caso de termos solu¸˜es u1 , ..., um para uma certa e co e a ca equa¸˜o homog´nea Du = 0, em que D ´ um operador diferencial linear, ent˜o uma combina¸˜o ca e linear u = m αk uk ´ ainda solu¸ao. e c˜ k=1 Separa¸˜o em vari´veis cartesianas Suponhamos que a solu¸˜o se pode escrever na forma ca a ca u(x, y) = v(x)w(y) ent˜o a 0= ou seja, supondo que v, w = 0 0= v (x) w (y) v (x) w (y) + ⇔ =− v(x) w(y) v(x) w(y) u = v (x)w(y) + v(x)w (y) e como as fun¸˜es de x n˜o dependem de y podemos igualar a uma constante co a v (x) w (y) = C, = −C v(x) w(y) o que nos leva ao sistema v (x) − Cv(x) = 0 w (y) + Cw(y) = 0 √ cuja solu¸˜o geral d´, se C = µ2 > 0 (resultante da eq. caracter´ ca a ıstica r2 − C = 0 ⇔ r = ± C = ±µ) v(x) = A1 eµx + A2 e−µx w(y) = B1 cos(µy) + B2 sin(µy) (2.4) (o caso C < 0 seria an´logo, trocando v com w) podemos agora tentar ajustar as constantes a de forma a que sejam veriﬁcadas condi¸˜es de fronteira constantes... pois nesse caso tamb´m co e haveria apenas quatro constantes a determinar. Da outra hip´tese, C = 0, retiramos o v(x) = A1 + A2 x w(y) = B1 + B2 y. Claro que usando solu¸˜es do tipo co um (x, y) = emx cos(my) 23 atrav´s de combina¸˜es lineares conclu´ e co ımos que, por exemplo, M u(x, y) = m=1 αm emx cos(my) ´ ainda ´ uma fun¸˜o harm´nica. E assim poss´ obter uma fun¸˜o harm´nica que veriﬁque u = g e ca o ıvel ca o num segmento S, em que o valor de x ´ constante, assumindo que g admite desenvolvimento e em s´rie de Fourier. No entanto ainda que esse segmento n˜o deﬁna a fronteira de um dom´ e a ınio aberto limitado, e portanto n˜o se adeque aos problemas colocados anteriormente, ´ poss´ a e ıvel usar esta ideia com outro tipo de coordenadas. Separa¸˜o em vari´veis polares Ao considerarmos coordenadas polares, escrevendo ca a x = r cos θ, y = r sin θ, ﬁca claro que se r for constante e θ variar em [0, 2π[ deﬁne-se a fronteira da bola B(0, r). Podemos agora pensar em u(x, y) como u(r, θ) atrav´s das correspondˆncias e e T −1 T : (r, θ) −→ (x, y) = (r cos θ, r sin θ) : (x, y) −→ (r, θ) = ( x2 + y 2 , arccos( x )) r Sendo u(r, θ) = u(T −1 (x, y)), ap´s alguns c´lculos, ´ poss´ mostrar que o laplaciano em o a e ıvel coordenadas polares se escreve na seguinte forma: 1 1 2 2 = ∂r + ∂r + 2 ∂θ . r r Portanto se considerarmos uma separa¸˜o de vari´veis u(r, θ) = v(r)w(θ), de ca a obter a equa¸˜o ca 1 1 v w + v w + 2 vw = 0. r r Supondo que v, w = 0, dividindo por vw e multiplicando por r2 obtemos r2 v v w +r =− . v v w u = 0 iremos Como o primeiro membro depende apenas de r e o segundo apenas de θ, a igualdade s´ faz sentido o se o resultado for uma constante, que designaremos por C. Teremos portanto duas equa¸˜es co r2 vv + r v = C v −w = C w r2 v + rv − Cv = 0 w + Cw = 0 ora, apenas a ultima possibilidade nos d´ uma fun¸˜o w peri´dica, e de forma a que w(0) = w(2π) ´ a ca o 2 para um certo m > 0 inteiro. ´ preciso que C = m e 24 Comecemos por examinar a equa¸˜o em w. As poss´ ca ıveis solu¸˜es vir˜o da equa¸˜o caracteristica co a ca ρ2 + C = 0  se C = 0  w(θ) = Aθ + B √ √ − −Cθ + Be −Cθ w(θ) = Ae √ se C < 0 √  w(θ) = A cos( Cθ) + B sin( Cθ) se C > 0 Quanto ` equa¸˜o a ca podemos procurar as suas solu¸˜es na forma v(r) = rp , veriﬁcando-se co p(p − 1)r2 rp−2 + prrp−1 − m2 rp = 0 ⇔ p(p − 1) + p − m2 = 0 ⇔ p2 = m2 logo p = ±m. Se p < 0, obtemos uma solu¸˜o v(r) = r−m que explode em zero e que neste contexto n˜o ca a nos interessa. Se m = 0, obtemos r2 v + rv = 0, ou seja v(r) = A + B log(r) que explode quando r = 0... (no fundo este caso contempla a possibilidade da solu¸˜o fundamental). ca Portanto o caso adequado ´ considerar p = m ∈ N. e Com efeito podemos pensar agora em escrever a solu¸˜o na forma ca u(r, θ) = m≥0 r2 v + rv − m2 v = 0 vm (r)wm (θ) = m≥0 rm (Am cos(mθ) + Bm sin(mθ)), ou seja, como s´rie de Fourier. e Ao impor uma condi¸˜o de Dirichlet u(R, θ) = g(θ), podemos procurar a solu¸˜o resolvendo ca ca g(θ) = m≥0 Rm (Am cos(mθ) + Bm sin(mθ)) o que se torna razoavelmente simples se conhecermos a expans˜o em s´rie de Fourier2 de a e g(θ) = o que dar´ a (am cos(mθ) + bm sin(mθ)), m≥0 am bm , Bm = m m R R Para haver convergˆncia uniforme da s´rie de Fourier basta exigir que g seja cont´ e e ınua de varia¸˜o limitada. ca Am = Repare-se que este ´ um processo de assegurar que existe solu¸ao para o problema de Dirichlet e c˜ quando temos como dado uma fun¸˜o de varia¸˜o limitada numa bola. No entanto, este resultado ca ca ´ restritivo, e podemos estabelecer resultados muito mais gerais ao provarmos, mais ` frente, o e a teorema de Lax-Milgram. • Por outro lado, notamos que se a fun¸˜o ´ harm´nica em ca e o fun¸˜o anal´ ca ıtica em . 2 (dom´ ınio aberto) ent˜o ´ uma a e A expans˜o em s´rie de Fourier de uma fun¸ao cont´ a e c˜ ınua de varia¸ao limitada g(θ), com θ ∈ [0, 2π], ´ dada c˜ e atrav´s das f´rmulas e o 2π 1 a0 = 2π 0 g(θ)dθ, e para m > 0 : 2π 1 am = π 0 g(θ) cos(mθ)dθ 2π 1 bm = π 0 g(θ) sin(mθ)dθ 25 Em R2 podemos ver este resultado como uma generaliza¸˜o do que j´ conhecemos nas fun¸˜es ca a co complexas, em que ser holomorfa implica a analiticidade (a analiticidade em C implica a analiticidade em R2 das partes reais e imagin´rias, o contr´rio pode n˜o acontecer, obviamente). Mas a a a na realidade este resultado ´ mais geral e aplica-se a uma grande classe de equa¸˜es diferenciais e co parciais lineares, homog´neas, e com coeﬁcientes anal´ticos. Uma demonstra¸˜o pode ser obtida e ı ca atrav´s das f´rmulas de representa¸ao, j´ que se tratam de integrais param´tricos que usam as e o c˜ a e solu¸˜es fundamentais, que s˜o fun¸oes anal´ co a c˜ ıticas (excepto na origem). Este resultado ´ impore tante, j´ que implica que o conhecimento da fun¸˜o num aberto de implica o seu conhecimento a ca em , desde que seja conexo. No entanto, a demonstra¸˜o deste resultado sai fora do ˆmbito ca a do curso. Reﬁra-se ainda que no caso de se tratar da equa¸˜o de Poisson, u = f, a regularidade da ca ´ solu¸˜o u no interior de est´ intimamente ligada ` regularidade de f. E de esperar que haja ca a a uma maior regularidade, j´ a soma das segundas derivadas ter´ que ter a regularidade de f, no a a m+2 se f ∈ C m . entanto, ´ claro que s´ podemos esperar que u ∈ C e o 2.1.2 Unicidade Acabamos de veriﬁcar parcialmente a quest˜o de existˆncia, iremos agora abordar a quest˜o de a e a unicidade num caso suﬁcientemente geral, para solu¸˜es u ∈ C 2 ( ) ∩ C( ¯ ), em que co ´ um e dom´ ınio regular arbitr´rio. a Problema de Dirichlet Para mostrar a unicidade para o caso do problema de Dirichlet, para a equa¸˜o de Poisson, ca basta pensar que se tivermos u1 e u2 solu¸˜es do mesmo problema (k = 1, 2) co uk = f uk = g ent˜o u = u1 − u2 veriﬁca o problema homog´neo a e u = 0 em u = 0 em ∂ Atrav´s da 1a . f´rmula de Green, e o 0= u u= ∂ em em ∂ u∂n u − u· u=− | u|2 ⇒ u = 0 em e e Assim u ´ constante em , e como u = 0 na fronteira, pela continuidade, u ∈ C( ¯ ), ´ claro que u = 0 em ¯ e portanto u1 = u2 . Problema de Dirichlet-Neumann Usando o mesmo racioc´ ınio, sendo u1 e u2 solu¸˜es do mesmo problema (k = 1, 2) co   uk = f em , u = g0 em Γ0 ,  ∂n u = g1 em Γ1 , 26 em que Γ0 ∪ Γ1 = ∂ , obtemos para u = u1 − u2   u=0 u=0  ∂n u = 0 Problema de Neumann o problema homog´neo e em , em Γ0 , em Γ1 , e da mesma forma, separando, usando a 1a. f´rmula de Green isto implica que u ´ constante o e ¯ ), e tamb´m u = 0 em Γ0 , ´ claro que u = 0 em ¯ . em , e como u ∈ C( e e No caso do problema de Neumann, apenas s˜o impostas condi¸˜es sobre a derivada normal na a co fronteira, assim temos para duas solu¸˜es u1 e u2 co uk = f em ∂n uk = g em ∂ , e consequentemente para u = u1 − u2 veriﬁca-se o problema homog´neo e u=0 em ∂n u = 0 em ∂ . Se aplicarmos ainda a 1a f´rmula de Green, podemos concluir que u ´ constante, mas como u o e n˜o se anula em nenhuma parte de ∂ , n˜o podemos concluir que ´ nula. Assim sendo, retiramos a a e apenas que u = u1 − u2 = C em ¯ , ou seja as duas solu¸˜es diferem por uma constante. co Portanto a unicidade no caso do problema de Neumann ﬁca estabelecida a menos de constante! • No caso do problema de Neumann para al´m da unicidade n˜o estar estabelecida, pelo e a teorema da divergˆncia temos e f= u= ∂ ∂n u = ∂ g e torna-se necess´rio assegurar a condi¸˜o de compatibilidade a ca g= ∂ f , (2.5) que no caso de fun¸˜es harm´nicas, em que f = 0, corresponde a veriﬁcar que g tem m´dia nula, co o e g = 0. ∂ 2.1.3 Princ´ ıpio do M´ximo a Iremos apresentar agora o chamado ‘princ´ ıpio do m´ximo forte’. a Note-se que designando por |V | o volume de V, e por |∂V | a superf´ de ∂V, temos os ıcie seguintes resultados para bolas de centro em x0 e raio r em Rd , √ πd Γ(1+d/2) , |B(x0 , r)| = σd rd , |∂B(x0 , r)| = σd drd−1 , em que Γ ´ a fun¸˜o gama3 . e ca ∞ em que σd = |B(0, 1)| = 3 A fun¸ao gama c˜ Γ(z) = 0 tz−1 e−t dt 27 Teorema 2.1.1 (Princ´ ıpio do Valor M´dio). Seja u harm´nica em e o B(x0 , r) ⊂ ´ v´lida a propriedade e a u(x0 ) = 1 |∂B(x0 , r)| u(y) dsy = ∂B(x0 ,r) . Para qualquer bola 1 |B(x0 , r)| u(y) dy B(x0 ,r) Para al´m disso, a rec´proca ´ v´lida, ou seja, se se veriﬁcar a propriedade anterior para qualquer e ı e a bola em , ent˜o a fun¸ao ´ harm´nica. a c˜ e o Demonstra¸˜o: e.g. [7]. ca Observa¸˜o 1: No caso unidimensional, j´ vimos que as fun¸˜es harm´nicas s˜o polin´mios ca a co o a o do primeiro grau e ´ ent˜o claro que e a 1 2r x0 +r ax + b = ax0 + b, x0 −r o que corresponde ` exactid˜o da regra dos trap´zios para polin´mios de grau 1. a a e o Observa¸˜o 2: No caso em que consideramos fun¸˜es sub-harm´nicas, ou seja fun¸˜es ca co o co u ≥ 0, temos apenas a desigualdade u(x0 ) ≤ 1 |∂B(x0 , r)| u(y) dsy , ∂B(x0 ,r) u: o mesmo se passando para o integral de volume. No caso de fun¸˜es sobre-harm´nicas, veriﬁco o cando u ≤ 0, a desigualdade aparece no outro sentido. Teorema 2.1.2 (Princ´ ıpio do m´ximo/m´ a ınimo). Se u ∈ C 2 ( ) ∩ C( ¯ ) e max u(x) = max u(x), min u(x) = min u(x). x∈ ¯ x∈∂ x∈ ¯ x∈∂ u = 0 em , ent˜o a Ou seja, uma fun¸ao harm´nica no interior toma valores entre os limites deﬁnidos na fronteira. c˜ o ´ a generaliza¸ao natural do factorial para n´ meros reais (ou complexos), pois n! = Γ(n+1), veriﬁcando-se sempre e c˜ u a propriedade Γ(z) = zΓ(z − 1). Assim, apresentamos alguns valores para os ‘volumes’ de bolas unit´rias em v´rias dimens˜es: a a o σ1 = 2, σ2 = π, σ3 = 4π π2 8π2 π3 , σ4 = , σ5 = , σ6 = , ... 3 2 15 6 a que correspondem os valores 2, 2π, 4π, 2π 2 , 8 π2 , π3 para as respectivas ‘superf´ ıcies’. 3 Como curiosidade geom´trica, o maior valor para σd segundo esta f´rmula (que a priori apenas faz sentido para e o n´meros naturais) ´ obtido para uma dimens˜o d = 5.25695... com o volume 5.277768... repara-se ainda que se u e a d → ∞, ent˜o σd → 0. O que signiﬁca, por exemplo, que para d > 12 um hiper-cubo unit´rio n˜o ir´ caber na a a a a hiper-esfera unit´ria! a Quanto a superf´ ` ıcie, a varia¸ao com d ´ a mesma, mas com uma diferen¸a de 2 dimens˜es e vem multiplicada c˜ e c o pelo factor 2π. Assim, o m´ximo aparece em d = 7.25695... com a superf´ 33.1612... e depois tamb´m converge a ıcie e para zero. 28 o que contradiz u(x0 ) = M. Assim V tem medida nula e u(x) = M no aberto B(x0 , r). Como a fun¸˜o ´ anal´ ca e ıtica em conexo, ent˜o pelo prolongamento anal´ a ıtico u(x) = M em . Agora, por continuidade, u(x) = M em ∂ e portanto se o m´ximo ´ interior, a fun¸˜o ´ a e ca e constante e o mesmo valor ´ atingido na fronteira. e O mesmo racioc´ ınio aplica-se para o m´ ınimo. co o ıncipio Observa¸˜o 1: No caso de fun¸˜es sub-harm´nicas, u ≥ 0, obtemos apenas o pr´ ca do m´ximo max u = max∂ u, e no caso de de fun¸˜es sobre-harm´nicas, u ≤ 0, obtemos a co o apenas o pr´ ıncipio do m´ ınimo min ¯ u = min∂ u. Para a demonstra¸˜o ´ necess´rio assumir ca e a que o dom´ ınio veriﬁca a condi¸ao da bola interior, ou seja que em qualquer ponto x0 de existe c˜ um ε > 0 tal que B(x0 , ε) ⊂ . Note-se em dom´ ınios com c´spidas isto n˜o acontece! u a Observa¸˜o 2: Note-se que ´ uma consequˆncia da demonstra¸˜o que, no caso em que a ca e e ca fun¸˜o n˜o ´ constante, o m´ximo/m´ ca a e a ınimo tˆm que estar na fronteira. No caso unidimensional, e como as fun¸˜es harm´nicas se tratam de rectas, ´ claro que num dos extremos toma o valor co o e m´ ınimo e no outro o valor m´ximo, a menos que se trate de uma constante. a Demonstra¸˜o: ca Vamos mostrar que se ´ conexo e u(x0 ) = maxx∈ ¯ u(x) = M ent˜o u(x) = M em . e a Suponhamos que existia um V ⊂ B(x0 , r) ⊂ : u(x) < M, ent˜o se V tiver medida n˜o a a nula 1 1 u(x0 ) = u(y) dy < M dy = M |B(x0 , r)| B(x0 ,r) |B(x0 , r)| B(x0 ,r) 2.1.4 Problema bem-posto Falta apenas abordar a quest˜o da solu¸˜o depender continuamente dos dados (numa certa a ca norma). Come¸amos por veriﬁcar isso recorrendo ao princ´ c ıpio do m´ximo. a • A solu¸ao do problema de Dirichlet depende continuamente dos dados na norma do m´ximo. c˜ a Com efeito, como dadas g1 e g2 fun¸˜es em ∂ , se ||g1 − g2 ||∞ → 0 isto signiﬁca que se co considerarmos o dado g = g1 − g2 , a solu¸˜o u = u1 − u2 ir´ veriﬁcar, pelo princ´ ca a ıpio do m´ximo a (e do m´ ınimo...) ||u||∞, = ||g||∞,∂ → 0 ou seja ||u1 − u2 ||∞ → 0, isto signiﬁca que o problema est´ bem posto na norma do m´ximo a a (que ´ a norma utilizada para fun¸˜es cont´ e co ınuas). • O problema de Neumann tamb´m est´ bem posto se considerarmos unicidade a menos de e a uma constante aditiva e admitirmos que os dados veriﬁcam a condi¸˜o de compatibilidade. ca • O problema de Cauchy n˜o est´ bem posto. Para al´m da pr´pria quest˜o de existˆncia de a a e o a e solu¸˜o (o problema ´ normalmente sobredeterminado), ilustramos o problema da dependˆncia ca e e dos dados, com o seguinte exemplo: — Se considerarmos para cada m inteiro o problema   u = 0 em [0, +∞[×R 1 u(0, y) = gm (y) = m sin(my) (Pm )  ∂n u(0, y) = 0 e designarmos por um a solu¸˜o do problema (Pm ), vemos que gm → 0, mas a solu¸˜o ca ca um (x, y) = 1 sin(my) cosh(mx) m 29 converge para inﬁnito exponencialmente quando x → ∞. 2.2 Diferen¸as Finitas - Equa¸˜o de Poisson c ca Consideremos a aproxima¸˜o da solu¸˜o de um problema em que ´ veriﬁcada a equa¸ao de ca ca e c˜ Laplace ou Poisson num dom´ ınio contido em R2 utilizando um esquema de diferen¸as ﬁnitas. c Normalmente o dom´ ınio n˜o ´ formado por pequenos quadrados, apenas podemos aproxim´a e a lo usando pequenos quadrados e deﬁnindo um dom´ ınio aproximado ˜ . Repare-se que isto ´ e semelhante aquilo que acontece quando atrav´s de pixels num ´cran s˜o aproximadas formas e e a arredondadas, quanto mais pequenos forem os pequeno quadrados, melhor ser´ a aproxima¸˜o a ca da forma geom´trica do dom´ e ınio... No entanto, isto tem como contrapartida um consumo de tempo e mem´ria acrescido, j´ que implica um grande n´mero de inc´gnitas no sistema de o a u o equa¸˜es que se ir´ resolver. Outra grande diﬁculdade ´ efectuar aproxima¸˜es com condi¸˜es co a e co co de fronteira que utilizem a normal (p.ex. as condi¸˜es de Neumann), j´ que no dom´ reticulado co a ınio temos apenas normais verticais ou horizontais. Ω hy hx ~ Ω Figura 2.2.1: Aproxima¸ao de um dom´ c˜ ınio lado. por um dom´nio ˜ , e espa¸amento do reticuı c 2.2.1 Aproxima¸˜o do Laplaciano ca Supomos ent˜o que ˜ ´ um dom´ a e ınio aberto bem deﬁnido num reticulado (ou malha). Os pontos desse reticulado s˜o (xi , yj ), tendo-se a xi+1 = xi + hx , yi+1 = yi + hy , com hx = hy = h ou com valores diferentes. Utilizando esta malha, as derivadas de segunda ordem podem ser aproximadas usando as aproxima¸˜es deduzidas na primeira parte. Assim, co querendo aproximar u num ponto (xi , yi ), pertencente ao reticulado, consideramos 2 ∂x u(xi , yj ) = 2 u(xi+1 , yj ) − 2u(xı , yj ) + u(xi−1 , yj ) hx 4 − ∂x u(ξx , yj ) h2 12 x e da mesma forma 2 ∂y u(xi , yj ) = u(xi , yj+1 ) − 2u(xı , yj ) + u(xi , yj−1 ) h2 4 y − ∂y u(xi , ξy ). 2 hy 12 30 Abreviando as nota¸˜es, uij = u(xi , yj ), ﬁcamos com co u≈ ui+1,j − 2uij + ui−1,j ui,j+1 − 2uij + ui,j−1 + , h2 h2 x y em que o erro ser´ em O(h2 )+O(h2 )... isto assegura que o esquema de aproxima¸˜o ´ consistente a ca e x y e de segunda ordem. Algumas nota¸oes c˜ • Iremos usar a nota¸˜o ˜ para designar esta aproxima¸˜o de segunda ordem do laplaciano, ou ca ca seja ˜ uij = ui+1,j − 2uij + ui−1,j + ui,j+1 − 2uij + ui,j−1 . h2 h2 x y (2.6) Esta estrutura de aproxima¸˜o de segunda ordem do laplaciano sugere uma mol´cula em ca e forma de cruz, j´ que a disposi¸˜o na malha dos 5 pontos envolvidos uij , ui+1,j , ui−1,j , ui,j+1 , ui,j−1 a ca se assemelha a uma pequena cruz. Existem outro tipo de aproxima¸˜es, de ordem superior, que co utilizam mais pontos e levam a outro tipo de mol´culas (ver exerc´ e ıcios no ﬁnal do cap´ ıtulo). ui,j+1 ui-1,j ui,j ui+1,j ui,j-1 Figura 2.2.2: Mol´cula em forma de cruz na aproxima¸ao de segunda ordem de e c˜ . • Para facilitar as nota¸˜es iremos supor no que segue que = ˜ . co ˜ , h´ duas possibilidades distintas de lidar com a aproxima¸˜o da No caso em que = a ca fronteira. i) Trabalhar com ∂ ˜ e considerar uma aproxima¸˜o que consiste em estabelecer uma proca jec¸˜o Πh de ∂ para ∂ ˜ , e deﬁnindo uma fun¸˜o g a partir de g atrav´s de g (xi , yj ) = g(x, y), ca ca ˜ e ˜ em que (xi , yj ) = Πh (x, y) com (x, y) ∈ ∂ . Neste caso existe um erro nesta projec¸˜o, mas ca podemos continuar a utilizar o reticulado e a aproxima¸˜o de segunda ordem do laplaciano. ca ii) Trabalhar ainda com a verdadeira fronteira ∂ . Neste caso, nos pontos interiores pr´ximos o da fronteira, j´ n˜o poderemos usar um reticulado com n´s igualmente espa¸ados, j´ que eles a a o c a devem estar sobre a fronteira. Devido a este facto, a cruz da mol´cula deixar´ de ser sim´trica e a e (ver ﬁgura) e o laplaciano nesses pontos j´ n˜o ir´ ser dado com uma aproxima¸˜o de segunda a a a ca ordem. ui,j+1 ui-1,j ui,j ui,j-1 ui+1,j Figura 2.2.3: Mol´cula em forma de cruz descentrada, usada na aproxima¸ao de e c˜ da fronteira original. 31 , pr´ximo o Com efeito, se consideramos (xi , yj±1 ) = (xi , yj ± h± ), (xi±1 , yj ) = (xi ± h± , yj ), ´ claro que e y x ui,j+1 = uij + h+ ∂y uij + y ui,j−1 (h+ )2 2 (h+ )3 3 y y ∂y uij + ∂y u(ξ+ ) 2 6 (h− )2 2 (h− )3 3 y y = uij − h− ∂y uij + ∂y uij − ∂y u(ξ− ) y 2 6 h− y . h+ y e como podemos ter h+ = h− , a simples soma das equa¸˜es j´ n˜o faz desaparecer a o termo co a a y y com ∂y uij , h´ que multiplicar a primeira equa¸˜o por a ca 2 ∂y uij , Mesmo assim, isto permitir´ obter a apenas uma aproxima¸˜o de primeira ordem de ca j´ que se mantˆm os termos de terceira a e 2u . ordem, passando-se obviamente o mesmo para a aproxima¸˜o de ∂x ij ca • Iremos usar a nota¸˜o h para designar o conjunto discreto dos pontos do reticulado que ca est˜o no interior de (relembre-se, assumimos idˆntico a ˜ no que se segue). Ou seja, sendo a e R2 o conjunto dos pontos do reticulado, temos h = {(xi , yj ) ∈ R2 : (xi , yj ) ∈ }. h ∪∂ h. Da mesma forma, iremos usar a nota¸˜o ∂ h = {(xi , yj ) ∈ R2 : (xi , yj ) ∈ ∂ } e ¯ h = ca Iremos ainda usar a seguinte nota¸˜o para os pontos do reticulado, pij = (xi , yj ). ca • Introduzimos tamb´m o operador de truncatura local para o laplaciano, que nos d´ o erro e a nos pontos pij ∈ h , τ (u)ij = u(xi , yj ) − ˜ u(xi , yj ) e j´ vimos que temos a τ (u)ij = −1 2 4 2 4 (h ∂ u(ξx , yj ) + hy ∂y u(xi , ξy )). 12 x x 2.2.2 Equa¸oes nos pontos interiores c˜ No esquema de segunda ordem adoptado, ´ f´cil constatar que, conhecendo os quatro pontos e a das extremidades da cruz, podemos atribuir um valor ao centro. No entanto enquanto as extremidades n˜o tocarem a fronteira, esses valores s˜o tamb´m inc´gnitas. Os pontos interiores a a e o s˜o portanto obtidos atrav´s da resolu¸˜o de um sistema linear. a e ca No caso da discretiza¸˜o da equa¸˜o de Poisson, impˆmos ca ca o ˜ (uij ) = 1 (ui+1,j − 2uij + ui−1,j ) + 1 (ui,j+1 − 2uij + ui,j−1 ) = fij h2 h2 x y para qualquer ponto (xi , yj ) ∈ h . Ou seja, sendo N = # h , ﬁcamos com N equa¸˜es. co No caso de aproximar u = 0, podemos ainda deduzir que uij = 2 hy h2 x (ui+1,j + ui−1,j ) + (ui,j+1 + ui,j−1 ) 2(h2 + h2 ) 2(h2 + h2 ) x y x y (2.7) (2.8) 32 e reparamos que quando hx = hy ﬁcamos simplesmente com 1 uij = (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ). 4 (2.9) Observa¸˜o: As f´rmulas (2.8) e (2.9) s˜o as vers˜es discretas da f´rmula da m´dia. No ca o a o o e caso da f´rmula (2.8) h´ uma m´dia ponderada, j´ que os valores de hx e hy s˜o diferentes, mas o a e a a a soma dos pesos ´ 1, e no caso da f´rmula (2.9) ´ imediato. e o e 2.2.3 As condi¸oes de fronteira c˜ Aproxima¸˜o com Condi¸˜o de Dirichlet ca ca Quando consideramos condi¸˜es de Dirichlet, as unicas inc´gnitas s˜o os valores nos N pontos co ´ o a interiores, j´ que nos pontos da fronteira, (xi , yj ) ∈ ∂ h impomos obviamente a uij = gij . Portanto temos N equa¸˜es (2.7) para N inc´gnitas, o que n˜o nos garante ` partida que o co o a a sistema tem solu¸˜o, nem que ´ unica, mas pelo princ´ ca e´ ıpio do m´ximo discreto que veremos de a seguida, concluiremos que existe e ´ unica. e´ 1,6 1,5 ... ... ... ... 6,6 6,5 1,2 1,1 ... 2,1 6,2 ... 6,1 Figura 2.2.4: Esquema de diferen¸as ﬁnitas num quadrado. Distin¸ao entre os valores dados c c˜ na fronteira e as inc´gnitas nos pontos interiores. o Aproxima¸˜o com Condi¸˜o de Neumann ca ca Antes de prosseguir com a an´lise, referimos que o m´todo das diferen¸as ﬁnitas n˜o ´ aconsela e c a e hado para problemas num dom´ n˜o inserido num reticulado, especialmente quando aparecem ınio a condi¸˜es de Neumann, j´ que qualquer dom´ co a ınio reticulado admite apenas quatro poss´ ıveis direc¸˜es para a normal, (±1, 0) ou (0, ±1). De qualquer forma, admitindo, por exemplo, que a co condi¸˜o de Neumann ´ colocada numa parte da fronteira em que a normal ´ constante, podemos ca e e obter aproxima¸˜es com interesse. co 33 Considere-se, sem perda de generalidade, a aproxima¸˜o da derivada normal num ponto ca (xi , y1 ) que assumimos ser dada por ∂n ui1 = −∂y ui1 = gi1 .Uma hip´tese que n˜o garante bons o a resultados num´ricos ´ fazer a aproxima¸˜o de ∂y ui1 considerando uma aproxima¸˜o de primeira e e ca ca ui2 −ui1 ordem que n˜o necessita de pontos extra, com ∂y ui1 = hy + O(hy ). a ´ importante notar que nestes pontos em que est˜o impostas condi¸˜es de Neumann, apenas E a co a derivada normal ´ dada, o valor da fun¸˜o surge tamb´m como inc´gnita. Assim, aparece e ca e o ui2 −ui1 mais uma equa¸˜o que, pela aproxima¸˜o anterior, ser´ −gi1 = hy , que ´ compensada pela ca ca a e existˆncia de mais uma inc´gnita, ui1 . e o Vamos agora tentar obter uma aproxima¸˜o de segunda ordem, adequada ` aproxima¸˜o que ca a ca consider´mos nos pontos interiores. Para esse efeito desenvolvemos a h2 2 y ui2 = ui1 + hy (∂y u)i1 + (∂y u)i1 + O(h3 ) y 2 1 2 2 e admitindo que tinhamos a equa¸˜o de Laplace sai tamb´m (∂y u)i1 = −(∂x u)i1 = − h2 (ui+1,1 − ca e x 2ui1 + ui−1,1 ) + O(h2 ). Substituindo, ﬁcamos com x ui2 = ui1 − hy gi1 − ou seja, gi1 = 1 hy h2 1 y (ui+1,1 − 2ui1 + ui−1,1 ) + O(h2 )h2 + O(h3 ), x y y 2 h2 x 2 hy 1 (ui+1,1 − 2ui1 + ui−1,1 ) 2 h2 x ui1 − ui2 − + O(h2 )hy + O(h2 ) x y o que j´ ´ uma aproxima¸˜o de segunda ordem. ae ca Neste caso, a equa¸˜o a incluir ´ ca e ui2 = ui1 − hy gi1 − h2 1 y (ui+1,1 − 2ui1 + ui−1,1 ) 2 h2 x (2.10) e que, no caso hx = hy = h, ﬁca simplesmente 1 ui2 = 2ui1 − h gi1 − (ui+1,1 + ui−1,1 ). 2 (2.11) Observa¸˜o: Repare-se que no caso em que se tem a derivada normal nula, a equa¸˜o (2.11) ca ca 1 volta a ser uma f´rmula da m´dia, j´ que obtemos ui1 = 2 ui2 + 1 (ui+1,1 + ui−1,1 ), de certa forma o e a 4 admitindo que existiria um ponto extra tal que ui0 = ui2 . 2.2.4 O problema discreto Iremos agora estabelecer o correspondente discreto do teorema do m´ximo, e assim podemos a estabelecer facilmente a unicidade e tamb´m uma estimativa para controlar erros no interior a e partir dos erros na fronteira. Teorema 2.2.1 (do m´ximo/m´ a ınimo discreto). Se uij veriﬁca a equa¸ao de Laplace discreta c˜ ˜ (uij ) = 0 (para pontos pij ∈ h ), ent˜o a pij ∈ ¯ h max uij = max uij , pij ∈∂ h pij ∈ ¯ h min uij = min uij pij ∈∂ h 34 Demonstra¸˜o: ca Suponhamos que o m´ximo/m´ a ınimo era atingido num ponto pij ∈ Usando a f´rmula o uij = α(ui+1,j + ui−1,j ) + β(ui,j+1 + ui,j−1 ) h. j´ vimos que uij ´ o baricentro dos 4 pontos ui+1,j , ui−1,j , ui,j+1 , ui,j−1 , porque a soma dos pesos, a e com h2 h2 y x α= , β= , 2(h2 + h2 ) 2(h2 + h2 ) x y x y ´ igual a 1. Como estes pesos s˜o positivos uij est´ compreendido4 entre os valores dos 4 pontos e a a de Vij = {ui+1,j , ui−1,j , ui,j+1 , ui,j−1 }. Portanto min Vij ≤ uij ≤ max Vij . Como uij = α(ui+1,j + ui−1,j ) + β(ui,j+1 + ui,j−1 ) ´ uma m´dia, s´ h´ duas possibilidades, e e o a ou a desigualdade ´ estrita ou ent˜o h´ igualdade em todos os pontos de Vij . e a a Se houver igualdade em todos os pontos, a fun¸˜o ´ constante, porque o mesmo se ir´ passar ca e a para qualquer ponto de Vij que tamb´m ser´ m´ximo/m´ e a a ınimo. Se a desigualdade for estrita isso contradiz a hip´tese de ser m´ximo/m´ o a ınimo em pij . Deﬁnindo a norma do m´ximo num conjunto discreto ω, a ||uij ||∞,ω = max |uij |, pij ∈ω ´ consequˆncia imediata que, nas condi¸˜es do teorema anterior, temos e e co ||uij ||∞, ¯ h = ||uij ||∞,∂ h . Apresentamos tamb´m um princ´ do m´ximo para a discretiza¸˜o de fun¸˜es sub-harm´nicas, e ıpio a ca co o em que a demonstra¸˜o anterior se repete, e que poder´ ser visto como um corol´rio. Analogaca a a mente, poder´ ıamos estabelecer um princ´ do m´ ıpio ınimo para fun¸˜es sobre-harm´nicas discretas. co o Corol´rio 2.2.1 Seja uij : ˜ uij = fij ≥ 0, ent˜o a a max uij ≤ max uij ¯h ∂ h Demonstra¸˜o: ca No caso mais simples, em que hx = hy = h, ﬁcamos com 1 fij = ˜ uij = 2 (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4uij ), h e portanto h2 1 uij = (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ) − fij . 4 4 Como fij ≥ 0, mais uma vez conclu´ ımos que uij ≤ max Vij e a demonstra¸˜o anterior repete-se. ca 4 Nota: Se tivermos αi = 1, com αi > 0, ent˜o teremos a min ui = αi min ui ≤ αi ui ≤ αi max ui = max ui . 35 Problema de Dirichlet discreto Teorema 2.2.2 Uma solu¸ao do problema de Dirichlet discreto para a equa¸ao de Poisson existe c˜ c˜ e ´ unica, havendo tamb´m dependˆncia cont´nua dos dados na fronteira. e´ e e ı Demonstra¸˜o: ca Unicidade: Se pensarmos em duas solu¸˜es u(1) , u(2) , do problema de Dirichlet discreto para a equa¸˜o co ca de Poisson, temos ˜ u(k) = fij em h , e u(k) = gij em ∂ h . ij ij Se ﬁzermos u = u(1) −u(2) , obtemos a equa¸˜o de Laplace condi¸˜es de Dirichlet nulas e portanto ca co ||uij ||∞, ¯ h = ||uij ||∞,∂ h =0 o que implica uij = 0 em ¯ h . Existˆncia: e J´ tinhamos visto que o n´mero de equa¸˜es ´ igual ao n´mero de inc´gnitas, igual a # h , a u co e u o e como acabamos de ver que o sistema homog´neo tem solu¸˜o unica, o sistema ser´ sempre e ca ´ a poss´ e bem determinado. ıvel Dependˆncia cont´ e ınua dos dados: Ela ´ imediata em qualquer sistema invert´ e ıvel. Mas podemos especiﬁcar mais, j´ que se a tivermos uma perturba¸˜o gij dos dados gij , ent˜o a diferen¸a entre as solu¸˜es correspondentes, ca ˜ a c co uij − uij , veriﬁca a equa¸˜o de Laplace discreta (assumimos que fij n˜o ´ perturbado) com ˜ ca a e condi¸˜o de Dirichlet dada por gij − gij e temos ca ˜ ||˜ij − uij ||∞, ¯ h = ||˜ij − gij ||∞,∂ u g h . Conclui-se assim que o erro no interior ser´ menor ou igual que o erro na fronteira. a Problema misto Dirichlet-Neumann discreto Teorema 2.2.3 O problema misto Dirichlet-Neumann discreto ´ bem posto. e Demonstra¸˜o: ca A demonstra¸˜o ´ semelhante. Repare-se que ca e   ˜ uij = fij , 0 uij = gij  1 ∂n uij = gij neste caso devemos considerar o problema em h sobre Γ0 h sobre Γ1 , h com ∂ h = Γ0 ∪ Γ1 . h h Dadas duas solu¸˜es u(1) , u(2) , veriﬁcando este problema, teremos u = u(1) − u(2) veriﬁcando co ca condi¸˜es homog´neas, isto ´, uij = 0 em Γ0 , e ∂n uij = 0 em Γ1 . Neste caso, a equa¸˜o discreta co e e h h 1 ﬁca (num ponto (i, 1) da fronteira Γh ) 1 ui2 = ui1 − hy gi1 − h2 1 y (ui+1,1 − 2ui1 + ui−1,1 ) 2 h2 x 36 e como g 1 = 0, temos ui2 = ui1 − ⇔ ⇔ ⇔ − 2ui1 + ui−1,1 ) h2 h2 y ui2 + 2hy2 (ui+1,1 + ui−1,1 ) = ui1 (1 + h2 ) x x h2 h2 ui2 + 2y (ui+1,1 + ui−1,1 ) = ui1 (h2 + h2 ) x x y 2 h2 y ui1 = h2hx 2 ui2 + 2(h2 +h2 ) (ui+1,1 + ui−1,1 ) +h x y x y h2 y 2h2 (ui+1,1 x ora isto signiﬁca que um ponto da fronteira ´ ainda o baricentro dos trˆs pontos ui2 , ui+1,1 , ui−1,1 e e y y com os pesos respectivos h2hx 2 , 2(h2 +h2 ) , 2(h2 +h2 ) (note que a soma dos pesos ´ igual a 1). e x +hy x y x y Isto signiﬁca que nestes pontos, em que se aplica a condi¸˜o de Neumann nula, ainda ´ v´lido ca e a o princ´ ıpio do m´ximo local, ou seja, ou a fun¸˜o ´ constante, ou a ca e 2 h2 h2 ui1 ∈] min{ui2 , ui+1,1 , ui−1,1 }, max{ui2 , ui+1,1 , ui−1,1 }[. Portanto a fun¸˜o nunca atingir´ valores extremos em pontos com condi¸˜o de Neumann ca a ca 0 , onde temos a condi¸˜o u = 0, nula, consequentemente atingir´ sobre a parte da fronteira Γh a ca ij logo pelo princ´ ıpio do m´ximo, haver´ solu¸˜o nula. a a ca A existˆncia resulta da unicidade e de o n´mero de equa¸˜es ser igual ao n´mero de inc´gnitas. e u co u o No caso mais simples hx = hy = h, temos as equa¸˜es para os pontos interiores pij ∈ h , co 1 uij = (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ), 4 1 os valores em Γ0 s˜o dados, e temos ainda as equa¸˜es para os pontos de fronteira Γh , dadas tal co h a como em 1 h 1 1 ui1 = ui2 + gi1 + (ui+1,1 + ui−1,1 ). 2 2 4 No total teremos # h + #Γ1 equa¸˜es e inc´gnitas, pelo que a unicidade do sistema homog´neo co o e h implica que o sistema seja poss´ e bem determinado. ıvel A dependˆncia cont´ e ınua dos dados resulta da invertibilidade do sistema. Problema de Neumann discreto J´ referimos que o m´todo de diferen¸as ﬁnitas n˜o ´ o mais adequado para este tipo de problea e c a e mas. Com efeito, como temos condi¸˜es de Neumann em toda a fronteira, surge-nos imediataco mente um problema nos cantos do dom´ ınio em que a normal n˜o est´ deﬁnida. Admitindo que a a o canto ´ apenas devido ` aproxima¸˜o geom´trica, temos mesmo assim alguns problemas... e a ca e Se repararmos nas equa¸˜es colocadas sobre os pontos da fronteira p21 e p12 , torna-se claro co que ´ preciso ter um valor no canto p11 , para a aproxima¸˜o de segunda ordem. Artiﬁcialmente, e ca podemos pensar em impor u21 = u11 , o que signiﬁca adicionar uma equa¸˜o e uma inc´gnita, ca o repetindo o processo nos outros cantos, seguindo uma certa orienta¸˜o. Isto permitir´ obter ca a # ¯ h equa¸˜es e inc´gnitas. S´ que agora, n˜o iremos ter um resultado de unicidade no sistema co o o a homog´neo... De facto, seguindo a demonstra¸˜o anterior apenas poderemos concluir que a e ca fun¸˜o ser´ constante, e como n˜o h´ condi¸˜es de Dirichlet nulas em nenhum ponto, n˜o ca a a a co a podemos concluir que ´ nula! Devido a isso, tamb´m s´ podemos concluir a existˆncia caso seja e e o e veriﬁcada uma condi¸˜o suplementar. ca 37 Isto n˜o ´ estranho, j´ que tinhamos visto no caso cont´ a e a ınuo que o problema de Neumann apenas estaria bem posto a menos de constante aditiva e se fosse veriﬁcada a condi¸ao de c˜ compatibilidade (2.5). Essa condi¸˜o de compatibilidade resultava imediatamente do teorema da ca divergˆncia, e podemos estabelecer qual o correspondente no caso discreto da mesma forma. e Com efeito, supondo que ˜ uij = fij em h , escrevendo ˜ ˜ ˜ ˜ h ˜ uij = d1 uij − d1 ui−1,j + d2 uij − d2 ui,j−1 , ˜ em que d1 uij = ui+1,j −uij , h ˜ e d2 uij = ui,j+1 −uij , h obtemos ˜ ˜ (d2 uij − d2 ui,j−1 ) hfij = i=1,...,N j=1,...,N i=1,...,N j=1,...,N ˜ ˜ (d1 uij − d1 ui−1,j ) + i=1,...,N j=1,...,N e pela propriedade telesc´pica o hfij = i=1,...,N j=1,...,N j=1,...,N ˜ ˜ (d1 uN,j − d1 u0,j ) + i=1,...,N ˜ ˜ (d2 uiN − d2 ui,0 ), ou seja, h pij ∈ h fij = pij ∈∂ h ˜ ∂n uij = pij ∈∂ h gij isto, se considerarmos a aproxima¸˜o de primeira ordem de ∂n uij = gij . ca • O problema pode ser contornado se for imposta uma condi¸˜o de Dirichlet num unico ca ´ ponto da fronteira. Desta forma voltamos ao enquadramento do problema Dirichlet-Neumann, e a unicidade do problema homog´neo (gra¸as ` condi¸˜o de Dirichlet nula nesse ponto) permite e c a ca garantir que o sistema ´ poss´ e determinado. Isto poder´ parecer demasiado artiﬁcial, mas e ıvel a corresponde simplesmente a atribuir um valor concreto ` constante, e o valor da ‘derivada a normal’, que n˜o ´ atribu´ nesse ponto, ´ automaticamente calculado de forma a que condi¸˜o a e ıdo e ca de compatibilidade seja satisfeita. 2.2.5 O sistema linear no caso de um rectˆngulo a Consideramos agora que ´ um rectˆngulo e ¯ h ´ o conjunto dos n´s igualmente espa¸ados e a e o c deﬁnido por um reticulado R. Em cada ponto pij ∈ h temos a equa¸˜o (no caso Laplace) ca uij − α(ui+1,j + ui−1,j ) − β(ui,j+1 + ui,j−1 ) = 0, em que α = h2 y 2 +h2 ) 2(hx y ,β = h2 x . 2(h2 +h2 ) x y Assim, a matriz do sistema aparece sob a forma de blocos −βI 0      0   −βI K −βI  0 −βI K 38 ··· . −βI . . .. .. . . 0 . . .           K −βI K .. . 0 . .. . . . 0 ··· Esta estrutura com ny × ny blocos de dimens˜o nx × nx resulta de considerar uma numera¸˜o a ca sequencial do tipo 1 2 3 · · · nx nx + 1 · · · · · · · · · 2nx . . . . . . por exemplo, num caso em que consideramos nx = 6, ny = 6 temos a ﬁgura seguinte. 31 em que −βI ´ um bloco com uma matriz e  1   −α   K= 0   .  . . 0 diagonal e em que o bloco K ´ dado por e  −α 0 ··· 0  . .  1 −α . . . .   .. .. .. . . . 0 .   .. . −α 1 −α  ··· 0 −α 1 nx (ny − 1) + 1 · · · ··· ··· nx ny ... ... ... ... 36 7 1 8 2 ... 3 12 ... 6 Figura 2.2.5: Numera¸ao ordenada dos n´s num rectˆngulo 6 × 6. c˜ o a Esta estrutura permite ver que a matriz ser´ uma matriz com diagonal dominante (mas n˜o a a estritamente dominante!), e at´ concluir que ´ irredut´ (pois trata-se de uma matriz tridiagonal e e ıvel com blocos n˜o nulos), o que permite concluir a invertibilidade (j´ antes demonstrada). E como a a a diagonal ´ positiva, podemos concluir que se trata de uma matriz sim´trica deﬁnida positiva. e e 2.2.6 Dom´ ınio gen´rico - aplica¸˜o de m´todos iterativos e ca e Se no caso de um rectˆngulo ´ razoavelmente imediato construir a matriz associada ao sistema, a e para dom´ ınios com geometrias mais complicadas isso pode ser bastante mais moroso. Por outro lado, como as matrizes do sistema s˜o esparsas, tornou-se bastante comum utilizar m´todos a e iterativos para a resolu¸˜o do sistema linear. Isto revelou-se eﬁcaz, usando o m´todo de Gaussca e Seidel, e especialmente o m´todo SOR, j´ que a matriz obtida ´ sim´trica, deﬁnida positiva, e e a e e nessas condi¸˜es os m´todos convergem. co e No caso de um dom´ ınio h , qualquer, com pontos pmn , vamos admitir que a matriz ´ M. e Iremos usar ´ ındices duplos,.assim, numa linha com ´ ındice duplo (i, j), temos a equa¸˜o ca pmn ∈ h Mij,mn umn = uij − α(ui+1,j + ui−1,j ) − β(ui,j+1 + ui,j−1 ). 39 Consequentemente, o valor Mij,kl ´ dado pela equa¸˜o substituindo umn = δmn,kl , em que δmn,kl e ca ´ o delta de Kronecker para os ind´ duplos (m, n) e (k, l). Assim, podemos provar que mesmo e ıces no caso de um dom´ ınio gen´rico a matriz ´ sim´trica e deﬁnida positiva. e e e (i) Para qualquer dom´ ınio h a matriz M ´ sim´trica. e e Como j´ referimos, usando umn = δmn,kl , obtemos a Mij,kl = δij,kl − α(δi+1,j;kl + δi−1,j;kl ) − β(δi,j+1;kl + δi,j−1;kl ), ou seja, Mij,kl Devido `s equivalˆncias a e   1,   −α, =  −β,   0, se (i, j) = (k, l) se (i ± 1, j) = (k, l) se (i, j ± 1) = (k, l) caso contr´rio. a (i ± 1, j) = (k, l) ⇔ (k 1, l) = (i, j) (i, j ± 1) = (k, l) ⇔ (k, l 1) = (i, j) torna-se claro que o valor Mkl,ij iria produzir o mesmo resultado, concluindo-se assim a simetria da matriz para qualquer dom´ ınio. uij = α(ui+1,j + ui−1,j ) + β(ui,j+1 + ui,j−1 ) = uji , (ii) Para qualquer dom´ ınio h a matriz M ´ deﬁnida positiva. e Reparamos que mais uma vez em qualquer linha existe uma dominˆncia (n˜o estrita) do a a termo diagonal. Pelo teorema de Gerschgorin (e.g. [1]), como a matriz ´ sim´trica podemos e e concluir que todos os valores pr´prios pertencem ao intervalo [0, 2]. Como j´ vimos que o probo a lema discreto ´ bem posto, o sistema ´ invert´ e podemos excluir o valor pr´prio nulo. Assim, e e ıvel o os valores pr´prios est˜o no intervalo ]0, 2] e portanto a matriz M ´ deﬁnida positiva, podendo o a e aplicar-se os m´todos de Gauss-Seidel e SOR. e M´todo de Gauss-Seidel e A aplica¸˜o do m´todo de Gauss-Seidel ´ extremamente simples, no sentido em que basta estaca e e belecer o processo iterativo uij (k+1) = α(ui+1,j + ui−1,j ) + β(ui,j+1 + ui,j−1 ). (k) (k+1) (k) (k+1) Aqui est´ impl´ a ıcita uma ordena¸˜o... os termos ui−1,j aparecem anteriores a ui,j (e o mesmo se ca passa para os termos ui,j−1 ), o que ´ feito automaticamente ao serem deﬁnidos os ciclos em i e e em j. Com efeito, computacionalmente, resume-se a deﬁnir uma lista com os valores u[[i,j]] e, dentro de um ciclo em i e em j, atribuir simplesmente u[[i,j]] = α(u[[i+1,j]] +u[[i−1,j]] ) + β(u[[i,j+1]] +u[[i,j−1]] ). Como o valor recentemente atribu´ ´ o que consta nos registos de u[[i−1,j]] e de u[[i,j−1]] , ıdo e a implementa¸˜o do m´todo de Gauss-Seidel ´ imediata (ao contr´rio do que aconteceria se ca e e a tent´ssemos implementar o m´todo de Jacobi, pois seria preciso guardar numa outra lista os a e valores anteriores)! 40 Outra vantagem deste processo ´ que basta atribuir inicialmente os valores na fronteira gij e a u[[i,j]] e executar o ciclo apenas nos pontos pij ∈ h (excluindo assim os pontos da fronteira pij ∈ ∂ h ). Os valores u[[i,j]] para os pontos pij ∈ h podem ser inicializados com um valor qualquer (por exemplo, zero). No entanto, no caso da equa¸˜o de Laplace, como j´ sabemos que a solu¸˜o no ca a ca interior estar´ entre os valores m´ximo e m´ a a ınimo dados na fronteira, ser´ de bom senso inicializar a com uma m´dia dos valores da fronteira. e ´o E ´bvio que, como os unicos valores conhecidos s˜o os valores da fronteira, o m´todo iterativo ´ a e dar´ pior resultados na generalidade dos pontos interiores. H´ que pensar que a informa¸˜o a a ca da fronteira apenas chegar´ verdadeiramente aos pontos mais interiores ap´s um n´mero de a o u itera¸˜es razo´vel. Esse n´mero de itera¸˜es est´ directamente ligado ao n´mero co a u co a u r= pij ,pkl ∈ ¯ h max {|i − k|, |j − l|} que ´ o correspondente discreto do diˆmetro de ¯ h . Assim, se considerarmos uma aproxima¸˜o e a ca exigente, com bastantes pontos internos, ser´ tamb´m preciso exigir um grande n´mero de a e u passos no m´todo iterativo, no m´ e ınimo o n´mero dever´ ser superior ao dobro de r para que a u a aproxima¸˜o tenha algum signiﬁcado. ca N˜o ´ uma boa estrat´gia tentar imediatamente obter uma aproxima¸˜o com um grande a e e ca n´mero de pontos internos, como j´ vimos isso exige um grande n´mero de passos no m´todo u a u e iterativo. O melhor processo ´ come¸ar por considerar poucos pontos internos para obter uma e c aproxima¸˜o rapidamente e usar essa aproxima¸˜o como iterada inicial numa discretiza¸˜o com ca ca ca h∗ um maior n´mero de pontos. Normalmente, considera-se um novo h = 2 , ou seja, ´ metade do u e anterior h∗ . Ou seja, supondo que tinhamos obtido os valores iniciais para um certo h∗ = 2h, ent˜o poder´ a ıamos inicializar u[[i,j]] a partir de u∗ ∗ ,j ∗ ]] da seguinte forma. Sendo pij = p∗∗ j ∗ (i.e. i [[i (i, j), nos novos ind´ ıces, representa o mesmo ponto que (i∗ , j ∗ ), nos antigos), aos valores u[[i,j]] , u[[i+1,j]] , u[[i,j+1]] , u[[i+1,j+1]] ´ atribu´ o valor de u∗ ∗ ,j ∗ ]] . Isto garante que os valores iniciais estejam j´ pr´ximo da solu¸˜o e ıdo a o ca [[i e rapidamente poderemos obter bons valores, sem haver necessidade de considerar um n´mero u exagerado de passos no processo iterativo. M´todo SOR e Outra hip´tese para melhorar o processo iterativo, ´ acelerar a convergˆncia usando um m´todo o e e e de relaxa¸˜o, mais concretamente o m´todo de relaxa¸˜o SOR (sucessive over relaxation5 ): ca e ca uij (k+1) = (1 − ω)uij + ω α(ui+1,j + ui−1,j ) + β(ui,j+1 + ui,j−1 ) (k) (k) (k+1) (k) (k+1) em que ω ∈]0, 2[ ´ um parˆmetro qualquer (no caso em que ω = 1, obtemos o m´todo de e a e Gauss-Seidel). Teorema (Ostrowski): O m´todo SOR converge para matrizes deﬁnidas positivas desde que ω ∈]0, 2[. e Trata-se tamb´m de uma condi¸ao necess´ria (Teorema de Kahan) desde que se exija a convergˆncia para e c˜ a e qualquer iterada inicial. 5 41 H´ um valor optimal para ω, que designamos por ω ∗ ∈]1, 2[, para o qual a convergˆncia do a e m´todo SOR ser´ mais r´pida. No caso de um dom´ e a a ınio h qualquer n˜o ´ poss´ estabelecer a e ıvel a priori qual o melhor valor. No entanto, no caso de um dom´ ınio rectangular, ´ poss´ mesmo e ıvel 6 M = L + D + U, deﬁnindo B = D −1 (L + U ), o valor optimal ser´ mostrar que dada a matriz a dado atrav´s do raio espectral de B, e 1 π π ρ(B) = (cos( ) + cos( )) 2 nx + 1 ny + 1 na f´rmula o ω∗ = 1+ 2 1 − ρ(B)2 2 1+ π 1 − cos( n+1 )2 No caso nx = ny = n, ﬁca simplesmente ω∗ = ou seja, ω∗ = , 2 . π 1 + sin( n+1 ) Como a rapidez de convergˆncia ser´ independente dos dados de fronteira, uma vez determinado e a o factor ω ∗ ele poder´ ser ainda utilizado para outros problemas. Para conﬁrmar a rapidez de a convergˆncia, podemos usar uma solu¸˜o conhecida, como as obtidas no m´todo de separa¸˜o e ca e ca de vari´veis. a 1.8 1.6 1.4 1.2 10 20 30 40 50 Figura 2.2.6: Nesta ﬁgura mostra-se a inﬂuˆncia da dimens˜o do sistema na varia¸ao do e a c˜ parˆmetro optimal ω∗ do m´todo de SOR. O caso apresentado ´ o caso de um quadrado, em a e e que ´ poss´ obter uma f´rmula expl´ e ıvel o ıcita. Podemos constatar que mesmo para um sistema de dimens˜o pequena, os valores optimais veriﬁcam normalmente ω > 1.5, sendo assim aconselh´vel a a proceder a utiliza¸ao de um parˆmetro de relaxa¸ao superior a 1.5. No entanto, deve ter-se em ` c˜ a c˜ aten¸ao que, caso ω esteja demasiado pr´ximo de 2, e devido ao r´pido crescimento do erro para c˜ o a parˆmetros superiores ao valor optimal, o m´todo de SOR pode ser menos eﬁcaz que o m´todo a e e de Gauss-Seidel. 6 A decomposi¸ao M = L + D + U signiﬁca, como habitualmente: c˜ L =parte de M inferior a diagonal, ` D =parte diagonal de M, U =parte de M superior a diagonal. ` 42 Erro do sistema — estimativas a posteriori Relembramos brevemente uma parte relativa a m´todos iterativos para sistemas lineares e como e ´ poss´ ter uma no¸˜o do erro que ´ cometido na aproxima¸˜o da solu¸˜o do sistema. Seja e ıvel ca e ca ca M u = b o sistema a resolver. Decompondo a matriz M na forma M = L + D + U, deﬁnimos para ω = 0, Mω = L + 1 1 D, Nω = (1 − )D + U ω ω −1 Cω = −Mω Nω e veriﬁcamos que se trata de um m´todo de ponto ﬁxo em que a fun¸˜o iteradora ´ Gu = e ca e −1 Mω b + Cω u, ﬁcando assim deﬁnido o processo iterativo −1 un+1 = Mω b + Cω un ⇔ Mω un+1 = b − Nω un −1 b + (1 − ω)u − ωD −1 (Lu ⇔ un+1 = ωD n n+1 + U un ), o que ´ equivalente a processar a itera¸˜o da forma especiﬁcada no in´ deste par´grafo. e ca ıcio a Sabemos que para o m´todo do ponto ﬁxo s˜o v´lidas as estimativas de erro e a a ||u − un || ≤ ||Cω ||n ||u − u0 ||, ou ainda ||u − un || ≤ ||Cω ||n ||u1 − u0 ||, 1 − ||Cω || no entanto, calcular ||Cω || ´ impratic´vel, num caso gen´rico, pois implicaria o c´lculo de matrizes e a e a inversas. Mas, como un+1 −un = Cω (un −un−1 ), ´ poss´ ter uma no¸˜o do valor de ||Cω || efectuando e ıvel ca a raz˜o a ||un+1 − un || rn = ≤ ||Cω ||, ||un − un−1 || e apesar de podermos garantir apenas a majora¸˜o e n˜o a minora¸˜o, para valores de n elevados ca a ca a raz˜o rn d´-nos um valor aproximado de ||Cω ||. a a 2.2.7 Convergˆncia e estimativa de erro e Vamos agora seguir [10] para mostrar a convergˆncia do m´todo de diferen¸as ﬁnitas e a estie e c mativa de erro. Lema 2.2.1 Consideremos ¯ h um conjunto discreto qualquer, contido num quadrado Q = [0, a] × [0, a]. Ent˜o a pij ∈ max |vij | ≤ max |vij | + h pij ∈∂ a2 max | ˜ vij | 2 pij ∈ h (2.12) Demonstra¸˜o. ca Consideramos a fun¸˜o auxiliar w(x, y) = 1 x2 , e observamos que nos pontos pij do reticulado ca 2 em Q temos a2 0 ≤ wij ≤ 2 43 onde wij = w(xi , yj ). Portanto, ˜ wij = 1 ( 1 (xi + h)2 − 2 1 x2 + 1 (xi − h)2 ) = 1 (xi h − xi h + h2 ), h2 2 2 i 2 h2 ou seja, ˜ wij = 1. Deﬁnimos agora ± vij = ±vij + wij M, em que M = max | ˜ vij |. Para qualquer ponto interior, pij ∈ ˜ v± = ± ˜ vij + M ≥ 0 ij e assim pelo princ´ ıpio do m´ximo discreto, a ± vij ≤ ± max vnm = h h, temos pnm ∈∂ pnm ∈∂ max (±vnm + wnm M ) ≤ h pnm ∈∂ max (±vnm ) + h a2 M. 2 Reparando agora que, pela deﬁni¸˜o de M, ca ± ± ±vij = vij − wij M ≤ vij , surge imediatamente ±vij ≤ max(±vij ) + ∂ a2 M 2 que implica o resultado. Assumindo uma regularidade da solu¸˜o u ∈ C 4 ( ¯ ), podemos agora estabelecer uma maca jora¸˜o para o erro pontual |eij | , deﬁnido por ca eij = u(xi , yj ) − uij , e para a norma ||eh ||∞ , deﬁnindo eh = (eij ), o vector do erro. Teorema 2.2.4 Seja u ∈ C 4 ( ¯ ) a solu¸ao exacta do problema de Poisson. Consideremos ¯ h c˜ ¯ , e contido num quadrado Q = [0, a]2 . Ent˜o a um conjunto discreto aproxima¸ao de c˜ |eij | ≤ max |u(xi , yj ) − uij | ≤ C1 h2 + C2 h2 , x y h (2.13) em que C1 = a2 24 4 maxw∈ |∂x u(w)|, C2 = a2 24 4 maxw∈ |∂y u(w)|. Ou ainda, se hx = hy = h, ||eh ||∞ = ||u(xi , yj ) − uij ||∞, h ≤ a2 4 4 ||∂x u||∞, ¯ + ||∂y u||∞, ¯ h2 . 24 (2.14) Demonstra¸˜o: ca J´ vimos que o operador de truncatura local para o laplaciano veriﬁca, para pij ∈ a τ (u)ij = −1 2 4 4 u(xi , yj ) − ˜ u(xi , yj ) = (h ∂ u(ξi , yj ) + h2 ∂y u(xi , ξj )). y 12 x x 44 h, Deﬁnindo vij = uij − u(xi , yj ), como u(xi , yj ) = fij e tamb´m ˜ uij = fij , ent˜o e a u(xi , yj ) − ˜ u(xi , yj ) = τ (u)ij . ˜ vij = fij − ˜ u(xi , yj ) = Como as condi¸˜es de fronteira s˜o iguais, obtemos co a vij = uij − u(xi , yj ) = 0 para (xi , yj ) ∈ ∂ Pelo Lema anterior, pij ∈ h. max |vij | ≤ max |vij | + h pij ∈∂ h a2 max | ˜ vij | 2 pij ∈ h a2 max |τ (u)ij |. 2 pij ∈ h e portanto pij ∈ max |u(xi , yj ) − uij | ≤ 0 + h Conclu´ ımos que max |u(xi , yj ) − uij | ≤ h pij ∈ a2 4 max h2 ∂ 4 u(ξi , yj ) + h2 ∂y u(xi , ξj ) . y 24 pij ∈ h x x e deduzimos o resultado. Observa¸˜o: A demonstra¸˜o foi apresentada para o problema de Dirichlet, mas podemos ca ca reparar que se tivessemos um problema que inclu´ ısse numa parte Γ1 condi¸˜es de Neumann, co h o mesmo racioc´ ınio seria aplic´vel, se admitisse erro nulo na aproxima¸˜o da derivada normal. a ca Com efeito, a unica parte que seria diferente diria respeito a maxpij ∈∂ h |vij | que, no entanto, ´ continuaria a ser nulo, j´ que as condi¸˜es de Neumann nulas (se o erro fosse nulo) implicariam a co que o m´ximo seria em Γ0 que teria condi¸˜es de Dirichlet nulas. a co h 2.2.8 Caso tridimensional Com ´ obvio, toda a an´lise que foi efectuada anteriormente pode ser estendida sem grande e a diﬁculdade para dimens˜es superiores, tudo se resume a considerar uma nova aproxima¸˜o dos o ca operadores diferenciais. Por exemplo, no caso tridimensional, o operador de Laplace passar´ a a ser aproximado por ˜ uijk = ui+1,j,k − 2uijk + ui−1,j,k + ui,j+1,k − 2uijk + ui,j−1,k + ui,j,k+1 − 2uijk + ui,j,k−1 h2 h2 h2 x y z (2.15) que constitui ainda uma aproxima¸˜o de segunda ordem. No caso mais simples, da equa¸ao de ca c˜ Laplace, e se considerarmos hx = hy = hz , obtemos imediatamente a f´rmula da m´dia discreta o e 1 uijk = (ui+1,j,k + ui−1,j,k + ui,j+1,k + ui,j−1,k + ui,j,k+1 + ui,j,k−1 ), 6 o mesmo acontecendo para dimens˜es superiores... o (2.16) 45 2.3 Outras equa¸oes e sistemas el´ c˜ ıpticos Vamos agora abordar ligeiramente casos de outras equa¸˜es, de ordem superior, e tamb´m alguns co e sistemas de equa¸˜es el´ co ıpticas.A no¸˜o de operador el´ ca ıptico existe para operadores diferenciais de ordem superior e tamb´m para operadores vectoriais. Iremos ver alguns casos mais signiﬁcae tivos, que tˆm aplica¸˜o em problemas da f´ e ca ısica-matem´tica. Nomeadamente, o iremos abordar a ligeiramente o operador bilaplaciano, o operador da elasticidade (ou de Navier) e o operador de Stokes. 2.3.1 Bilaplaciano Com aplica¸˜o importante na teoria da deforma¸˜o de placas (com espessura negligenci´vel), ca ca a introduzimos o operador bilaplaciano, que em R2 ´ e 2 u= 4 2 2 4 ( u) = ∂x u + 2∂x ∂y + ∂y u, e que se trata ainda de um operador el´ ıptico. Uma fun¸˜o que veriﬁca 2 u = 0 ´ designada por ca e fun¸˜o biharm´nica. ca o Portanto se tivermos uma placa ﬁxa sujeita a uma carga f (por exemplo, devido ` gravidade), a 2 , como solu¸˜o do problema obtemos um deslocamento u nos pontos (x, y) da placa ⊂ R ca  2 u = f, em ,  u = 0, sobre ∂ ,  ∂n u = 0, sobre ∂ . Ao ser veriﬁcada esta equa¸˜o obtemos o deslocamento para o estado de equil´ ca ıbrio. Existem v´rias poss´ a ıveis condi¸˜es de fronteira que s˜o adaptadas `s v´rias maneiras como a placa est´ co a a a a apoiada, mas aqui apenas consideramos apoios ﬁxos. Iremos ver mais ` frente que este problema a est´ bem posto. a No quadro da a aproxima¸˜o com diferen¸as ﬁnitas, podemos obter uma aproxima¸˜o de ca c ca segunda ordem se usarmos convenientemente a expans˜o em s´rie de Taylor a partir de 12 a e pontos (ver ﬁgura), e obt´m-se, para hx = hy , e ˜ 2 uij = α0 uij + α1 (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ) +α2 (ui+1,j+1 + ui+1,j−1 + ui−1,j+1 + ui−1,j−1 ) + α3 (ui+2,j + ui−2,j + ui,j+2 + ui,j−2 ) com os pesos 20 8 2 1 , α1 = − 4 , α2 = 4 , α3 = 4 . h4 h h h No caso de fun¸˜es biharm´nicas (f = 0) ﬁcamos com a f´rmula co o o α0 = uij = 2 (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ) 5 1 1 − (ui+1,j+1 + ui+1,j−1 + ui−1,j+1 + ui−1,j−1 ) − (ui+2,j + ui−2,j + ui,j+2 + ui,j−2 ). 10 20 46 • H´ ainda uma outra possibilidade de abordagem, que consiste em decompor o problema a com o bilaplaciano em dois problemas com a equa¸˜o de Poisson, ou seja consideramos ca u=v v=f e ´ claro que ( u) = v = f, pelo que passamos a ter uma equa¸˜o de Poisson na sua forma e ca vectorial, j´ que introduzindo w = (u, v), e g = (v, f) ﬁcamos com w = g, notando, no a entanto, que o segundo membro depende de v e consequentemente de w. Este tipo de abordagem permite uma discretiza¸˜o cl´ssica, ou seja ca a 1 uij = 4 (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ) − h vij , 4 2 vij = 1 (vi+1,j + vi−1,j + vi,j+1 + vi,j−1 ) − h fij , 4 4 2 mas notamos que isto traz alguma an´lise detalhada na fronteira, pois implicaria converter os a dados na fronteira nos valores de vij , ou seja, conhecer uij a partir dos valores da segunda derivada normal ∂n ∂n u. 2.3.2 Elasticidade linear Um outro exemplo interessante consiste em tratar problemas el´ ıpticos que tˆm a sua origem na e elasticidade linear, e que d˜o origem a um sistema de equa¸˜es `s derivadas parciais. Para esse a co a efeito, consideramos uma entidade, designada por tensor das tens˜es, o σ ij (u) = λ div(u)δij + µ(∂ı uj + ∂j uı ). No caso bidimensional, u = (u1 , u2 ) representa o vector deslocamento, que ser´ a inc´gnita, a o e λ, µ s˜o parˆmetros positivos, associados `s caracter´ a a a ısticas do meio el´stico, designados por a coeﬁcientes de Lam´. Este tensor das tens˜es, assume, em certa medida, uma generaliza¸ao do e o c˜ vector gradiente, pelo que usaremos a nota¸˜o ca ∗ u = σij (u) =λ div(u) I + µ( u + ( u)T ), j´ que ´ consistente com outras no¸oes semelhantes e estabelece um paralelo com o problema de a e c˜ Laplace, ou seja, podemos deﬁnir o denominado operador de Navier, ∗ = div( ∗ ∗ ) e tamb´m e ∗ ∂n u = u · n, ∗ ∂n u veriﬁcando-se a validade do teorema ∗ u= ∂ e da 2a f´rmula de Green (tamb´m designada por f´rmula de Betti) o e o ∗ u·v− ∗ v·u= 47 ∂ ∗ ∂n u · v− ∂ ∗ ∂n v · u. ´ E ainda f´cil estabelecer uma express˜o expl´ a a ıcita para ∗ ∗, u =µ u + (λ + µ) ( · u). O problema de Dirichlet associado ` equa¸˜o da elastoest´tica linear escreve-se, assim, sima ca a plesmente, ∗u = f em , u = g sobre ∂ , ∗ e para o correspondente problema de Neumann, a derivada normal passa a ser ∂n u. Quanto a uma discretiza¸˜o por diferen¸as ﬁnitas, basta reparar que da rela¸˜o ∗ u =µ u+ ca c ca (λ + µ) · u, podemos proceder ` aproxima¸˜o de u de forma semelhante ` que ﬁzemos no a ca a caso escalar, ou seja ˜ uij = ui+1,j − 2uij + ui−1,j + ui,j+1 − 2uij + ui,j−1 . h2 h2 x y A outra parte, relativa ` aproxima¸ao de a c˜ ·u= · u, pode ser feita usando a deﬁni¸˜o ca ∂x (∂x u(1) + ∂y u(2) ) ∂y (∂x u(1) + ∂y u(2) ) , em que aqui escrevemos u = (u(1) , u(2) ). Podemos manter a aproxima¸˜o de segunda ordem para ca 2 2 ∂x u(1) , para ∂y u(2) , e aproximar as derivadas cruzadas ∂x ∂y u(2) , ∂y ∂x u(1) com um desenvolvimento de Taylor nas duas vari´veis. Basta reparar que a v(x + hx , y + hy ) = i,j≥0 hi hj i j x y ∂ ∂ v(x, y), (i + j)! x y ou seja, para hx = hy , 1 2 2 2 vi±1,j+1 = vij ± h(∂x + ∂y )vij ± h2 ∂xy vij + h2 (∂x + ∂y )vij + ... 2 Com simples c´lculos, ´ poss´ mostrar que a e ıvel 2 2 ∂xy vij = ∂yx vij = vi+1,j+1 − vi−1,j+1 − vi+1,j−1 + vi−1,j−1 + O(h2 ) + O(h2 ) x y 4hx hy e assim obter uma aproxima¸˜o de segunda ordem para ∗ uij . Esta aproxima¸˜o utiliza um ca ca esquema com uma mol´cula de 8 ´tomos em quadrado, como mostra ﬁgura seguinte: e a Figura 2.2.7: Mol´cula quadrada para uma aproxima¸ao de segunda ordem do operador de e c˜ Navier. 48 2.3.3 Sistema de Stokes Referimos ainda o sistema de equa¸oes de Stokes, que representa um modelo para o escoamento c˜ lento de um ﬂuido incompress´ ıvel. Neste caso, ´ fundamental introduzir o tensor de Stokes, que e ´ dado atrav´s da press˜o p e do vector velocidade u por e e a S (u, p) = −pI + µ( u + ( u)T ). Usamos a nota¸˜o com o gradiente, para real¸ar as semelhan¸as com o operador de Laplace. No ca c c entanto, para al´m de exigirmos o conhecimento de e S (u, p) = · S (u, p) = µ u − p ´ necess´rio ainda considerar que a divergˆncia do campo de velocidades seja nula, ou seja, e a e · u = 0. O sistema de Stokes ﬁca assim µ u − p = f, · u = 0, ´ e na fronteira imp˜e-se normalmente condi¸˜es de Dirichlet (apenas em u). E claro que a press˜o, o co a que tamb´m ´ inc´gnita do problema, apenas ir´ ﬁcar determinada a menos de uma constante. e e o a Uma discretiza¸˜o simples, usando diferen¸as centradas para as derivadas de primeira ordem, ca c leva a uma aproxima¸˜o de segunda ordem para o gradiente da press˜o, ca a pij = ( pi+1,j − pi−1,j pi,j+1 − pi,j−1 , ) + O(h2 ) + O(h2 ), x y 2hx 2hy e tamb´m para a divergˆncia da velocidade e e · uij = ui+1,j − ui−1,j 2hx (1) (1) + ui,j+1 − ui,j−1 2hy (2) (2) + O(h2 ) + O(h2 ). x y Repare-se que o aparecimento da press˜o, faz surgir uma nova inc´gnita em cada ponto a o interior (... e na fronteira), no entanto, h´ tamb´m uma nova equa¸˜o que ´ dada pela imposi¸˜o a e ca e ca de divergˆncia nula. Considerando, por exemplo, µ = 1 e f = 0, com hx = hy , obtemos as e equa¸˜es em cada ponto (xi , yj ) ∈ h , co        ui+1,j +ui−1,j +ui,j+1 +ui,j−1 −2uij p −p = i+1,j2h i−1,j h2 (2) (2) (2) (2) (2) ui+1,j +ui−1,j +ui,j+1 +ui,j−1 −2uij p −p = i,j+12h i,j−1 h2 (1) (1) (2) (2) ui+1,j − ui−1,j + ui,j+1 − ui,j−1 = 0 (1) (1) (1) (1) (1) e h´ uma diﬁculdade imediata, j´ que na fronteira os valores pij s˜o tamb´m desconhecidos. a a a e Uma possibilidade de contornar este problema consiste em considerar pontos interm´dios e p −p p −p substituindo, por exemplo, a aproxima¸˜o i+1,j2h i−1,j por i+1/2,j h i−1/2,j . No entanto a aproxca ima¸˜o envolve detalhes que n˜o abordaremos aqui (para maior detalhe, consultar por exemplo ca a [17]). 49 2.4 Exemplos computacionais (Laplaciano) • Exemplo 1. Para ilustrarmos a convergˆncia do esquema de diferen¸as ﬁnitas aplicado ` e c a equa¸˜o de Poisson, come¸amos por considerar um exemplo acad´mico, em que a solu¸˜o ´ ca c e ca e conhecida u(x, y) = cos(πx/4) cos(πy/4) (2.17) 2 ¯∞ ¯∞ e assim, u = f com f = − π u. Consideramos o dom´ ınio =]−4, 4[2 \(B1 (−2, 2)∪ B1 (2, −2)), 8 ∞ (z) = {x ∈ R2 : ||x − z|| 2 , que tem uma fronteira com 3 compo¯ onde Bρ ∞ ≤ ρ} = z + [−1, 1] nentes conexas — uma externa Γ0 fronteira do quadrado maior ] − 4, 4[2 , e duas internas, Γ1 e ¯∞ ¯∞ Γ2 , fronteiras dos quadrados a´ inscritos (ou seja, B1 (−2, 2) e B1 (2, −2), respectivamente). Na ı fronteira Γ0 consideramos um condi¸˜o de Neumann homog´nea, ∂n u = 0, que ´ veriﬁcada pela ca e e solu¸˜o apresentada, e nas fronteiras Γ1 , Γ2 consideramos a condi¸˜o de Dirichlet dada pelos ca ca valores de u (ou seja g = u). Consideramos a resolu¸˜o exacta do sistema linear resultante do m´todo das diferen¸as ﬁnitas ca e c usando a discretiza¸˜o de segunda ordem do Laplaciano (e da condi¸˜o de Neumann). Para ca ca h = hx = hy , obtemos os resultados que se apresentam em tabela h ||eh ||∞ 1 0.0588 0.5 0.0141 0.25 0.00348 0.125 0.000865 0.0625 0.000216 Estes resultados evidenciam um comportamento quadr´tico do erro, ||eh ||∞ ≈ 0.057h2 , a conforme previsto pela discretiza¸˜o de segunda ordem, e na Fig.2.4.1 ´ apresentado o gr´ﬁco ca e a do erro, que ´ semelhante ao gr´ﬁco da solu¸˜o dada por (2.17), a menos de factor de escala (o e a ca erro ´ quase 5000 vezes inferior). Esta circunstˆncia n˜o ´ estranha ao facto das 4a derivadas e a a e da solu¸˜o (que est˜o no erro de truncatura) serem semelhantes ` fun¸˜o, a menos de factor ca a a ca 2 π2 de escala (notando ainda que esse erro de truncatura envolve o factor 2 h 256 u ≤ 0.000248, 12 pr´ximo do erro registado). o Figura 2.4.1: Gr´ﬁco do erro para h = 0.0625, considerando a solu¸ao exacta do sistema a c˜ 2 − 2 · 332 = 14463 inc´gnitas. linear com 129 o ınio, consider´mos a solu¸˜o do problema u = 0, a ca • Exemplo 2. Para o mesmo dom´ exigindo valores constantes sobre as fronteiras interiores, mais precisamente, u = 100o C em Γ1 e u = 20o C em Γ2 , mantendo a condi¸˜o de Neumann nula sobre Γ0 . A solu¸˜o n˜o ´ conhecida, ca ca a e sendo apresentadas em Fig.2.4.2 as aproxima¸˜es obtidas com h = 0.5 (` esquerda) e com h = 0.1 co a (` direita). O gr´ﬁco obtido com h = 0.5 evidencia j´ o aspecto global da solu¸˜o, devendo notara a a ca se que neste caso, havendo singularidades das derivadas da solu¸˜o nas fronteiras interiores, n˜o ca a 50 est´ garantida a convergˆncia, pelo que a aproxima¸˜o ´ naturalmente mais grosseira pr´ximo a e ca e o dessas fronteiras. Reparamos ainda na constata¸˜o do princ´ ca ıpio do m´ximo discreto, pois o a m´ximo est´ na fronteira Γ1 , e tamb´m do m´ a a e ınimo, que est´ na fronteira Γ2 . a Figura 2.4.2: Gr´ﬁcos da aproxima¸ao da solu¸ao do Exemplo 2, considerando uma aproxima¸ao a c˜ c˜ c˜ grosseira com h = 0.5 (` esquerda), e uma mais ﬁna, com h = 0.1 (` direita). a a • Exemplo 3. Neste exemplo consideramos a aplica¸˜o de m´todos iterativos para a resolu¸˜o do sistema ca e ca 2 , e consideramos o problema de Dirichlet na equa¸˜o de Laplace, linear. O dom´ ´ =]−1, 1[ ınio e ca 1 com a solu¸˜o exacta u(x, y) = 2 cosh(y)(sin(x)+cos(x)). Na Fig.2.4.3, com h = 15 , apresentamca se os gr´ﬁcos da solu¸˜o (` direita), da aproxima¸˜o resolvendo o sistema pelo m´todo de Gaussa ca a ca e Seidel com 80 itera¸˜es (ao centro), e do erro (` esquerda). De notar que aqui o erro inclui a co a soma do erro da discretiza¸˜o com o erro da aproxima¸˜o do sistema. O valor m´ximo do erro ca ca a absoluto ´ razoavelmente elevado e ´ obtido num ponto pr´ximo do centro. Neste caso o n´mero e e o u de itera¸˜es no m´todo de Gauss-Seidel foi pequeno e os pontos centrais s˜o os ultimos a receber co e a ´ a contribui¸˜o da condi¸˜o de fronteira, o que justiﬁca este erro mais elevado no centro. ca ca Figura 2.4.3: Gr´ﬁcos da solu¸ao exacta (` esquerda), da solu¸ao aproximada usando o a c˜ a c˜ m´todo de Gauss-Seidel com 80 itera¸oes (ao centro), e do erro (` direita). e c˜ a Na tabela seguinte apresenta-se a varia¸˜o do erro m´ximo aumentando m o n´mero de ca a u itera¸˜es no m´todo de Gauss-Seidel. co e m 80 160 320 ||u − uh ||∞ 1.4187 0.5856 0.1006 51 (m) m 640 1280 2560 ||u − uh ||∞ 0.002589 0.0004585 0.0004610 (m) Aqui us´mos a nota¸˜o uh para designar o valor obtido para o m´todo de Gauss-Seidel a ca e com m itera¸˜es e um passo h ﬁxo. At´ m = 640 nota-se um acentuado decrescimento no valor co e absoluto do erro, mas de m = 1280 para m = 2560 h´ um pequeno aumento. Isto deve-se a obviamente ao facto de que para esse n´mero elevado de itera¸˜es a solu¸˜o aproximada do u co ca sistema ´ bastante boa e apenas resta o valor do erro de discretiza¸˜o do m´todo das diferen¸as e ca e c ﬁnitas. Repare-se que devemos separar o erro em ||u − uh ||∞ ≤ ||u − uh ||∞ + ||uh − uh ||∞ , em que a primeira parcela ´ o erro da discretiza¸˜o geom´trica e a segunda parcela ´ o erro da e ca e e aproxima¸˜o da solu¸˜o do sistema. ca ca (m) (m) (m) 52 53 Cap´ ıtulo 3 Diferen¸as Finitas em Problemas de c Evolu¸˜o ca A aplica¸˜o de m´todos de diferen¸as ﬁnitas ´ muito habitual em problemas de evolu¸˜o, onde ca e c e ca os operadores diferenciais incluem uma derivada parcial no tempo. No caso linear, o operador diferencial pode normalmente ser escrito na forma D = ∂t − Dx onde Dx representa um operador diferencial linear nas vari´veis espaciais (x ∈ Rd ). Neste a cap´ ıtulo iremos estudar a aplica¸˜o de m´todos de diferen¸as ﬁnitas `s equa¸˜es do calor e ca e c a co das ondas, representativas de problemas parab´licos e hiperb´licos. o o Assim, obtemos a equa¸˜o do calor (homog´nea) considerando Dx = α x (onde α > 0 ´ um ca e e parˆmetro de difus˜o), e podemos obter a equa¸˜o das ondas considerando um sistema (c ´ a a a ca e velocidade de propaga¸˜o da onda), ca ∂t u1 = u2 ∂t u2 = c2 x u1 2 j´ que por substitui¸˜o em u2 se veriﬁca ∂t u1 = c2 x u1 . Este sistema pode ser expresso na a ca forma Du = 0 atrav´s de um operador vectorial D = ∂t − (#2 , c2 x #1 ). e A aplica¸˜o a estes problemas dos esquemas de diferen¸as ﬁnitas ´ normalmente muito simca c e ples, e ´ especialmente apropriado fazer a discretiza¸˜o no tempo por diferen¸as ﬁnitas, podendo e ca c a discretiza¸˜o no espa¸o ser feita tamb´m por um m´todo de diferen¸as ﬁnitas ou por um outro ca c e e c (por exemplo, elementos ﬁnitos). Iremos estudar apenas o caso em que a discretiza¸˜o ´ feita ca e por diferen¸as ﬁnitas em ambos os casos, concentrando-nos no caso mais simples, num problema c de segunda ordem em que a dimens˜o espacial ´ 1. a e 3.1 Equa¸˜o do Calor ca A equa¸˜o do calor que tamb´m ´ denominada equa¸ao de difus˜o ´, na sua forma mais ca e e c˜ a e simples ∂t u(x, t) = x u(x, t), ınio de aplica¸˜o ´ agora um conjunto ca e em que iremos considerar x ∈ , t ∈ (t0 , +∞). O dom´ × (t0 , +∞) em dimens˜o d + 1, que corresponde a um cilindro generalizado, assumindo a 54 ﬁxo (ser´ um cilindro para d = 2 e a circular). Poderia ser considerada ainda uma varia¸ao c˜ do dom´ ınio (espacial) dependente do tempo (t), mas iremos mesmo restringir ao caso mais simples, com d = 1 e onde = (xa , xb ) ser´ um intervalo ﬁxo. a Trata-se de uma equa¸˜o parab´lica, e o estudo que aqui faremos pode ser aplicado a outras ca o equa¸˜es similares. Esta equa¸˜o modela a evolu¸˜o de bastantes fen´menos f´ co ca ca o ısicos, relacionados com dissipa¸˜o ou difus˜o, com ´ o caso da evolu¸˜o da temperatura num corpo. Tamb´m est´ ca a e ca e a relacionada com alguns modelos de matem´tica ﬁnanceira, nomeadamente com a equa¸˜o de a ca Black-Scholes, que com uma transforma¸˜o de vari´veis apropriada se pode reduzir ` equa¸˜o ca a a ca do calor. • Separa¸˜o de vari´veis ca a Consideramos separa¸˜o de vari´veis u(x, t) = v(x)w(t) na equa¸˜o do calor, retirando (para ca a ca v, w = 0) w (t) x v(x) v(x)w (t) = x v(x)w(t) ⇔ = = const. = K w(t) v(x) ou seja, w = Kw ∧ xv = Kv. Notamos que temos uma solu¸˜o exponencial em w ca w(t) = w0 eKt , e uma solu¸˜o de uma equa¸˜o de Helmholtz em v. Em ambos os casos, o comportamento da ca ca solu¸˜o depende do sinal de K. ca Se K > 0, a solu¸˜o cresce assimptoticamente quando t → ∞, e obtemos a equa¸˜o de ca ca Helmholtz modiﬁcada em v. Este caso n˜o tem correspondente f´ a ısico na dissipa¸˜o (difus˜o) ca a do calor, ao contr´rio do caso K < 0. Assim, assumiremos que u decresce assimptoticamente, a considerando K = −µ2 , obtendo no caso unidimensional w(t) = w0 e−µ t , 2 v(x) = v0 eiµx + v1 e−iµx . Temos assim, como poss´ ıveis solu¸˜es particulares (1D+1T), na forma trigonom´trica, co e u(x, t) = e−µ t (c0 sin(µx) + c1 cos(µx)). Notamos ainda que uma combina¸˜o destas solu¸˜es particulares pode nalguns casos levar ca co a ` resolu¸˜o do problema de valor inicial, considerando uma expans˜o em s´rie de Fourier da ca a e condi¸˜o inicial u0 ca • Problema de Dirichlet (unicidade) Consideramos o problema de Dirichlet, n˜o homog´neo, em dimens˜o d, limitando a oba e a serva¸˜o at´ um tempo tf < ∞, ca e  (x, t) ∈ × (t0 , tf ) (i)  ∂t u(x, t) = κ x u(x, t) + f (x, t), u(x, t0 ) = u0 (x), x∈ (ii) (3.1)  u(x, t) = uΓ (x, t), (x, t) ∈ ∂ × (t0 , tf ) (iii) 55 2 em que κ > 0 ´ uma constante de difus˜o. Por uma quest˜o de simpliﬁca¸˜o iremos considerar e a a ca frequentemente κ = 1 e f = 0, sem perda de generalidade. Neste problema de evolu¸˜o (3.1) distinguimos entre a condi¸ao na fronteira ∂ (iii), e a ca c˜ ´ claro que ambas as condi¸˜es podem ser consideradas como parte de condi¸ao inicial (ii). E c˜ co uma unica condi¸˜o de fronteira para o dom´ ´ ca ınio × (t0 , +∞). Admitindo que a solu¸˜o ´ limitada no tempo, obtemos unicidade de solu¸˜o, tendo-se mesmo ca e ca o princ´ ıpio do m´ximo/m´ a ınimo para a equa¸˜o do calor homog´nea (ie. f = 0), ca e ∂ ×[t0 ,tf ]∪ ¯ ×{0} max u = max u ¯ ×[t0 ,tf ] (analogamente para o m´ ınimo). Isto garante ainda uma dependˆncia cont´ e ınua dos dados iniciais u0 e dos dados na fronteira uΓ . Considerando u = u1 − u2 (diferen¸a entre solu¸˜es), podemos ainda obter a unicidade em c co termos de um decrescimento da energia, deﬁnindo E(t) = Portanto, E (t) = ∂t u(x, t)u(x, t)dx = κ x u(x, t)u(x, t)dx 1 2 u(x, t)2 dx. = −κ x u(x, t) · x u(x, t), ´ em que a ultima igualdade resulta de aplicar a f´rmula de Green (j´ que u = 0 em ∂ ). E assim ´ o a 2 claro que a derivada da energia ´ sempre negativa, E (t) = −κ || x u(·, t)||L2 ( ) , decrescente e e menor que o valor inicial. Consequentemente 0 ≤ E(t) ≤ E(0) = u0 − u0 = 0, ou seja E ≡ 0 e portanto u ≡ 0. 3.1.1 Diferen¸as ﬁnitas para a equa¸˜o do calor c ca notamos que a condi¸˜o de fronteira (3.1)-(iii) foi aqui substitu´ por duas condi¸˜es nos exca ıda co tremos (3.2)-(iii)+(iv), que correspondem ` fronteira do intervalo = (xa , xb ). a Na aproxima¸˜o por diferen¸as ﬁnitas usamos uma grelha de pontos (xn , tm ) igualmente ca c espa¸ados: c xn = xa + nhx ∧ tm = t0 + mht tf − t0 xb − xa ∧ ht = hx = N M de forma a que x0 = xa , xN = xb , tM = tf . O espa¸amento temporal ht ´ normalmente diferente c e do espa¸amento espacial hx , e a rela¸˜o entre ambos pode condicionar a estabilidade do esquema c ca Consideramos o problema de Dirichlet para a equa¸˜o homog´nea, 1D+1T, ca e  (x, t) ∈ (xa , xb ) × (t0 , tf ) (i)  (∂t − κ x )u(x, t) = f (x, t),   u(x, 0) = u0 (x), x ∈ (xa , xb ) (ii) t ∈ (t0 , tf ) (iii)  u(xa , t) = ua (t),   u(xb , t) = ub (t), t ∈ (t0 , tf ) (iv) (3.2) 56 de diferen¸as ﬁnitas adoptado. Como anteriormente, iremos abreviar unm para a aproxima¸˜o c ca de u(xn , tm ). No problema de Dirichlet, as condi¸˜es iniciais e aos limites s˜o deﬁnidas directamente pelos co a valores impostos, ou seja un0 = u0 (xn ) ∧ u0m = ua (tm ) ∧ uN m = ub (tm ). Resta por isso considerar a aproxima¸˜o no interior, ou seja, a aproxima¸˜o do operador diferca ca encial D nos pontos internos, Du = ∂t u − κ x u. Esta aproxima¸˜o ´ local, atrav´s de diferen¸as ﬁnitas, de forma a garantir consistˆncia nos ca e e c e pontos da grelha. 3.2 Esquema Expl´ ıcito para a Equa¸˜o do Calor ca Procurando resolver Du = f consideramos, no caso mais simples, uma aproxima¸˜o temporal ca com diferen¸as progressivas, e uma aproxima¸˜o espacial com diferen¸as centradas (FTCS — c ca c forward in time, centered in space). Ou seja, consideramos a aproxima¸˜o ca ∂t u(xn , tm ) = un,m+1 − unm un+1,m − 2unm + un−1,m 2 + O(ht ), ∂x u(xn , tm ) = + O(h2 ), x ht h2 x e desprezando os termos O(ht ), O(h2 ), obtemos x Dh unm = un+1,m − 2unm + un−1,m un,m+1 − unm −κ , ht h2 x o que, a partir de Dh unm = fnm , leva ao Esquema Expl´ ıcito: un,m+1 = unm + κht un+1,m − 2unm + un−1,m + ht fnm . h2 x Consideremos a equa¸˜o homog´nea f = 0. A dependˆncia expl´ ca e e ıcita pode ser expressa por um operador Mh un,m+1 = Mh (unm ) = unm + κ ht (un+1,m − 2unm + un−1,m ), h2 x (3.3) m e podemos encarar unm = Mh (un,0 ). Assim, a solu¸˜o dependeria directamente das condi¸˜es ca co iniciais se ignorassemos as condi¸˜es nos limites laterais. co Ilustramos esquematicamente, na Fig.3.2.1, a mol´cula do esquema expl´ e ıcito (` esquerda), a ao evidenciar que o c´lculo de un,m+1 ´ feito a partir dos 3 valores num tempo anterior, a e un+1,m , unm , un−1,m . Na ﬁgura da direita, ilustramos como o valor de un,m+1 depende sucessivamente dos valores situados na base da pirˆmide cuja inclina¸˜o ser´ deﬁnida pela raz˜o a ca a a 57 entre os passos ht /hx . un,m+1 ht un-1,m un,m un+1,m hx ht/hx Figura 3.2.1: Esquema Expl´cito para a Equa¸ao do Calor: mol´cula do esquema (` esquerda) ı c˜ e a e pirˆmide de dependˆncia da avalia¸ao (` direita). a e c˜ a Conforme j´ mencionado, sem o conhecimento dos valores nos extremos xa e xb o esquema a dependeria apenas dos valores da base, ou seja dos valores iniciais un,0 . O conhecimento dos valores u0,m e uN,m permite completar os restantes valores (` esquerda e ` direita, respectivamente), a a de forma autom´tica. a Sem outras restri¸˜es, poder´ co ıamos pensar que aumentando o valor de ht face ao valor de hx isso permitiria avan¸ar mais rapidamente, para uma previs˜o antecipada no tempo, com menos c a passos. No entanto, iremos ver que isso n˜o ´ arbitrariamente poss´ a e ıvel, pois para al´m de isso e levar a aproxima¸˜es grosseiras no tempo, pondo em causa a consistˆncia, h´ ainda uma quest˜o co e a a de estabilidade num´rica que impede mesmo uma antecipa¸ao arbitr´ria. e c˜ a H´ assim trˆs quest˜es essenciais que devem ser abordadas, estando relacionadas entre si: a e o (i) Consistˆncia; (ii) Estabilidade; (iii) Convergˆncia. e e Iremos primeiro abord´-las no caso do esquema expl´ a ıcito, generalizando depois as no¸˜es co utilizadas. 3.2.1 Consistˆncia do Esquema Expl´ e ıcito A consistˆncia de um esquema ´ uma no¸˜o local, que mede a qualidade da aproxima¸˜o local. e e ca ca Para esse efeito comparamos os novos valores dados pelo esquema, admitindo que os restantes eram exactos e que n˜o continham j´ um erro de aproxima¸˜o. Sendo un,m+1 os novos valores a a ca obtidos pelo esquema, a sua diferen¸a face ao valor correcto u(xn , tm+1 ) medir´ a consistˆncia. c a e Mais concretamente, temos um erro local de truncatura εn,m+1 = u(xn , tm+1 ) − un,m+1 , em que un,m+1 ´ a express˜o dada por (3.3) mas admitindo valores exactos, ou seja, e a un,m+1 = u(xn , tm ) + κht u(xn+1 , tm ) − 2u(xn , tm ) + u(xn−1 , tm ) + ht f (xn , tm ). h2 x A ordem de consistˆncia do esquema ´ normalmente deﬁnida pelo valor p em e e u(xn , tm+1 ) − un,m+1 = O(hp ), ht 58 2 u(xn , tm+1 ) = u(xn , tm ) + ht ∂t u(xn , tm ) + O(h2 ) = u(xn , tm ) + κht ∂x u(xn , tm ) + ht f (xn , tm ) + O(h2 ) t t u(xn + hx , tm ) − 2u(xn , tm ) + u(xn − hx , tm ) = u(xn , tm ) + κht + ht fnm + ht O(h2 ) + O(h2 ) x t h2 x = un,m+1 + O(ht h2 ) + O(h2 ), x t com h = max{ht , hx }. No caso do esquema expl´ ıcito, por expans˜o de Taylor, a concluindo-se que a consistˆncia do esquema expl´ e ıcito ´ de 1a ordem. e 3.2.2 Estabilidade do Esquema Expl´ ıcito A estabilidade de um esquema garante que a acumula¸˜o sucessiva de erros ´ limitada. Como ca e admitimos que os valores de f n˜o est˜o afectados de erro, considera-se o problema homog´neo, a a e com f = 0. Para avaliar a estabilidade ´ comum utilizar o crit´rio de estabilidade de Von e e Neumann. Em primeiro lugar, assume-se que os valores iniciais s˜o da forma a un,0 = R0 eiµxn , para qualquer µ(∈ Z). Depois, procuramos ver se os valores seguintes, sendo da forma un,m = Rm eiµxn , levam a uma sucess˜o (Rm ) que ´ limitada. a e No caso do esquema expl´ ıcito, temos Rm+1 eiµxn = un,m+1 = Rm eiµxn + ht Rm eiµxn+1 − 2Rm eiµxn + Rm eiµxn−1 , h2 x e como eiµxn±1 = eiµxn e±iµhx , obtemos por divis˜o do termo comum eiµxn a Rm+1 = Rm + ht eiµhx − 2 + e−iµhx Rm . h2 x ht iµhx e − 2 + e−iµhx , h2 x A sucess˜o (Rm ) ´ assim recursiva, deﬁnida por a e Rm+1 = RRm , com R = 1 + e como Rm = R0 Rm , a condi¸˜o necess´ria e suﬁciente para a sua limita¸˜o ´ |R| ≤ 1. Reparando ca a ca e que eiµhx − 2 + e−iµhx = eiµhx − e−iµhx obtemos a condi¸˜o ca |R| ≤ 1 ⇔ 1 − 4 que se resume a ht h2 x 2 = (2i sin(µhx ))2 = −4 sin2 (µhx ) ht ht sin2 (µhx ) ≤ 1 ⇔ −2 ≤ −4 2 sin2 (µhx ) ≤ 0 2 hx hx condi¸˜o de estabilidade ´ ca e sin2 (µhx ) ≤ 1 . Como µ ´ qualquer, sin2 (µhx ) poder´ atingir 1, pelo que a e a 2 ht h2 x ≤ 1 , ou seja, 2 1 ht ≤ h2 . 2 x Isto signiﬁca uma restri¸˜o consider´vel no espa¸amento temporal ht , que deve ser bastante ca a c pequeno face ao espa¸amento espacial hx . Por exemplo, se hx = 0.01, devemos ter ht ≤ 0.00005, c ou ainda para dimens˜es idˆnticas, numa grelha com 100 n´s no espa¸o, ser˜o necess´rios 20000 o e o c a a n´s no tempo! Isto ´ uma restri¸˜o consider´vel que motivar´ a adop¸˜o de outros esquemas. o e ca a a ca 59 3.2.3 Convergˆncia do Esquema Expl´ e ıcito Enquanto na consistˆncia avaliamos localmente a qualidade da aproxima¸˜o, ao avaliar a cone ca vergˆncia, estamos a avaliar globalmente, sem admitir que os valores anteriores s˜o correctos. A e a ordem de convergˆncia ´ dada pelo valor p na estimativa de erro e e en,m = u(xn , tm ) − un,m = O(hp ). Iremos que a consistˆncia e a estabilidade dos esquemas implicam a sua convergˆncia, pelo e e Teorema de Lax. No entanto, para ilustrar essa propriedade, podemos veriﬁc´-la sem recorrer a a esse teorema. Explicitando o erro local de truncatura, usando os restos de Lagrange na expans˜o de Taylor, a temos para o valor exacto u(xn , tm+1 ) = u(xn , tm ) + κ ht (u(xn+1 , tm ) − 2u(xn , tm ) + u(xn−1 , tm )) + ht f (xn , tm ) h2 x h2 4 x h2 2 t −ht x ∂x u(ξn , tm ) − t ∂t u(xn , ξm ), 12 2 x t com ξn ∈ (xn−1 , xn+1 ), ξm ∈ (tm , tm+1 ). Subtraindo da express˜o do esquema un,m+1 = un,m + a ht (un+1,m − 2un,m + un−1,m ) + ht fnm , ﬁcamos com h2 x en,m+1 = en,m + ht h2 4 x h2 2 t (en+1,m − 2en,m + en−1,m ) − ht x ∂x u(ξn , tm ) − t ∂t u(xn , ξm ). h2 12 2 x Aplicando a desigualdade triangular, temos |en,m+1 | ≤ 1 − 2 e designando Em = max |en,m | , DX4 = n x∈ ×(t0 ,tf ) ht ht h2 4 x h2 2 t |en,m | + 2 (|en+1,m | + |en−1,m |) + ht x ∂x u(ξn , tm ) + t ∂t u(xn , ξm ) h2 hx 12 2 x max 4 ∂x u(x, t) , DT 2 = x∈ ×(t0 ,tf ) max 2 ∂t u(x, t) obtemos Em+1 = max |en,m+1 | ≤ 1 − 2 n ht ht h2 h2 Em + 2 (Em + Em ) + ht x DX4 + t DT 2 . h2 hx 12 2 x 2ht h2 x ht ht ≤ 1. Assim, 1 − 2 h2 = 1 − 2 h2 , x x Quando a condi¸˜o de estabilidade ´ veriﬁcada temos ca e ht ht ﬁcando 1 − 2 h2 Em + 2 h2 Em = Em , logo x x Em+1 ≤ Em + ht h2 X4 ht T 2 x D + D . 12 2 Por aplica¸˜o recursiva da desigualdade, conclu´ ca ımos que Em ≤ E0 + mht 2 hx X4 ht T 2 D + D , 12 2 60 ou seja, temos n=0,··· ,N max |en,m | ≤ (tm − t0 ) h2 X4 ht T 2 x D + D , 12 2 o que implica en,m = O(ht ), quando limitados os valores das segundas derivadas temporais e das quartas derivadas espaciais. Tal como iremos ver pelo Teorema de Lax, a consistˆncia de ordem e 1 e a estabilidade do esquema implicam a convergˆncia de ordem 1. e 3.3 Consistˆncia, Estabilidade e Teorema de Lax e Antes de apresentarmos outros esquemas para a equa¸˜o do calor, apresentamos a rela¸˜o entre ca ca consistˆncia, estabilidade e convergˆncia, que ´ poss´ obter atrav´s do Teorema de Lax (ou e e e ıvel e ainda Lax-Richtmyer). Para esse efeito deﬁnimos mais precisamente os conceitos de consistˆncia e estabilidade. e Num esquema de diferen¸as ﬁnitas para um problema de evolu¸˜o, os valores num tempo c ca tm+1 podem ser deﬁnidos a partir dos tempos anteriores, tm , · · · , tm−q onde q + 1 ´ o n´mero e u de passos. Para simpliﬁcar, consideramos q = 0 (m´todo unipasso), e assim deﬁnindo o vector e um = (u0,m , · · · , uN,m ) podemos considerar o vector um+1 obtido a partir de um por um esquema linear um+1 = Mh um . Por uma quest˜o de simpliﬁca¸˜o, e como n˜o assumimos erros nos dados, consideramos que os a ca a problemas s˜o homog´neos. a e 3.3.1 Estabilidade A no¸˜o de estabilidade signiﬁca que a aplica¸˜o sucessiva de Mh , ou seja Mm , ser´ limitada. ca ca a h Condi¸˜o para essa limita¸˜o ´ exigir que a norma de Mh n˜o seja superior a 1, pois se ||Mh || ≤ ca ca e a 1, temos ||um || = ||Mm u0 || ≤ ||Mh ||m ||u0 || < ∞. h A condi¸˜o ||Mh || ≤ 1 signiﬁca ca ||Mh || = sup ||Mh u0 || ≤ 1. ||u0 || u0 =0 Atrav´s de interpola¸˜o trigonom´trica (ou transforma¸˜o de Fourier discreta), podemos escrever e ca e ca u0 (ou uma aproxima¸˜o da fun¸˜o u0 ) em termos de coeﬁcientes de Fourier, ca ca (u0 )n = u0 (xn ) = µ∈Z cµ eiµxn , (bastando considerar µ = 0, · · · , N para determinar cµ ). Assim, para efeitos de avaliar a limita¸˜o da norma, basta considerar vectores da base (u0 )n = eiµxn , conforme o crit´rio de ca e Von Neumann. 61 Nesse caso, u1 = Mh u0 = Mh (eiµxn ) = R eiµxn e obtemos ||Mh || = sup (R eiµxn ) ||(eiµxn )|| = |R| justiﬁcando que, para m´todos unipasso, a condi¸˜o |R| ≤ 1 garante estabilidade. e ca Observa¸ao: No caso de m´todos multipasso o racioc´ ´ semelhante, mas conv´m observar c˜ e ınio e e que isso leva a equa¸˜es `s diferen¸as, onde ´ necess´rio garantir que as ra´ co a c e a ızes da equa¸˜o ca caracter´ ıstica associada tenham m´dulo n˜o superior a 1. o a 3.3.2 Consistˆncia e A consistˆncia de ordem p de um esquema, pode traduzir-se na rela¸˜o e ca uE − um+1 = uE − Mh uE = ht O(hp ), m+1 m+1 m em que um+1 ´ a aproxima¸˜o que se obt´m com os valores exactos uE = u(xn , tm ). e ca e m Alternativamente, podemos considerar a diferen¸a entre a aproxima¸˜o do operador original c ca D e da sua aproxima¸˜o por diferen¸as ﬁnitas Dh . Nesse caso, admitimos que para um ponto ca c (xν , tµ ) temos a aproxima¸˜o para qualquer w fun¸˜o regular, ca ca (Dw)(xν , tµ ) − Dh [w(xn , tm )] = O(hp ) isto signiﬁca que h´ uma consistˆncia de ordem p na aproxima¸˜o do operador diferencial. a e ca E n˜o ´ solu¸˜o de D u = 0, temos Aplicando para a solu¸˜o u, e dado que um a e ca ca h m E Dh um = (Du)(xν , tµ ) + O(hp ) = O(hp ). ˜+ ˜+ ˜ Considerando a separa¸˜o de Dh em duas partes Dh = ∂t − D (em que ∂t corresponde `s ca a + E = O(hp ) e recuperamos a no¸˜o anterior de ˜ ˜ diferen¸as progressivas), obtemos (∂t − D)um c ca consistˆncia, e ˜ m uE = uE + ht DuE + ht O(hp ) = um+1 + ht O(hp ), m+1 m ˜ m pois um+1 ´ solu¸˜o de Dh uE = 0, veriﬁcando um+1 = uE + ht DuE . e ca m m 3.3.3 Convergˆncia e Um m´todo ter´ ordem de convergˆncia p se veriﬁcar e a e em = uE − um = O(hp ), m onde uE = u(xn , tm ) ´ o vector com os valores exactos no tempo tm . Ao contr´rio da consistˆncia e a e m co esta estimativa n˜o ´ local, j´ que os valores um acumulam erros das aproxima¸˜es anteriores. a e a e Vejamos que para um m´todo est´vel ´ poss´ obter convergˆncia de ordem p, se houver e a e ıvel consistˆncia de ordem p, ou seja, e em+1 = Mh em + ht O(hp ), 62 Isto implica recursivamente, m−1 em = Mm e0 h + k=0 Mk (ht O(hp )). h Admitindo naturalmente um erro inicial nulo, e0 = 0, isto signiﬁca que existe C1 > 0 : m−1 ||em || ≤ C1 k=0 ||Mh ||k ht hp . Assumindo a estabilidade do m´todo, temos uma limita¸˜o ||Mh ||m ≤ C2 e assim, e ca ||em || ≤ C1 ||Mh ||m mht hp ≤ C1 C2 hp , concluindo-se a convergˆncia de ordem p. Estabelece-se o Teorema de Lax: e Teorema 3.3.1 (Lax) Se um esquema ´ est´vel e consistente de ordem p, ent˜o ´ convergente e a a e com ordem p. Notamos ainda que h´ uma vers˜o mais forte deste resultado, dada pelo Teorema de Equivalˆncia a a e de Lax-Richtmyer, que assegura que um esquema consistente ´ convergente se e s´ se for est´vel. e o a 3.4 Esquemas θ para a Equa¸˜o do Calor ca Conforme vimos h´ uma forte restri¸˜o de estabilidade para o esquema expl´ a ca ıcito, o que motiva a utiliza¸˜o de outros esquemas para a equa¸˜o do calor. Come¸amos por considerar o esquema ca ca c impl´ ıcito (puro). A partir de uma combina¸˜o convexa entre o esquema expl´ ca ıcito e o esquema impl´ ıcito, obtemos novos esquemas denominados esquemas θ (theta), que tamb´m s˜o impl´ e a ıcitos. Para distinguir entre estes novos esquemas impl´ ıcitos, o esquema impl´ ıcito original ´ denominado e impl´ ıcito puro. 3.4.1 Esquema Impl´ ıcito (puro) No esquema impl´ ıcito puro, mant´m-se a aproxima¸˜o espacial com diferen¸as centradas, mas e ca c no tempo tm+1 e a aproxima¸˜o em tempo ´ considerada por diferen¸as regressivas (BTCS — ca e c backward in time, centered in space). Ou seja, consideramos a aproxima¸˜o ca ∂t u(xn , tm+1 ) = un,m+1 − unm un+1,m+1 − 2un,m+1 + un−1,m+1 2 +O(ht ), ∂x u(xn , tm+1 ) = +O(h2 ), x ht h2 x e desprezando os termos O(ht ), O(h2 ), obtemos x Dh unm = un,m+1 − unm un+1,m+1 − 2un,m+1 + un−1,m+1 −κ , ht h2 x o que, a partir de Dh unm = 0, leva ao Esquema Impl´ ıcito: un,m+1 = unm + κht un+1,m+1 − 2un,m+1 + un−1,m+1 + ht fn,m+1 . h2 x 63 (3.4) ´ mas j´ n˜o ´ poss´ obter directamente os valores un,m+1 a partir dos valores unm . E necess´rio a a e ıvel a resolver um sistema linear cuja estrutura ´ muito simples, tridiagonal. Reescrevendo (3.4) com e χ = κht h−2 x −χun+1,m+1 + (1 + 2χ)un,m+1 − χun−1,m+1 = unm + ht fn,m+1 , (3.5) e tendo em aten¸˜o que conhecemos os valores nos extremos u0,m+1 = ua (tm+1 ), uN,m+1 = ca ub (tm+1 ), obtemos o sistema        1 + 2χ −χ 0 ··· 0 u1,m+1 u1,m χu0,m+1 + ht f1,m+1   . . .. .  −χ   u2,m+1   u2,m    . 1 + 2χ . . . ht f2,m+1            . .    . .. .. .. . . = + . . .   . . . . 0 0 .            . . (3.6)   .  .. .. .. . . ht fN−2,m+1    . . .  . . . . −χ  χuN,m+1 + ht fN−1,m+1 uN−1,m+1 uN−1,m 0 ··· 0 −χ 1 + 2χ Neste caso, o vector um+1 dado pelo esquema impl´ ıcito ´ solu¸˜o de um sistema e ca MI um+1 = um + fm+1 . em que fm+1 cont´m a parte n˜o homog´nea e as condi¸˜es nos extremos do intervalo. e a e co A matriz do sistema MI tem a diagonal estritamente dominante, pois 1 + 2χ > |−χ| + |−χ| , o que garante a invertibilidade do sistema. Observamos ainda que as ﬁguras em Fig.3.2 relativas ao esquema expl´ ıcito, aparecem agora invertidas no esquema impl´ ıcito puro. Consistˆncia e estabilidade do esquema impl´ e ıcito puro A consistˆncia do esquema impl´ e ıcito ´ semelhante ` consistˆncia do esquema expl´ e a e ıcito, pois as aproxima¸˜es s˜o semelhantes — de primeira ordem no tempo e de segunda ordem no espa¸o. co a c E = u(x , t ), Deﬁnindo unm n m E 2 Du(xn , tm+1 ) − Dh unm = (∂t − κ∂x u)(xn , tm+1 ) E E E uE uE n,m+1 −unm n+1,m+1 −2un,m+1 +un−1,m+1 −κ ht h2 x E uE n,m+1 −unm ht E E uE n+1,m+1 −2un,m+1 +un−1,m+1 h2 x − = ∂t u(xn , tm+1 ) − −κ 2 ∂x u(xn , tm+1 ) − = O(ht ) + O(h2 ) = O(h), x o que implica a consistˆncia de primeira ordem. e Seguindo o crit´rio de Von Neumann, consideramos un,m = Rm eiµxn , de (3.5) obtemos e −χRm+1 eiµ(xn +hx ) + (1 + 2χ)Rm+1 eiµxn − χRm+1 eiµ(xn −hx ) = Rm eiµxn 64 ou seja, Rm+1 1 − χ(eiµhx − 2 + e−iµhx ) = Rm e usando ainda a rela¸˜o com o seno, ca Rm+1 = Rm 1 + 4χ sin2 (µhx ) Neste caso, temos |R| = 1 + 4χ sin2 (µhx ) −1 −1 . ≤ 1, pelo que a estabilidade ´ veriﬁcada incondicionalmente, quaisquer que sejam ht , hx . e Aplicando o Teorema de Lax, conclui-se que o esquema impl´ ıcito puro tem convergˆncia de e ordem 1, para quaisquer ht , hx . 3.4.2 Esquemas impl´ ıcitos θ a ca Consideramos agora esquemas θ que s˜o uma combina¸˜o convexa dos esquemas anteriores. Formalmente para θ ∈ [0, 1], Esquema θ = (1 − θ) Expl´ ıcito + θ Impl´ ıcito. Assim, para θ = 0 (respect. θ = 1) recuperamos o esquema expl´ ıcito (respect. o esquema impl´ ıcito) puro. Para facilitar a express˜o longa do esquema θ, reescrevemos o esquema expl´ a ıcito na forma matricial       1 − 2χ χ 0 ··· 0 u1,m+1 u1,m χu0,m + ht f1,m   . . .  u2,m+1  .    u2,m   χ 1 − 2χ . . . . . ht f2,m           . .  . .. .. .. . .   =  + . . .   . . . 0 0 .           . .   . .. .. .. . . ht fN −2,m    . . .   . . . . χ χuN,m + ht fN−1,m uN−1,m+1 uN −1,m 0 ··· 0 χ 1 − 2χ um+1 = ME um + fm . Aproveitamos para salientar que a matriz tridiagonal ME , correspondente ao m´todo expl´ e ıcito, tem valores pr´prios menores que 1 (em m´dulo) quando χ = κht h−2 ≤ 1 . o o x 2 Os esquemas θ resultam agora de combinar a parte expl´ ıcita e impl´ ıcita (1 − θ) × θ× obtendo-se ((1 − θ)I+θMI )um+1 = ((1 − θ)ME + θI) um + ((1 − θ)fm + θfm+1 ) . que pode ser reescrito abreviadamente, MI,1−θ um+1 = ME,θ um + fm+θ . 65 um+1 = ME um + fm , MI um+1 = um + fm+1        considerando Mα,θ = θI+(1 − θ)Mα , ou mais precisamente,    =       =      MI,1−θ ME,θ  .. . 1 + 2χθ −θχ 0  .. .. ..  . . . −θχ  , .. .. .. . . . −θχ   .. . −θχ 1 + 2χθ 0 .. . 1 − 2χ(1 − θ) (1 − θ)χ 0 .. .. .. . . . (1 − θ)χ .. .. .. . . . (1 − θ)χ .. . 0 (1 − θ)χ 1 − 2χ(1 − θ)     .   ´ E ainda f´cil observar que a matriz MI,1−θ ´ sempre invert´ a e ıvel, pois tem a diagonal estritamente dominante, 1 + 2χθ > |−θχ| + |−θχ| = 2χθ. Esquema de Crank-Nicolson De entre as v´rias possibilidades para escolha de θ, a escolha θ = 1 leva ao denominado Esquema a 2 de Crank-Nicolson, com MI,1/2 um+1 = ME,1/2 um + fm+1/2 , em que    =      .. .. . . 1 + χ −χ/2 0 1 − χ χ/2 0   .. .. .. .. .. ..   . . .  . . . −χ/2  χ/2  , ME,θ =  . .. .. .. .. ..  .. . . . . . −χ/2  χ/2   .. .. . . χ/2 1 − χ 0 −χ/2 1 + χ 0        MI,1/2 1 a e o e fm+1/2 = 2 (fm + fm+1 ) . Iremos ver que a escolha do meio, de Crank-Nicolson, n˜o ´ s´ a mais simples, ´ tamb´m a mais eﬁcaz, permitindo convergˆncia de ordem 2. e e e Consistˆncia dos esquemas θ e Seja f = 0, para simpliﬁcar. Por combina¸˜o convexa das equa¸˜es expl´ ca co ıcitas e impl´ ıcitas, obtemos un,m+1 = un,m + κ ht (un+1,m+θ − 2un,m+θ + un−1,m+θ ), h2 x (3.7) em que abreviamos un,m+θ = (1−θ)un,m +θun,m+1 . Este esquema resulta de considerar Dh unm = 0, com un,m+1 − un,m 1 Dh unm = − κ 2 (un+1,m+θ − 2un,m+θ + un−1,m+θ ) ht hx e a sua consistˆncia pode ser obtida comparando com Dh u(xn , tm + θht ). e 66 Sendo tm+θ = tm + θht , obtemos por expans˜o de Taylor a 2 2 2 3 uE n,m+1 = u(xn , tm+θ ) + (1 − θ)ht ∂t u(xn , tm+θ ) + (1 − θ) ht ∂t u(xn , tm+θ ) + O(ht ) 2 2 3 uE n,m = u(xn , tm+θ ) + (−θht )∂t u(xn , tm+θ ) + (−θht ) ∂t u(xn , tm+θ ) + O(ht ) pelo que se obt´m, e E uE n,m+1 − un,m 2 = ∂t u(xn , tm + θht ) + ((1 − θ)2 − θ2 )ht ∂t u(xn , tm+θ ) + O(h2 ). t ht Se (1 − θ)2 − θ2 = 0, ou seja, θ = Portanto 1 2, o resto ´ um termo O(h2 ), caso contr´rio ser´ O(ht ). e a a t E uE n,m+1 − un,m ∂t u(xn , tm + θht ) − = O(hpθ ) ht (3.8) com pθ = 2 se θ = 1 e pθ = 1 se θ = 1 . 2 2 Por outro lado, ainda por expans˜o de Taylor a 2 2 2 ∂x u(xn , tm ) = ∂x u(xn , tm+θ ) + (−θht )∂t ∂x u(xn , tm+θ ) + O(h2 ), t 2 2 2 ∂x u(xn , tm+1 ) = ∂x u(xn , tm+θ ) + (1 − θ)ht ∂t ∂x u(xn , tm+θ ) + O(h2 ), t obtemos 2 2 e efectuando as aproxima¸˜es de ∂x u(xn , tm ) e ∂x u(xn , tm+1 ) por diferen¸as centradas, conco c clu´ ımos que 2 ∂x u(xn , tm+θ ) − 2 2 2 (1 − θ)∂x u(xn , tm ) + θ∂x u(xn , tm+1 ) = ∂x u(xn , tm+θ ) + O(h2 ) t 1 E E 2 2 (u − 2uE n,m+θ + un−1,m+θ ) = O(hx ) + O(ht ). h2 n+1,m+θ x (3.9) Juntando as estimativas (3.8) e (3.9) resulta Du(xn , tm+θ ) − Dh uE = O(hpθ ) + O(h2 ), nm x t e o esquema ter´ consistˆncia de ordem 2 quando pθ = 2, isto ´ quando θ = a e e sendo de ordem 1 nos restantes casos. Estabilidade dos esquemas θ Mais uma vez consideramos o crit´rio de Von Neumann, tendo em aten¸˜o que un,m = Rm eiµxn e ca implica un,m+θ = (1 − θ)Rm eiµxn + θRm+1 eiµxn = Rm+θ eiµxn , Rm+1 eiµxn = Rm eiµxn + χ(eiµhx − 2 + e−iµhx )Rm+θ eiµxn , ou seja, Rm+1 = Rm − 4χ sin2 (µhx )Rm+θ , ﬁcando Rm+1 1 + 4θχ sin2 (µhx ) = 1 − 4(1 − θ)χ sin2 (µhx ) Rm 67 1 2 (Crank-Nicolson), designando Rm+θ = (1−θ)Rm +θRm+1 . Da express˜o (3.7) obtemos (usando ainda χ = κht h−2 ), a x e a condi¸˜o para estabilidade ser´ ca a |R| = o que se resume a 0 ≤ 2 + 4(2θ − 1)χ sin2 (µhx ), ou melhor, 1 (1 − 2θ)χ ≤ . 2 (3.10a) 1 − 4(1 − θ)χ sin2 (µhx ) ≤ 1, 1 + 4θχ sin2 (µhx ) Esta condi¸˜o ´ exactamente a encontrada para o esquema expl´ ca e ıcito quando θ = 0, e ´ sempre e v´lida para θ ≥ 1 (que implica (1 − 2θ)χ ≤ 0). Conclui-se que os esquemas θ s˜o incondicionala a 2 1 mente est´veis quando θ ≥ 2 , e condicionalmente est´veis, sujeitos ` condi¸˜o (3.10a), para a a a ca 1 θ < 2. 3.4.3 Simula¸oes num´ricas c˜ e Para ilustrar o comportamento dos m´todos, vamos considerar um exemplo acad´mico em que e e fazemos a compara¸˜o com uma solu¸˜o exacta (com κ = 1), ca ca u(x, t) = (sin(3x) − cos(3x)) e−9t , 2 (3.11) e escolhemos como dom´ ınio (−1, 1) × (0, 1], pelo que as condi¸˜es iniciais e nos extremos s˜o co a obtidas directamente de (3.11), por exemplo, u0 (x) = u(x, 0) = sin(3x) − cos(3x). Come¸amos por testar o esquema expl´ c ıcito, com hx = 0.1, pelo que para garantir estabilidade consideramos ht = 0.5(0.1)2 = 0.005, na situa¸˜o limite prevista pela teoria, e tamb´m para um ca e valor ligeiramente superior, ht = 0.0052, onde j´ ´ previsto ocorrerem instabilidades. Essa preae vis˜o ´ conﬁrmada experimentalmente, conforme podemos ver na Fig.3.4.1. Dentro da situa¸˜o a e ca limite (ﬁgura ` esquerda), o gr´ﬁco da aproxima¸˜o ´ basicamente correcto, j´ que o erro aba a ca e a soluto ´ inferior a 0.005 (˜0.5%), n˜o sendo visualmente diferente do gr´ﬁco exacto. Quando e a a ultrapassamos essa situa¸˜o limite (ﬁgura ` direita), ﬁcam j´ bem percept´ ca a a ıveis oscila¸˜es que co resultam da instabilidade num´rica prevista teoricamente. e ` Figura 3.4.1: Gr´ﬁcos com aproxima¸oes pelo esquema expl´ a c˜ ıcito com hx = 0.1. A esquerda, uma aproxima¸ao com erro relativo inferior a 0.5%, obtida considerando ht = 0.005 (dentro c˜ ` da situa¸ao limite para estabilidade). A direita, o aparecimento claro de oscila¸oes esp´rias, c˜ c˜ u quando ht = 0.0052 (fora da situa¸ao limite para estabilidade). c˜ 68 Conforme vimos, ´ poss´ obter boas aproxima¸˜es com valores superiores ht se usarmos e ıvel co esquemas impl´ ıcitos. Por exemplo, considerando ht = hx = 0.1, obtemos erros ||enm ||∞ ≤ 0.02 = ıcito 2h2 com o esquema de Crank-Nicolson, mas apenas ||enm ||∞ ≤ 0.1 = ht com o esquema impl´ t puro, o que est´ de acordo com a teoria. Para estes valores de ht n˜o ´ poss´ comparar com a a e ıvel o esquema expl´ ıcito, pois as instabilidades levariam a valores da ordem |unM | ≈ 1012 . ´ • E importante notar que pode haver alguma surpresa ao reparar que com ht = 0.005 e hx = 0.1, o esquema de Crank-Nicolson apresente ||enm ||∞ ≤ 0.004, ou seja erros semelhantes ao esquema expl´ ıcito (||enm ||∞ ≤ 0.005), valores que s˜o pr´ximos de ht e n˜o de h2 , mas relema o a t 2 ) + O(h2 ), por isso quando o termo em h2 ´ muito baixo, passa a bramos que o erro ´ O(ht e x t e dominar o termo em h2 , e 0.004 ´ pr´ximo de 0.5h2 . Por isso, quando consideramos ht = 0.5h2 , e o x x x a performance do esquema expl´ ıcito ´ semelhante ` do esquema de Crank-Nicolson, j´ que e a a nessa situa¸˜o para o esquema expl´ ca ıcito temos O(ht ) + O(h2 ) = O(h2 ), e para o esquema de x x Crank-Nicolson teremos tamb´m O(h2 ) + O(h2 ) = O(h4 ) + O(h2 ) = O(h2 ), ﬁcando justiﬁcae t x x x x dos os resultados semelhantes. A vantagem dos esquemas impl´ ıcitos ´ n˜o necessitarem desse e a espa¸amento reduzido na propor¸˜o ht = 0.5h2 , mas se ele for imposto (por exemplo, para se c ca x poder fazer a compara¸˜o) ent˜o o comportamento ´ semelhante, e n˜o h´ vantagem face ao ca a e a a esquema expl´ ıcito. • Podemos ver o diferente comportamento do erro, entre o esquema impl´ ıcito puro, de primeira ordem, e o esquema de Crank-Nicolson, de segunda ordem, na Fig.3.4.2. Para compara¸˜o, ﬁx´mos hx = 0.02, e notamos ainda que os resultados deixam de ser relevantes para ca a ht h2 , pois a´ o comportamento em h2 n˜o permitir´ baixar o erro, j´ que ﬁx´mos esse valor. ı a a a x x a No caso impl´ ıcito puro (gr´ﬁco ` esquerda), obtemos aproximadamente ||e||∞ ≈ 2ht revelando a a o comportamento linear, e no caso Crank-Nicolson (gr´ﬁco ` direita), temos aproximadamente a a 2 ||e||∞ ≈ 4ht , revelando o comportamento quadr´tico em ht . a ` Figura 3.4.2: Gr´ﬁcos com a evolu¸ao do erro em ht ﬁxando hx = 0.02. A esquerda, evolu¸ao a c˜ c˜ linear para o m´todo impl´cito puro, e a direita evolu¸˜o quadr´tica para o esquema de Cranke ı ` ca a Nicolson. Observa¸ao: Conv´m notar que computacionalmente os esquemas impl´ c˜ e ıcitos n˜o apresentam a um custo computacional muito maior que o expl´ ıcito, j´ que a matriz do sistema s´ depende a o de ht , hx , bastando ser factorizada uma vez para os mesmos parˆmetros de discretiza¸˜o. Para a ca al´m disso, a estrutura tridiagonal dessa matriz permite uma factoriza¸˜o muito r´pida, em e ca a O(N ), pelo que algum maior custo poder´ ser de tempo de programa¸˜o do que propriamente a ca em tempo de execu¸˜o. ca No caso estudado, ht = 0.005, hx = 0.1, a implementa¸˜o do esquema expl´ ca ıcito, em Mathematica, demorou 0.08s, enquanto do esquema Crank-Nicolson, para os mesmos valores, demorou 0.125s. Estes valores devem ser relativizados no Mathematica, pois a computa¸˜o expl´ ca ıcita dos valores pode ﬁcar mais lenta comparativamente com as rotinas internas para matrizes, j´ a compiladas e mais r´pidas. a 69 3.5 Redu¸˜o a um sistema linear de EDO’s ca Uma possibilidade para a resolu¸˜o num´rica de problemas de evolu¸˜o ´ a sua redu¸˜o a um ca e ca e ca sistema de EDO’s (equa¸˜es diferenciais ordin´rias) por discretiza¸˜o pr´via da parte espacial. co a ca e Consideremos o caso em que Du = ∂t u − Dx u. Deﬁnindo uma grelha de pontos x1 , · · · , xn podemos efectuar uma aproxima¸˜o do operador ca Dx atrav´s de diferen¸as ﬁnitas (ou outro processo). Sendo e c n ˜ Dx u(x, t) ≈ Dx u(x, t) = αk (x)u(xk , t) k=1 a equa¸˜o Du = 0 ser´ aproximada pela discretiza¸˜o ca a ca ˜ ∂t u − Dx u = 0 o que corresponde a um sistema linear de EDO’s n ∂t uj (t) = k=1 αkj uk (t), escrevendo uk (t) = u(xk , t) e αkj = αk (xj ). Podemos ainda apresentar na forma vectorial ∂t u = Au em que u representa a fun¸˜o vectorial u = (u1 , · · · , un ) e A representa a matriz dos coeﬁcientes ca da discretiza¸˜o espacial A = [αkj ]. ca A resolu¸˜o deste sistema linear de EDO’s pode ser considerada pelo c´lculo da exponencial ca a matricial u(t) = exp(tA)u(0). Observa¸ao 1: Usando a decomposi¸˜o A = P −1 ΛP, onde Λ ´ a matriz diagonal dos valores c˜ ca e pr´prios (ou a matriz de Jordan, no caso de uma matriz n˜o diagonaliz´vel), temos o a a exp(tA) = P −1 exp(tΛ)P, e caso a matriz A seja diagonaliz´vel, exp(tΛ) = diag(etλ1 , · · · , etλn ). a Observa¸ao 2: Este processo corresponde formalmente a uma aproxima¸˜o na resolu¸˜o pela c˜ ca ca teoria de semigrupos. Por exemplo, no caso da equa¸˜o do calor, a exponencial do operador ca laplaciano permite escrever a solu¸˜o na forma u(x, t) = exp(t x )u(x, 0). ca Observa¸ao 3: Apesar de tamb´m ser conceptualmente simples, a redu¸˜o a um sistema de c˜ e ca EDO’s n˜o ´ sempre computacionalmente mais eﬁcaz que os m´todos que envolvem tamb´m a a e e e discretiza¸˜o em tempo, que vimos antes. ca 3.6 Equa¸˜o das Ondas ca 2 ∂t u = c2 Nesta sec¸˜o consideramos a equa¸˜o das ondas, que na sua forma homog´nea ´ dada por ca ca e e x u, 70 Tal como no caso da equa¸˜o do calor, ´ tamb´m poss´ ca e e ıvel estabelecer unicidade para o problema de Dirichlet usando a f´rmula de Green. Deﬁnindo u = u1 − u2 , diferen¸a entre o c solu¸˜es, consideramos agora uma quantidade diferente, co E(t) = Portanto, E (t) = = c2 2 ∂t u(x, t)∂t u(x, t)dx + c2 2 x u(x, t)∂t u(x, t)dx − c x u(x, t) · x ∂t u(x, t)dx em que c ´ a velocidade de propaga¸˜o da onda. Iremos apenas considerar o caso unidimensional e ca (neste caso, tamb´m conhecida como equa¸˜o das cordas vibrantes). e ca Trata-se de uma equa¸˜o hiperb´lica de segunda ordem, que pode ser formulada como um ca o sistema de equa¸˜es de 1a ordem. A aplica¸˜o dos esquemas de diferen¸as ﬁnitas ser´ semelhante co ca c a a ` anterior, havendo apenas o cuidado de considerar a sua formula¸˜o enquanto sistema, o que ca permite ilustrar tamb´m a aplica¸˜o destes esquemas a outros sistemas de equa¸˜es diferenciais. e ca co Consideremos o problema de Dirichlet para a equa¸˜o das ondas n˜o homog´nea, ca a e  2 2 (x, t) ∈ × (t0 , tf ) (i)  (∂t − c2 ∂x )u(x, t) = f (x, t), u(x, t0 ) = u0 (x), ∂t u(x, t0 ) = u1 (t), x ∈ (ii) (3.12)  x ∈ ∂ × [t0 , tf ] u(x, t) = uΓ (x, t), (iii) 1 2 |∂t u(x, t)|2 + c2 | x u(x, t)| 2 dx. 2 x u(x, t)∂t u(x, t)dx − c ∂ ∂nx u(x, t)∂t u(x, t)dx e como u(x, t) = 0 ∀x ∈ ∂ (pela condi¸˜o de fronteira), temos tamb´m ∂t u(x, t) = 0 em ∂ , o ca e que implica que o integral sobre ∂ ´ nulo, e assim E (t) = 0. Ora isso implica E(t) constante, e como ∂t u(x, 0) ≡ 0, e u(x, 0) = 0 =⇒ x u(x, t) = 0, temos E(0) = 0 e consequentemente E(t) ≡ 0. Isso signiﬁca que ∂t u(x, t) ≡ 0 e ainda pela condi¸˜o inicial nula, temos u ≡ 0. ca 3.6.1 Caso unidimensional (1D+1T) Por uma quest˜o de simpliﬁca¸˜o, iremos concentrar-nos no caso unidimensional homog´neo. a ca e 2 (R) obtemos solu¸˜es particulares para Come¸amos por notar que dadas fun¸˜es vR , vP ∈ C c co co a equa¸˜o das ondas homog´nea, na forma ca e u(x, t) = vR (x + ct) + vP (x − ct), 2 pois ∂t u(x, t) = c2 (vR (x + ct) + vP (x − ct)) = c2 ∂x u(x, t). Para um problema homog´neo (3.12) em que e = R e apenas consideramos as condi¸˜es co iniciais (ii), temos uma solu¸˜o expl´ ca ıcita dada pela f´rmula de d’Alembert o u(x, t) = u0 (x + ct) + u0 (x − ct) 1 + 2 2c x+ct u1 (τ )dτ, x−ct como pode ser visto veriﬁca a equa¸˜o e as condi¸˜es iniciais. No entanto esta solu¸˜o deixa de ca co ca ser v´lida quando consideramos o problema de propaga¸˜o num intervalo = (xa , xb ), em que a ca 71 Iremos apresentar esquemas para a resolu¸˜o deste problema atrav´s do m´todo das diferen¸as ca e e c ﬁnitas aplicado a um sistema equivalente. Separa¸˜o de vari´veis ca a Para al´m das solu¸˜es particulares da forma u(x, t) = vR (x + ct) + vP (x − ct), que j´ vimos, ´ e co a e conveniente determinar as solu¸˜es particulares que se obtˆm pela simples separa¸˜o de vari´veis, co e ca a u(x, t) = u1 (x)u2 (t). Neste caso obtemos c2 u1 (x) u (t) = 2 = K. u1 (x) u2 (t) s˜o tamb´m impostas condi¸˜es sobre os limites (iii), conforme: a e co  (x, t) ∈ (xa , xb ) × (t0 , tf ) (i)  (∂t − κ x )u(x, t) = 0, u(x, t0 ) = u0 (x), ∂t u(x, t0 ) = u1 (x), x ∈ (xa , xb ) (ii)  u(xa , t) = ua (t), u(xb , t) = ub (t), t ∈ (t0 , tf ) (iii) (3.13) Considerando K = −µ2 obtemos duas equa¸˜es co u1 (x) + µ2 u1 (x) = 0 c u2 (t) + µ2 u2 (t) = 0 o que leva a solu¸˜es do tipo co u1 (x) = A1 cos( µ x) + B1 sin( µ x) c c u2 (t) = A2 cos(µt) + B2 sin(µt) Portanto, combina¸˜es de fun¸˜es do tipo co co µ µ u(x, t) = cos( x) cos(µt), ou u(x, t) = sin( x) sin(µt) c c ser˜o solu¸˜es particulares da equa¸ao das ondas. a co c˜ 2 3.6.2 Sistema de 1a ordem No caso unidimensional ´ poss´ reduzir o operador diferencial de segunda ordem a um sistema e ıvel de duas equa¸˜es de primeira ordem. Em primeiro lugar, reparamos que podemos factorizar o co operador das ondas numa composi¸˜o de dois operadores de transporte, ca 2 2 (∂t − c2 ∂x ) = (∂t + c∂x )(∂t − c∂x ), (o que tamb´m p˜e em evidˆncia as rectas caracter´ e o e ısticas de inclina¸˜o ±c). Assim, uma possica bilidade consiste em escrever um sistema de equa¸˜es de primeira ordem com inc´gnitas (u, v), co o (∂t − c∂x )u = v (∂t + c∂x )v = f em que u, primeira componente da solu¸˜o, veriﬁca a equa¸˜o das ondas n˜o homog´nea. ca ca a e 72 • Alternativamente, no caso homog´neo, escrevendo e v = ∂x u, w = c−1 ∂t u deduzimos um sistema mais simples, que iremos utilizar para a discretiza¸˜o, ca ∂t v = c∂x w ∂t w = c∂x v (3.15) (3.14) em que a primeira equa¸˜o traduz simplesmente a identidade ∂t ∂x u = ∂x ∂t u, e a segunda equa¸˜o ca ca resulta na equa¸˜o das ondas homog´nea,.pois ca e 2 2 ∂t w = c∂x v ⇒ ∂t (c−1 ∂t u) = c∂x (∂x u) ⇒ ∂t u = c2 ∂x u Note-se ainda que ambas as novas fun¸˜es v e w veriﬁcam tamb´m a equa¸˜o das ondas co e ca homog´nea. e Considerando u = (v, w) o sistema (3.12) pode escrever-se na forma vectorial, ∂t u = Dx u em que neste caso o operador diferencial Dx ´ de primeira ordem, Dx (v, w) = (c∂x w, c∂x v). e Condi¸oes Iniciais e nos extremos c˜ Tendo introduzido novas vari´veis em (3.14), podemos obter condi¸˜es iniciais e de fronteira para a co as vari´veis (v, w) a partir das condi¸˜es em u, assumindo a regularidade necess´ria. Assim, a a co a condi¸˜o inicial ser´ dada por ca a v0 (x) = v(x, 0) = ∂x u(x, 0) = u0 (x) 1 1 w0 (x) = w(x, 0) = ∂t u(x, 0) = u1 (x) c c Usando w = 1 ∂t u ´ igualmente imediato obter condi¸˜es nos extremos para w, e co c 1 1 wa (t) = ua (t), wb (t) = ub (t), c c mas a condi¸˜o v = ∂x u n˜o permite o mesmo para v, pelo que se considera uma aproxima¸˜o ca a ca consistente com a ordem da aproxima¸˜o espacial, como veremos. ca Integra¸˜o da solu¸˜o ca ca A express˜o de u pode ser obtida directamente a partir de w atrav´s de uma integra¸˜o num´rica a e ca e nos n´s calculados, o tm m u(xn , tm ) = cw0 (xn ) + c t0 w(xn , s)ds ≈ cwn,0 + c pk wnk k=0 em que pk s˜o os pesos da integra¸ao. Por exemplo, usando a regra dos trap´zios pk = 1∗ ht , a c˜ e k h´ um erro da aproxima¸˜o integral em O(h2 ), o que ´ suﬁciente para esquemas at´ ordem 2. a ca e e t Com efeito, a acumula¸˜o dos erros O(h2 ) em cada wnk ser´ somada m vezes, mas tamb´m ca a e t multiplicada pelo peso em O(ht ), pelo que um efeito compensa o outro. 73 3.6.3 Esquema expl´ ıcito inst´vel a Um esquema simples para a discretiza¸˜o em diferen¸as ﬁnitas do sistema de equa¸˜es (3.15), ca c co em nota¸˜o matricial, ca ∂t v = c∂x w ⇔ D(v, w) := ∂t w = c∂x v ∂t −c∂x −c∂x ∂t v w =0 consiste em considerar uma diferen¸a progressiva no tempo e uma diferen¸a centrada no espa¸o, c c c ou seja, aproximamos vn,m+1 − vn,m vn+1,m − vn−1,m 2 ∂t v(xn , tm ) = + O(ht ); ∂x v(xn , tm ) = + O(hx ). ht 2hx Fazendo o mesmo para w, obtemos uma aproxima¸˜o Dh usando diferen¸as ﬁnitas em D, e ca c Dh (vnm , wnm ) = 0 leva ao sistema aproximado 1 ht 1 ht 1 (vn,m+1 − vn,m ) = c 2hx (wn+1,m − wn−1,m ) 1 (wn,m+1 − wn,m ) = c 2hx (vn+1,m − vn−1,m ) (3.16) Esta aproxima¸˜o leva a um esquema expl´ ca ıcito, h vn,m+1 = vn,m + c 2htx (wn+1,m − wn−1,m ) h wn,m+1 = wn,m + c 2htx (vn+1,m − vn−1,m ) (3.17) que tem consistˆncia de primeira ordem, mas que ´ inst´vel. Podemos veriﬁcar isso usando o e e a crit´rio de Von Neumann, com e vnm = Rm eiµxn , wnm = Sm eiµxn . Obtemos o sistema h Rm+1 eiµxn = Rm eiµxn + c 2htx Rm eiµxn (eiµhx − e−iµhx ) h Sm+1 eiµxn = Sm eiµxn + c 2htx Sm eiµxn (eiµhx − e−iµhx ) e a rela¸˜o pode ser descrita na forma matricial ca Rm+1 Sm+1 = 1 iβµ iβµ 1 Rm Sm h em que iβµ = c 2htx (eiph − e−iph ), ou melhor, βµ = c ht sin(µhx ). hx 1 iβµ iβµ 1 Isto p˜e em evidˆncia uma matriz de ampliﬁca¸˜o o e ca ME = . ´ cuja norma deve ser menor que 1, ou melhor, cujos valores pr´prios devem ser inferiores a 1. E o 2 + β 2 = 0, ou seja f´cil ver que os valores pr´prios desta matriz s˜o solu¸˜es de (λ − 1) a o a co µ λ = 1 ± iβµ 2 cujo m´dulo ser´ |λ| = 1 + βµ > 1. Portanto haver´ incondicionalmente uma ampliﬁca¸˜o do o a a ca factor inicial, e este esquema expl´ ıcito ´ incondicionalmente inst´vel. e a 74 3.6.4 Esquema impl´ ıcito Como o esquema expl´ ıcito anterior ´ sempre inst´vel, vamos considerar o esquema impl´ e a ıcito que resulta da aproxima¸˜o no tempo tm+1 , ou seja, usamos diferen¸as regressivas no tempo e ca c centradas em espa¸o na aproxima¸˜o de c ca ∂t v(xn , tm+1 ) = c∂x w(xn , tm+1 ) ∂t w(xn , tm+1 ) = c∂x v(xn , tm+1 ) o que leva ao esquema impl´cito, ı h vn,m+1 = vn,m + c 2htx (wn+1,m+1 − wn−1,m+1 ) h wn,m+1 = wn,m + c 2htx (vn+1,m+1 − vn−1,m+1 ) (3.18) O esquema ainda ser´ consistente de primeira ordem, mas h´ que resolver um sistema linear, pois a a os valores de vn,m+1 ou de wn,m+1 s´ est˜o deﬁnidos implicitamente. Analisemos a estabilidade o a ´ a de acordo com o crit´rio de Von Neumann. E f´cil ver que e Rm Sm = 1 −iβµ −iβµ 1 Rm+1 Sm+1 e portanto a matriz de ampliﬁca¸˜o ser´ agora ca a MI = 1 −iβµ −iβµ 1 −1 . a o Os valores pr´prios de M−1 ser˜o exactamente os valores pr´prios de ME . Assim, os valores o I 1 pr´prios de MI veriﬁcam |λ| = √ 2 < 1. Conclu´ o ımos que o esquema impl´ ıcito puro ´ ine 1+βµ condicionalmente est´vel, apresentando o inconveniente de ser necess´ria a resolu¸˜o de um a a ca sistema em cada passo. Conclu´ ımos ainda, pelo Teorema de Lax, que este esquema tem ordem convergˆncia 1. e 3.6.5 Esquema expl´ ıcitos condicionalmente est´veis a Esquema semi-impl´ ıcito Uma ideia para evitar a resolu¸˜o do sistema no esquema impl´ ca ıcito ´ considerar apenas uma e das equa¸˜es como impl´ co ıcita, o que permitir´ obter um esquema expl´ a ıcito, assumindo uma certa ordem nos c´lculos (de forma semelhante ao que acontece nos m´todos iterativos do tipo Gaussa e Seidel). Assim, partindo das igualdades ∂t v(xn , tm ) = c∂x w(xn , tm ) ∂t w(xn , tm+1 ) = c∂x v(xn , tm+1 ) obtemos o esquema semi-impl´cito ı h vn,m+1 = vn,m + c 2htx (wn+1,m − wn−1,m ) h wn,m+1 = wn,m + c 2htx (vn+1,m+1 − vn−1,m+1 ) (3.19) 75 Note-se que ao exigir que a igualdade ocorra em todos os instantes tm ent˜o tamb´m teremos a e no passo seguinte ∂t v(xn , tm+1 ) = c∂x w(xn , tm+1 ), n˜o havendo por isso qualquer problema de a consistˆncia, tratando-se ainda de um esquema de primeira ordem. e Analisando a quest˜o da estabilidade, obtemos pelo crit´rio de Von Neumann a e h Rm+1 = Rm + c 2htx Sm (eiµhx − e−iµhx ) h Sm+1 = Sm + c 2htx Rm+1 (eiµhx − e−iµhx ) e na segunda equa¸˜o podemos substituir o valor de Rm+1 , ﬁcando com ca Rm+1 = Rm + iβµ Sm 2 Sm+1 = Rm + iβµ (Rm + iβµ Sm ) = iβµ Rm + (1 − βµ )Sm e com a rela¸˜o matricial ca Rm+1 Sm+1 = 1 iβµ 2 iβµ 1 − βµ Rm Sm . A determina¸˜o dos valores pr´prios da matriz de ampliﬁca¸˜o reduz-se a resolver ca o ca 2 2 (λ − 1)(λ − 1 + βµ ) + βµ = 0 ⇔ λ = β 2 −2 2 βµ − 2 ± 2 ( 2 βµ − 2 2 ) −1 2 2 e o discriminante ´ positivo se ( µ2 )2 > 1, ou seja βµ > 4. Nesse caso ´ claro que |λ| > 1, e e e portanto h´ instabilidade. a 2 Resta ver o caso em que βµ ≤ 4. Neste caso temos duas ra´ ızes complexas conjugadas cujo produto ´ λ1 λ2 = 1, e consequentemente ambas tˆm m´dulo 1. e e o Neste caso h´ estabilidade, portanto pode falar-se em estabilidade condicional, em que a a condi¸˜o ´ |βµ | ≤ 2. ca e Podemos concretizar melhor esta condi¸˜o, pois ca |βµ | = c ht ht sin(µhx ) ≤ 2 ⇒ χ = c ≤2 hx hx A condi¸˜o sobre χ ´ tamb´m conhecida como condi¸˜o de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). ca e e ca Para este esquema semi-impl´ ıcito garantimos estabilidade quando χ ≤ 2, e portanto de acordo com a consistˆncia, pelo Teorema de Lax, ´ garantida a convergˆncia de ordem 1. e e e Esquema de Lax Existem outros esquemas expl´ ıcitos que s˜o condicionalmente est´veis, como o esquema de Lax, a a cuja ideia consiste em substituir, no esquema expl´ ıcito, os valores vn,m e wn,m por uma m´dia no e espa¸o. A consistˆncia n˜o ´ alterada, pois conforme vimos antes, essa m´dia ´ uma aproxima¸˜o c e a e e e ca 2 ), O(hx v(xn+1 , tm ) + v(xn−1 , tm ) 1 2 2 v(xn , tm ) = − hx ∂x v(ξn , tm ). 2 2 Portanto, o esquema de Lax ´ expl´ e ıcito, dado por vn,m+1 = wn,m+1 = vn+1,m +vn−1,m h + c 2htx (wn+1,m − wn−1,m ) 2 wn+1,m +wn−1,m h + c 2htx (vn+1,m − vn−1,m ) 2 (3.20) 76 Quanto ` quest˜o da estabilidade, podemos ver que neste caso obt´m-se a a e h Rm+1 = 1 (eiµhx + e−iµhx )Rm + c 2htx Sm (eiph − e−iph ) 2 h Sm+1 = 1 (eiµhx + e−iµhx )Sm + c 2htx Rm (eiph − e−iph ) 2 o que leva ` rela¸˜o matricial a ca Rm+1 Bm+1 = γµ iβµ iβµ γµ Rm Sm . ht Assim |λ|2 = cos(µhx )2 + (c hx )2 sin(µhx )2 ≤ 1, ´ uma condi¸˜o que deﬁne uma elipse com e ca ht c˜ a ımos, pelo semieixos 1 e χ, pelo que a condi¸ao para estabilidade ser´ χ = c hx ≤ 1. Conclu´ Teorema de Lax, que para χ ≤ 1 o esquema de Lax ´ convergente, de ordem 1. e em que γµ = 1 (eiµhx +e−iµhx ) = cos(µhx ). Assim, a matriz de ampliﬁca¸˜o M tem como valores ca 2 pr´prios o 2 (λ − γµ )2 = −βµ ⇒ λ = γµ ± iβµ . Condi¸oes nos extremos c˜ Conforme referido, as condi¸˜es iniciais e as condi¸˜es nos extremos, para w, podem ser obtidas co co directamente a partir das condi¸˜es em u. Resta examinar as condi¸˜es nos extremos para co co v = ∂x u, que est˜o relacionadas com os esquemas considerados. Iremos considerar o esquema a de Lax, mas o processo ´ an´logo para os restantes esquemas. e a No extremo x0 , s˜o necess´rios os valores v0,m = ∂x u(a, tm ) para o desenvolvimento do a a esquema. Para esse efeito consideramos um ponto artiﬁcial x−1 , e usamos a aproxima¸˜o da ca m´dia para calcular v0,m , mantendo a ordem de consistˆncia 2 no espa¸o, ou seja e e c v0,m = pelo que atribu´ ımos v−1,m = 2v0,m − v1,m ; w−1,m = 2w0,m − w1,m v1,m + v−1,m + O(h2 ) x 2 e dessa forma os valores v0,m s˜o obtidos sucessivamente por aplica¸˜o do esquema de Lax a ca v0,m+1 = v1,m + v−1,m ht +c (w1,m − w−1,m ) 2 2hx cht = v0,m + (w1,m − w0,m ). hx e os valores v−1,m , w−1,m desaparecem no resultado ﬁnal. A aplica¸˜o de um processo semelhante ca para o outro extremo, vN,m = ∂x u(b, tm ), permite estabelecer as itera¸˜es para os valores nos co extremos (esquema de Lax) v0,m+1 = v0,m + cht (w1,m − w0,m ) hx vN,m+1 = vN,m + cht (wN,m − wN−1,m ) hx notando que os valores v0,m , vN,m foram j´ calculados na iterada anterior. Ainda que se pudessem a obter express˜es semelhantes para w a sua aplica¸˜o levaria a uma recursividade onde deo ca sapareceriam os valores impostos sobre os extremos. Por isso, deve considerar-se w0,m = 1 1 c ua (tm ), wN,m = c ub (tm ). 77 3.6.6 Esquemas de ordem 2 Esquema de Lax-Wendroﬀ Podemos obter um esquema expl´ ıcito de ordem superior usando a expans˜o em s´rie de Taylor a e vn,m+1 = vn,m + ht (∂t v)n,m + h2 2 t (∂ v)n,m + O(h3 ) t 2 t (3.21) Este esquema ´ expl´ e ıcito e tem consistˆncia de segunda ordem, sendo ainda est´vel para valores e a de χ ≤ 1. Os c´lculos s˜o semelhantes, mas mais extensos, pelo que se prop˜em como exerc´ a a o ıcio. Esquema Leap-Frog A tradu¸˜o literal do nome deste esquema seria salto-de-r˜, mas ´ de facto a designa¸˜o para ca a e ca salto-ao-eixo em inglˆs. A designa¸ao salto-ao-eixo est´ relacionada com o aspecto da mol´cula e c˜ a e do esquema, j´ que o valor vn,m+1 ´ calculado a partir de vn,m−1 , apoiado nos valores vn−1,m e a e vn+1,m , saltando o valor central vnm . Concretamente, consiste em considerar uma aproxima¸˜o com diferen¸as centradas no espa¸o ca c c ´ e tamb´m no tempo, o leva a um esquema com consistˆncia de segunda ordem. E um esquema e e multipasso, usando dois passos no tempo, e requer uma inicializa¸˜o para obter vn,1 e wn,1 . ca A express˜o do esquema leap-frog ´ ainda expl´ a e ıcita, dada por ht vn,m+1 = vn,m−1 + c hx (wn+1,m − wn−1,m ) ht wn,m+1 = wn,m−1 + c hx (vn+1,m − vn−1,m ) 2 2 e substituindo (∂t v)n,m = c2 (∂x v)n,m , obt´m-se o esquema de Lax-Wendroﬀ e   vn,m+1 = vn,m + c ht (wn+1,m + wn−1,m ) + c2 h2 (vn+1,m − 2vn,m + vn−1,m ) t 2hx 2h2 x 2  wn,m+1 = wn,m + c ht (vn+1,m + vn−1,m ) + c2 ht2 (wn+1,m − 2wn,m + wn−1,m ) 2hx 2hx (3.22) (3.23) A estabilidade deste esquema envolve tamb´m uma recursividade a dois passos, j´ que usando e a o crit´rio de Von Neumann, e ht Rm+1 = Rm−1 + c hx (eiµhx − e−iµhx )Sm ht Sm+1 = Sm−1 + c hx (eiµhx − e−iµhx )Rm obtemos Rm+1 Sm+1 = 0 2iβµ 2iβµ 0 Rm Sm + Rm−1 Sm−1 , havendo neste caso uma recursividade vectorial a dois passos, que pode ser abordada como duas recursividades escalares, que s˜o equa¸˜es `s diferen¸as. a co a c + = R + S , T − = R − S obtemos Deﬁnindo as vari´veis Tm a m m m m m ± ± ± Tm+1 = Tm−1 ± 2iβµ Tm + + + Tm+1 = Tm−1 + 2iβµ Tm − − − Tm+1 = Tm−1 − 2iβµ Tm 78 as equa¸˜es caracter´ co ısticas associadas a estas equa¸oes `s diferen¸as s˜o c˜ a c a r2 = 1 ± 2iβµ r com ra´ ızes r = ±iβµ ± 2 estabilidade. Portanto para χ ≤ 1 temos βµ = χ2 sin2 (µhx ) ≤ 1, e conclu´ ımos que a condi¸˜o ca CFL que garante estabilidade ´ ainda χ ≤ 1. Como a consistˆncia ´ de segunda ordem, o e e e ´ esquema leap-frog tem convergˆncia quadr´tica. E um esquema muito simples e, inicializando e a os valores em t1 com uma aproxima¸˜o de segunda ordem, ´ computacionalmente mais eﬁcaz ca e que o esquema de Lax-Wendroﬀ (que pode ser usado para essa inicializa¸˜o). ca Observa¸ao: O esquema leap-frog ´ inst´vel quando aplicado ` equa¸ao do calor (exerc´ c˜ e a a c˜ ıcio). 2 2 2 2 1 − βµ . Se βµ ≤ 1, obtemos |r|2 = βµ + (1 − βµ ) = 1, o que garante a 79 Parte III M´todo dos Elementos Finitos e 80 Cap´ ıtulo 4 M´todo de Galerkin e a O objectivo deste cap´ ıtulo ´ apresentar um m´todo alternativo que se adequa especialmente ` e e resolu¸˜o de problemas el´ ca ıpticos, permitindo evitar a condicionante geom´trica de submeter o e dom´ ınio a aproximar a uma grelha quadriculada e permitindo tamb´m aproximar problemas em e que os dados n˜o s˜o regulares. a a A ideia essencial, desenvolvida a partir da d´cada de 50, e que remonta a Galerkin (1915), e consiste em reescrever o problema atrav´s de uma formula¸˜o variacional equivalente utilizando e ca para esse efeito fun¸˜es teste suﬁcientemente regulares. Ao escrever o problema dessa forma, co a maior regularidade das fun¸˜es teste compensa uma menor regularidade da solu¸˜o atrav´s co ca e de uma transferˆncia que se centra no uso da f´rmula de Green. Desta forma ´ poss´ escre o e ıvel ever o problema numa formula¸˜o fraca que consiste numa igualdade entre uma forma bilinear ca (que encerra a informa¸˜o acerca do operador diferencial), e uma forma linear (que cont´m a ca e informa¸˜o acerca dos dados do problema). O espa¸o das fun¸˜es teste encerra tamb´m inca c co e 1 forma¸˜o relacionada com a condi¸˜o de fronteira. Assim, ao considerarmos o espa¸o H0 para ca ca c espa¸o de fun¸˜es teste estamos implicitamente a exigir que se veriﬁquem condi¸˜es de Dirichlet c co co nulas na fronteira. H´ que distinguir dois tipos de situa¸˜o, uma em que a forma bilinear ´ sim´trica e que a ca e e corresponde a minimizar um funcional (designado funcional de energia), estando assim nas condi¸˜es do denominado m´todo de Ritz, e uma outra em que n˜o h´ a priori simetria da co e a a forma bilinear, correspondendo ao caso geral do m´todo de Galerkin. e 4.1 Formula¸˜o Variacional ca Come¸amos por escrever a equa¸˜o de Poisson usando a deﬁni¸˜o de delta de Dirac, a forma c ca ca linear δx (f ) = f (x), e usando a seguinte nota¸˜o ca f (x) =< f, δx >, que nos parece mais adequada, j´ que ´ a utilizada para a dualidade nas distribui¸˜es e permitir´ a e co a apresentar as formula¸˜es variacionais como uma generaliza¸˜o de igualdades pontuais. Note-se co ca que δx (y) = δ0 (y − x). Desta forma, a igualdade pontual da equa¸˜o de Poisson ca u(x) = f (x), ∀x ∈ 81 passar´ a escrever-se assim a Agora, o pr´ximo passo ´ generalizar esta igualdade pontual, e passar a encar´-la como uma o e a igualdade global. Com efeito, iremos passar a considerar a no¸˜o de dualidade, substituindo as ca fun¸˜es por funcionais, escrevendo a igualdade co u, w = f, w , ∀w ∈ V ( ). Iremos ao longo do curso tornar mais clara esta passagem, em que deixamos os deltas de Dirac de lado, e passamos a trabalhar com fun¸˜es w deﬁnidas num certo espa¸o de fun¸˜es V ( ). Noteco c co se que se V ( ) for um espa¸o de fun¸˜es mais regulares, a maior regularidade de w permitir´ c co a considerar f num espa¸o dual com menor regularidade. Quando isso ﬁzer sentido o valor de c f, w ´ dado por e < f, w >= R2 u, δx = f, δx , ∀x ∈ . f (y)w(y)dy. Da mesma forma, o delta de Dirac pode ser introduzido, formalmente, atrav´s de e < f, δ0 >= R2 f (y)δ0 (y)dy = f (0), o que apenas pretende signiﬁcar que todo o peso do integral est´ no ponto 0, levando por isso a a ca ` no¸˜o intuitiva de que δ0 seria nulo em toda a parte excepto em 0, onde valeria ‘inﬁnito’ ! E isto implica R2 δ0 (y)dy = 1. Ora, pode mostrar-se a existˆncia de uma sucess˜o de fun¸˜es C ∞ , com medida unit´ria, µn e a co a 1 (designadas por molliﬁers), cujo suporte ´ cada vez mais pequeno, ou seja supp(µn ) ⊆ B(0, n ), e tal que < f, µn >= R2 f (y)µn (y)dy −→ f (0). Estas fun¸˜es µn podem ser vistas como distribui¸˜es de probabilidade1 , que tˆm o seu valor co co e m´ximo em 0, e que, para valores de n grandes, se concentram cada vez mais pr´ximo de 0, a o ignorando os valores circundantes. Uma poss´ interpreta¸˜o intuitiva ´ pensar em marcar um ıvel ca e ponto no papel com um l´pis. Quanto mais aﬁado estiver o l´pis (o que corresponde a µn com a a n grande), mais pr´ximo estamos de marcar apenas o ponto desejado, e ´ claro que se tivermos o e um l´pis pouco aﬁado (o que corresponde a µn com n pequeno) h´ uma larga marca que cobre a a v´rios pontos. Nesta interpreta¸˜o livre, o delta de Dirac corresponde a um l´pis ultra-aﬁado, a ca a que n˜o deixa marca em mais nenhum ponto! a Assim, quando temos os valores < f, µn > ao inv´s do valor f (0), signiﬁca que n˜o observamos e a o valor exacto no ponto zero, mas apenas observamos (com alguma miopia) uma n´voa, mais e concretamente o valor dado pela m´dia ponderada das imagens dos pontos pr´ximos de zero. e o Note-se que este tipo de argumento ´ exactamente o mesmo que foi usado na mecˆnica quˆntica e a a e substituiu a no¸˜o pontual de part´ ca ıcula no espa¸o pela no¸˜o de nuvem, correspondente ` sua c ca a distribui¸˜o de probabilidade. ca Contudo, n˜o iremos usar apenas molliﬁers, iremos admitir observa¸˜es com um maior a co n´mero fun¸˜es, que passaremos a designar por fun¸oes teste. O espa¸o de fun¸˜es teste (desigu co c˜ c co nado anteriormente por V ( )) poder´ ser adaptado a cada problema de forma a que possamos a extrair as vantagens pretendidas. 1 O que est´ na origem do nome distribui¸˜o. a ca 82 Voltemos ` igualdade (com o sinal negativo, para simpliﬁca¸˜o posterior) a ca − u, w = f, w , ∀w ∈ V ( ). Designamos uma igualdade deste tipo por igualdade fraca no espa¸o V ( ). Se os deltas de Dirac c estivessem presentes, era ´bvio que se tratava de uma igualdade forte, pois poder´ o ıamos escrever imediatamente u(x) = f (x). No entanto, o espa¸o V ( ) ´ suposto ser um espa¸o de fun¸˜es c e c co e n˜o de distribui¸˜es! Torna-se assim claro que quanto mais pequeno for o espa¸o V ( ) mais a co c longe poderemos estar da veriﬁca¸˜o da igualdade forte. ca Avancemos. Se o espa¸o V ( ) contiver fun¸˜es suﬁcientemente regulares, a igualdade pode c co escrever-se na forma integral − u, w = f, w ⇐⇒ − e pela primeira f´rmula de Green o u· w− ∂n v. w = ∂ uw = fw f w. Ora, se impusermos que no espa¸o V ( ) as fun¸˜es veriﬁcam w|∂ = 0 temos c co u· w= f w, ∀w ∈ V ( ) (4.1) que se trata de uma equa¸˜o que traduz a formula¸ao variacional associada ` equa¸˜o de Poisson. ca c˜ a ca ´ E claro que ´ preciso deﬁnir convenientemente o espa¸o V ( ), mas por enquanto apenas e c 1 diremos que se trata de H0 ( ), um espa¸o de Sobolev de fun¸˜es em H 1 ( ) com tra¸o nulo na c co c fronteira (ver apˆndice). Com efeito, entre outras raz˜es, considerar espa¸os cl´ssicos de fun¸˜es e o c a co diferenci´veis (por exemplo, fun¸˜es C 1 ( ) nulas em ∂ ) n˜o se revela apropriado para a utia co a liza¸˜o de resultados da teoria de espa¸os de Hilbert. Esses espa¸os cl´ssicos s˜o espa¸os de Baca c c a a c nach para a norma do m´ximo, mas n˜o espa¸os de Hilbert, reﬂexivos. Ao efectuar a formula¸˜o a a c ca variacional atrav´s do produto interno deﬁnido em L2 , torna-se claro que aqui ir´ interessar-nos e a utilizar a teoria de espa¸os de Hilbert. Isto leva ` introdu¸˜o de espa¸os de Sobolev, que s˜o c a ca c a espa¸os em que as derivadas existem num sentido generalizado (das distribui¸˜es). O espa¸o c co c 1 ( ) ser´ deﬁnido como espa¸o de fun¸˜es L2 ( ) com derivadas em L2 ( ) e isso garante que H a c co w ∈ L2 ( )d , o que ´ adequado para assegurar a existˆncia dos integrais. e e Por outro lado, ao admitirmos que as fun¸˜es estejam em H 1 ( ) isso pode mesmo signiﬁcar co que as fun¸˜es n˜o sejam cont´ co a ınuas, assim torna-se necess´rio dar novo sentido ` no¸˜o de a a ca restri¸˜o sobre a fronteira, j´ que tendo a fronteira medida nula, fun¸˜es que seriam idˆnticas ca a co e (a menos de um conjunto de medida nula) poderiam ter valores diferentes na fronteira. H´ que a introduzir a no¸˜o de tra¸o, que generaliza a no¸˜o de restri¸˜o no caso de fun¸˜es cont´ ca c ca ca co ınuas (ver apˆndice). e Ao exigir que as fun¸˜es teste tenham tra¸o nulo sobre a fronteira, acabamos por ignorar co c ca e qualquer contribui¸˜o na fronteira, e assim veremos que esta formula¸˜o ´ apenas adequada ao ca problema de Dirichlet homog´neo e (P0 ) − u=f u=0 83 em sobre ∂ . Observa¸˜o 1. Se considerarmos o problema de Dirichlet n˜o homog´neo, ca a e (P1 ) − u=f u=g em sobre ∂ podemos convertˆ-lo num problema homog´neo para a equa¸˜o de Poisson. Para isso considere e ca amos g um prolongamento de g a . Esse prolongamento n˜o ´ unico e pode ser obtido de v´rias ˜ a e´ a maneiras. Uma possibilidade, no caso de g aparecer dado como uma express˜o, ´ considerar g a e ˜ como sendo a extens˜o natural de g, ou seja a pr´pria express˜o de g calculada para os pontos a o a ´ interiores. E claro que essa possibilidade ´ apenas adm´ e ıssivel quando h´ regularidade suﬁciente a na extens˜o de g. a A partir de g consideramos F = g + f, e assim v = u − g ´ nulo na fronteira e veriﬁca ˜ ˜ ˜e − v= g− ˜ u=F −f +f =F e consequentemente reduzimos o problema (P1 ) a um problema de Dirichlet homog´neo, e − v=F v=0 em sobre ∂ . g , pelo que a extens˜o ˜ a A regularidade de F est´ assim ligada ` regularidade de f e tamb´m de a a e de g deve ser suﬁcientemente regular. Observa¸˜o 2: Relativamente ` passagem para a formula¸˜o variacional, podemos estabca a ca elecer uma analogia que consiste em passar do resolu¸˜o do sistema em Rd ca Av = y para a formula¸˜o ’fraca’ ca wT Av = wT y, para certos vectores w. A primeira implica a segunda, mas o contr´rio nem sempre ´ verdade, a menos que haja uma a e ´ claro que basta considerar w = ei , isto ´, os vectores quantidade suﬁciente de vectores w. E e base, para que se obtenha uma igualdade em termos de componentes, e consequentemente haja uma equivalˆncia. Mas se os vectores w considerados n˜o gerarem uma base de Rd , ent˜o a e a a formula¸˜o fraca n˜o implicar´ a forte. ca a a Caso discreto. Podemos explorar um pouco mais a ideia anterior, aplicando ao caso do problema discreto para diferen¸as ﬁnitas. c Suponhamos que temos os pontos pij = (xi , yj ), ordenados com uma qualquer numera¸˜o, ca de forma a identiﬁc´-los simplesmente com um ´ a ındice, passando assim a serem referidos apenas por pi . Tendo j´ estabelecido o problema discreto relativo ` equa¸˜o de Poisson, a a ca ˜ ui = fi em ¯ h , ui = 0 em ∂ h . j´ vimos que esta igualdade pode ser descrita em termos matriciais atrav´s de uma igualdade a e do tipo M u = y. Suponhamos agora que consideramos vectores teste w deﬁnidos com valores ca arbitr´rios nos pontos pi . Ao escrevermos wT M u = wT y, estamos a escrever a formula¸˜o a 84 fraca, que corresponder´ ` formula¸ao forte se admitirmos que os vectores teste w incluem ou aa c˜ geram a base can´nica, ou seja w = ek , vectores dados pelo delta de Kronecker, wi = δik . o Outros valores para w correspondem a considerar uma soma ponderada, por exemplo, w = 1 (0, 1 , 1 , 1 , 0, 0, ..., 0), implica wT y = 1 y2 + 2 y3 + 1 y4 , e a informa¸˜o aqui ´ essencialmente ca e 4 2 4 4 4 dada por y3 , mas est´ misturada com os valores de y2 e y4 (correspondente ` n´voa), o que a a e n˜o acontece se considerarmos w = e3 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, ..., 0) que implica wT y = y3 , ou seja, a obtemos o valor exacto. H´ assim um paralelismo evidente entre o caso ﬁnito e cont´ a ınuo, e que se traduz numa semelhan¸a de pap´is entre os deltas de Kronecker e Dirac. A grande diferen¸a ´ que, no caso ﬁnito, c e c e se o subespa¸o vectorial que cont´m os vectores w n˜o for o pr´prio espa¸o (e consequentemente c e a o c incluir a base), ent˜o n˜o temos informa¸˜o suﬁciente para recuperar a igualdade (forte). No a a ca caso cont´ ınuo isso ´ poss´ e ıvel, gra¸as a resultados de densidade, como veremos mais ` frente. c a Note-se que o caso ﬁnito de que falamos aqui, ´ ainda um caso de igualdades pontuais, e e n˜o dever´ ser confundido, mais ` frente, com a aproxima¸˜o discreta, num espa¸o de dimens˜o a a a ca c a ﬁnita, mas que ser´ um espa¸o de fun¸˜es! a c co 4.2 Formula¸˜o abstracta ca A igualdade variacional estabelecida para equa¸˜o de Poisson (4.1) pode ser vista como um caso ca particular de uma formula¸˜o mais geral em que se utilizam formas lineares e bilineares. ca Seja V um espa¸o vectorial. Dizemos que uma forma b : V × V → R ´ uma forma bilinear, c e se veriﬁcar as propriedades b(v1 + v2 , w) = b(v1 , w) + b(v2 , w), b(αv, w) = α b(v, w), b(v, w1 + w2 ) = b(v, w1 ) + b(v, w2 ), b(v, αw) = α b(v, w). Dizemos que a forma ´ sim´trica, se veriﬁcar b(w, v) = b(v, w). e e Reparamos que apenas faltam duas propriedades para que uma forma bilinear sim´trica seja e um produto interno. A primeira ´ que b(v, v) ≥ 0, e a segunda que e b(v, v) = 0 ⇒ v = 0. No caso de formas deﬁnidas nos complexos, b : V × V → C, introduz-se a no¸˜o de forma ca 2 , e nesse caso a unica diferen¸a diz respeito `s propriedades sesquilinear ´ c a b(v, αw) = α b(v, w), b(v, w) = b(w, v). ¯ Podemos agora estabelecer a formula¸ao variacional c˜ Encontrar u ∈ V : b(u, v) = l(v) ∀v ∈ V. (4.2) em que V ´ um espa¸o de Hilbert, l : V → R ´ uma forma linear e b : V × V → R ´ uma forma e c e e bilinear. 2 O preﬁxo sesqui vem do latim, e signiﬁca um e meio. Por exemplo, sesquipedalis signiﬁcava um p´ e meio. e 85 Ser˜o habitualmente admitidas algumas hip´teses: a o • b ´ cont´ e ınua em V, ou seja, que existe uma constante M > 0 : |b(u, v)| ≤ M ||u||V ||v||V , ∀u, v ∈ V. • b ´ coerciva em V (ou V -el´ e ıptica), ou seja, que existe uma constante α > 0 : b(v, v) ≥ α||v||2 , ∀v ∈ V. V • l ´ cont´ e ınua em V, ou seja, existe C > 0 : |l(v)| ≤ C||v||, ∀v ∈ V. Exemplos: 1 a) No caso da equa¸˜o de Poisson, V ( ) = H0 ( ), j´ vimos que ca a b(v, w) = v· w, l(w) = fw . Falta-nos veriﬁcar as hip´teses de continuidade e coercividade, mas para isso precisamos do o 1 estudo do espa¸o de Sobolev H0 ( ) e de qual norma ser´ adequado considerar nesse espa¸o. c a c Faremos isso mais ` frente. a b) No caso de dimens˜o ﬁnita, para um sistema Au = y, escrevemos a formula¸˜o fraca a ca T Av = wT y, com w ∈ V = Rd , e ´ claro que temos w e b(v, w) = wT Av, l(w) = wT y. Se a matriz A for deﬁnida positiva temos, por deﬁni¸˜o v T Av > 0, para v = 0, e portanto ca como se trata de um espa¸o de dimens˜o ﬁnita podemos sempre considerar α = min||w||=1 wT Aw > c a 0 (j´ que a bola unit´ria ´ compacta e h´ m´ a a e a ınimo), logo b(v, v) = v T Av = vT v A ||v||2 ≥ α||v||2 . ||v|| ||v|| De facto, em certo sentido, a no¸˜o de coercividade generaliza a no¸˜o, em dimens˜o ﬁnita, de ca ca a matrizes deﬁnidas positivas. Se a matriz A for deﬁnida positiva e tamb´m sim´trica, sabemos que b(v, w) deﬁne um e e produto interno, que podemos designar por v, w A e assim a formula¸˜o variacional corresponde ca a encontrar u tal que u, w A = y, w , ∀w ∈ Rd , em que design´mos propositadamente o produto interno cl´ssico por ., . sem o ´ a a ındice A , para que ﬁque evidente que se trata de encontrar um vector u que ’seja o equivalente’ a y segundo o novo produto interno. Iremos ver que este caso sim´trico corresponde a um problema de e minimiza¸˜o. ca c) Vejamos agora um exemplo resultante de uma equa¸˜o diferencial ordin´ria em =]0, 1[, ca a −(p(x)u (x)) + q(x)u(x) = f (x), ∀x ∈]0, 1[ com p > 0, q ≥ 0 e as condi¸˜es de fronteira (note-se que ∂ co 86 = {0, 1}) s˜o u(0) = u(1) = 0. a A forma bilinear obtida (por integra¸˜o por partes) ´ neste caso ca e 1 b(v, w) = 0 p(x)v (x)w (x) + q(x)v(x)w(x)dx, 1 e a forma linear ser´ a l(w) = O espa¸o de Hilbert a considerar ser´ c a f (x)w(x)dx. O espa¸o c 0 1 (]0, 1[). H0 1 C0 ([0, 1]) = {v ∈ C 1 (]0, 1[) ∩ C([0, 1]) : v(0) = v(1) = 0}, n˜o ´ completo para o produto interno. a e 4.2.1 Equivalˆncia I (Caso sim´trico - minimiza¸˜o de energia) e e ca Vamos mostrar que, no caso em que a forma bilinear ´ sim´trica, a formula¸˜o variacional e e ca corresponde a uma minimiza¸˜o de energia. Relembramos que esta an´lise ´ apenas v´lida se b ca a e a for sim´trica. e A equivalˆncia entre a formula¸˜o variacional e a minimiza¸˜o de energia pode ser estabelee ca ca cida mesmo para o caso de espa¸os de Banach, mas como nos interessa essencialmente o caso de c espa¸os de Hilbert, manteremos a nota¸˜o V para designar o espa¸o. c ca c Seja V um espa¸o de Banach. Para uma forma bilinear sim´trica, b : V × V → R, deﬁnimos c e o funcional, designado por funcional de energia, 1 J(v) = b(v, v) − l(v). 2 Interessa-nos estabelecer que o problema de minimizar J para qualquer v ∈ V, ´ equivalente e a resolver o problema variacional b(v, w) = l(w), ∀w ∈ V. Derivada de Fr´chet de J. e Podemos calcular a derivada de Fr´chet3 de J a partir da bilinearidade de b e da linearidade de e l, porque 1 J(v + h) − J(v) = 2 b(v + h, v + h) − l(v + h) − b(v, v) + l(v) = = b(v, h) − l(h) + 1 b(h, h), 2 Relembra-se aqui a no¸ao de deriva¸ao de Fr´chet de operadores em espa¸os de Banach (espa¸os normados e c˜ c˜ e c c completos). Dados dois espa¸os de Banach E, F, um operador A : E → F diz-se Fr´chet diferenci´vel num ponto c e a x ∈ E se existir T ∈ L(E, F ) : ||A(x + h) − Ax − T h||F = o(||h||E ), e T designa-se por Ax . Trata-se de aproximar um operador n˜o linear A por um outro que o ´, na vizinhan¸a de a e c um ponto x. Repare-se que quando os pontos s˜o n´meros reais, e o operador ´ uma simples fun¸ao f, isto corresponde a a u e c˜ exigir que h´ uma constante T : a |f (x + h) − f(x) − T h| = o(|h|) essa constante ´ a derivada cl´ssica, i.e. T = f (x). e a Neste caso mais geral, os pontos podem ser fun¸oes, e a derivada deixa de ser uma constante para ser um c˜ operador linear, pois T ∈ L(E, F ). Como ´ claro, se o operador for linear a derivada de Fr´chet ´ o pr´prio e e e o operador! 3 87 e, devido ` continuidade de b, a 1 |J(v + h) − J(v) − b(v, h) + l(h)| = | b(h, h)| ≤ M ||h||2 . V 2 Isto signiﬁca que, para a topologia de V, a derivada de Fr´chet ´ e e Jv h = b(v, h) − l(h), ∀h ∈ V, • Reparamos assim que se a derivada de Fr´chet for nula, ou seja, Jv h = 0, ∀h ∈ V, isso e equivale a b(v, h) = l(h), ∀h ∈ V, ou seja, ` formula¸˜o variacional. a ca Vamos agora ver que se o ponto v for m´ ınimo de J, ou seja, J(v + h) ≥ J(v), ∀h ∈ V a derivada de Fr´chet Jv tem que ser nula. Este resultado generaliza assim um facto bem e conhecido. Proposi¸˜o 4.2.1 Se v um m´ ca ınimo de J ent˜o Jv ≡ 0 e consequentemente a b(v, h) = l(h), ∀h ∈ V. Demonstra¸˜o: Como J ´ Fr´chet-diferenci´vel, temos ca e e a 0 ≤ J(v + h) − J(v) = Jv h + o(||h||), ∀h ∈ V, o que implica, para h = εw,com ||w|| = 1, ε > 0, que 1 ε (Jv h + o(||h||)) = Jv (w) + o(1) ||h|| ε e assim 0 ≤ Jv (w) + o(1) −→ Jv (w). ε→0 Logo, 0 ≤ Jv (w). Ora, isto ´ v´lido para qualquer w com norma 1, logo tamb´m para −w, e a e portanto 0 ≤ Jv (−w) = −Jv (w), conclu´ ımos assim que Jv (w) = 0 e portanto Jv (h) = Jv (w)ε = 0. ´ Observa¸˜o: E claro que poder´ ca ıamos obter o resultado anterior sem falar em deriva¸˜o ca de Fr´chet, mas ´ conveniente estabelecer que a condi¸˜o para a derivada de Fr´chet ser nula e e ca e corresponde exactamente ` formula¸˜o variacional. a ca Podemos agora deduzir o seguinte resultado: Um caso interm´dio, entre os n´meros reais e as fun¸oes, ´ o caso de vectores. Com efeito quando temos uma e u c˜ e fun¸ao vectorial f : Rd → Rq , a derivada de Fr´chet ´ a matriz jacobiana Jf , pois a matriz T que veriﬁca c˜ e e ||f (x + h) − f (x) − T h|| = o(||h||) ´ justamente a matriz jacobiana calculada no ponto x, ou seja, T = Jf (x), que sendo uma matriz ´ um operador e e linear de Rd em Rq . 88 Teorema 4.2.1 Seja b tal que b(w, w) ≥ 0, ∀w ∈ V. O ponto u ´ m´ e ınimo em V de 1 J(v) = b(v, v) − l(v) 2 se e s´ se veriﬁcar o b(u, w) = l(w), ∀w ∈ V. Demonstra¸˜o: J´ vimos uma das implica¸˜es na proposi¸˜o anterior, a outra ´ trivial. ca a co ca e Basta reparar que, sendo u solu¸˜o do problema variacional, temos para qualquer h ∈ V, ca 1 1 J(u + h) − J(u) = b(u, h) − l(h) + b(h, h) = l(h) − l(h) + b(h, h) ≥ 0. 2 2 Observa¸˜o 1: ca a) A hip´tese de b veriﬁcar b(w, w) ≥ 0, ∀w ∈ V, ´ imediatamente garantida pela coercivio e dade. Com efeito, exigir a coercividade ´ mesmo mais forte e garante que apenas haver´ um e a m´ ınimo, pois teremos α J(u + h) − J(u) ≥ ||h||2 V 2 e a desigualdade ´ estrita se h = 0. e b) Repare-se que sendo b sim´trica e coerciva, a forma bilinear deﬁne mesmo um produto e interno! Com efeito, b(v, v) ≥ α||v||2 , ∀v ∈ V. V implica que b(v, v) ≥ 0 e ´ ´bvio que b(v, v) = 0 implica ||v|| = 0 e consequentemente v = 0. eo Nestes casos, iremos ver que (pelo teorema de representa¸ao de Riesz) qualquer forma linear c˜ em V pode ser representada como o produto interno por um certo elemento. Observa¸˜o 2: Note-se que ca b(v, w) = v· w veriﬁca b(v, v) ≥ 0, mas n˜o deﬁne ` partida um produto interno, j´ que b(v, v) = 0 n˜o implica a a a a 2 = 0. No entanto, este facto ´ v = 0, pois as constantes tamb´m veriﬁcam b(v, v) = e | v| e contornado suprimindo as constantes n˜o nulas do nosso espa¸o, impondo a condi¸˜o v = 0 em a c ca 1 ∂ , o que acontece ao considerar v ∈ H0 ( ). 1 Observa¸˜o 3: Acabamos de mostrar que minimizar em H0 ( ) ca J(v) = ´ equivalente a resolver e v· w= 1 f w , ∀w ∈ H0 ( ). 1 2 | v|2 − vf Esta ideia de encontrar a solu¸˜o atrav´s de um processo de minimiza¸˜o denomina-se m´todo ca e ca e de Ritz. Observa¸˜o 4: No caso matricial, isto corresponde a reparar que de Av = y obtemos a ca formula¸˜o variacional w Av = w y, que ser´ equivalente a minimizar J(v) = 1 v Av − v y ca a 2 quando a matriz A ´ sim´trica e deﬁnida positiva. e e 89 Observa¸˜o 5: No caso do exemplo c) anterior, a solu¸˜o ser´ o m´ ca ca a ınimo de 1 J(u) = 0 1 para fun¸˜es u ∈ H0 (]0, 1[). co p(x)(u (x))2 + q(x)u(x)2 − 2f (x)u(x)dx, 4.2.2 Equivalˆncia II (Formula¸oes fraca e forte) e c˜ Vamos agora considerar a equivalˆncia entre as formula¸oes fraca e forte em casos espec´ e c˜ ıﬁcos. ca Come¸amos por ver o caso que mais nos interessa, associado a equa¸˜o de Poisson. Para esse c ` efeito, ´ conveniente relemebrar resultados b´sicos de distribui¸˜es e espa¸os de Sobolev (ver e a co c algumas notas em apˆndice). Come¸amos por estabelecer algumas nota¸˜es. e c co ∞ Para qualquer aberto ⊂ Rd , o espa¸o Cc ( ) (designado por espa¸o de fun¸˜es teste, na c co c 4 a nota¸˜o D( )) ir´ designar as fun¸˜es C ∞ ( ) teoria de distribui¸˜es, onde tamb´m se utiliza co e ca a co que tˆm suporte compacto em , ou seja, as fun¸˜es inﬁnitamente diferenci´veis em que s´ e co a o ¯ e n˜o s˜o nulas em subconjuntos K ⊂ a a tais que K ´ compacto. Na pr´tica, isto corresponde a a considerar todas as fun¸˜es inﬁnitamente diferenci´veis que s˜o nulas numa vizinhan¸a da co a a c fronteira (note-se que isto exclui as fun¸˜es anal´ co ıticas, j´ que estas sendo nulas numa vizinhan¸a a c s˜o nulas em ). a Iremos usar a nota¸˜o f = 0 æ. quando parecer importante salientar que a igualdade f = 0 ca se veriﬁca a menos de um conjunto de medida de Lebesgue nula (o s´ ımbolo æ ´ uma abreviatura e da express˜o inglesa almost everywhere). De um modo geral, n˜o haver´ necessidade de estar a a a sempre a referir esse facto, j´ que quando se trabalha em espa¸os de Lebesgue, a igualdade ´ a c e subentendida a menos de conjunto de medida nula. ∞ Teorema 4.2.2 O espa¸o Cc ( ) ´ denso em Lp ( ), para 1 ≤ p < ∞. Em particular, se c e 2 ( ) e veriﬁca f ∈L ∞ f (x)w(x)dx = 0, ∀w ∈ Cc ( ), ent˜o f = 0 æ. a . Demonstra¸˜o: Ver p.ex. [4]. A conclus˜o particular resulta de uma propriedade bem ca a conhecida dos espa¸os de Hilbert. Com efeito, se H ´ um espa¸o de Hilbert e X ´ um seu c e c e ⊥ = {0} ⇐⇒ X = H. ¯ subespa¸o, temos X c Observa¸˜o. Este resultado tem bastante importˆncia, porque permite encarar a igualdade ca a dos funcionais com uma generaliza¸˜o da no¸˜o de igualdade pontual. Com efeito, quando ca ca consideramos distribui¸˜es, dizemos que f = g se tivermos co ∞ f − g, w = 0, ∀w ∈ Cc ( ), a co e no caso em que f, g s˜o fun¸˜es L2 ( ) (na realidade basta considerar L1 ( )), ﬁca claro que loc isto signiﬁca ∞ (f (x) − g(x))w(x)dx = 0, ∀w ∈ Cc ( ), N˜o iremos usar habitualmente a nota¸ao D( ) para as fun¸oes teste, mas iremos usar a nota¸ao D ( ) para a c˜ c˜ c˜ o dual (na sua topologia), j´ que esta ´ a nota¸ao mais comum para designar o espa¸o de distribui¸oes. a e c˜ c c˜ 4 90 e que pelo teorema implica f − g = 0 æ. . u ∈ L2 ( )) tal que Vejamos agora o caso da equa¸˜o de Poisson. ca Se considerarmos f ∈ L2 ( ) e obtivermos uma fun¸˜o u ∈ H 2 ( ) (logo, ca − u = f æ. , dizemos que u ´ uma solu¸ao forte (diremos que ´ solu¸ao cl´ssica quando u ∈ C 2 ( )). e c˜ e c˜ a 1 Falaremos de solu¸ao fraca, quando u ∈ H0 ( ) for solu¸˜o do problema variacional c˜ ca u· w= 1 f w , ∀w ∈ H0 ( ). 1 Precisamos apenas de especiﬁcar o que entendemos por H0 ( ), para al´m das informa¸˜es e co intuitivas j´ adiantadas anteriormente. a 1 ∞ Deﬁni¸˜o 4.2.1 O espa¸o H0 ( ) ´ a aderˆncia de Cc ( ) na topologia deﬁnida por H 1 ( ). ca c e e 1 ´ E imediato que H0 ( ) ´ um subespa¸o vectorial de H 1 ( ), e pela deﬁni¸˜o ´ um subespa¸o e c ca e c fechado para a norma induzida... no entanto n˜o ser´ essa norma que nos interessar´ considerar. a a a 1 ∞ ´ e co a E tamb´m claro que o espa¸o H0 ( ) cont´m as fun¸˜es teste Cc ( ), que s˜o nulas na fronteira. e c 1 ( ), de fun¸˜es C ∞ ( ) Para al´m disso, como as suas fun¸˜es s˜o o limite, na norma de H e co a co c (que s˜o nulas em ∂ ), coloca-se a quest˜o de saber se estas fun¸˜es tˆm tra¸o nulo em ∂ . a a co e c A resposta intuitiva poder´ ser um sim sem hesita¸˜es, mas s´ pode ser bem compreendida se a co o notarmos que pelo teorema anterior tamb´m tinhamos dito que qualquer fun¸˜o L2 ( ) poderia e ca ∞ ser obtida como limite tamb´m de fun¸˜es Cc ( ), na norma L2 ( ). Ora, as fun¸˜es L2 ( ) n˜o e co co a tˆm que ter tra¸o nulo na fronteira! Qual a diferen¸a? e c c A pequena grande diferen¸a est´ na norma que se considera! Por exemplo, ´ poss´ conc a e ıvel siderar uma sucess˜o de fun¸˜es teste que convirja para f = 1 em (basta pensar em func˜es a co o cut-oﬀ5 numa sucess˜o de compactos Kn que se aproxima de ) mas ´ claro que para valores de a e n grandes, a distˆncia entre a fronteira de K (onde a fun¸˜o vale 1) e a fronteira de (onde a a ca fun¸˜o vale 0) ser´ cada vez mais pequena, pelo que a derivada ir´ tender para inﬁnito. Como ca a a a derivada n˜o ser´ limitada, veriﬁca-se (...) que esta sucess˜o n˜o converge em H 1 ( ), n˜o a a a a a 1 ( ). podendo pertencer a H0 Conv´m neste momento rever no apˆndice a deﬁni¸˜o correcta de tra¸o, algumas das suas e e ca c propriedades, bem como os espa¸os funcionais em que ´ poss´ estabelecer a f´rmula de Green. c e ıvel o Vamos admitir o seguinte resultado, cuja demonstra¸˜o n˜o ´ trivial (cf. [15]): ca a e Lema 4.2.1 Temos a deﬁni¸ao equivalente c˜ 1 H0 ( ) = {v ∈ H 1 ( ) : v|∂ = 0}, em que v|∂ representa o tra¸o de v na fronteira ∂ c (fronteira seccionalmente C 1 ). Este resultado permite justiﬁcar algumas aﬁrma¸˜es feitas anteriormente, e podemos estabco elecer os resultados de equivalˆncia. e ∞ Fun¸oes cut-oﬀ s˜o fun¸oes Cc ( ) que s˜o nulas em todo c˜ a c˜ a onde valem 1. 5 , excepto no interior de um compacto K ⊂ , 91 Problema de Dirichlet para a equa¸˜o de Poisson ca 1 Teorema 4.2.3 Se f ∈ L2 ( ) e u ∈ H 2 ( ) ∩ H0 ( ) ent˜o a solu¸ao fraca e forte, do problema a c˜ de Dirichlet para a equa¸ao de Poisson, coincidem. c˜ Demonstra¸˜o: ca ca a (⇐) Esta implica¸˜o j´ havia sido considerada, mas repetimo-la, justiﬁcando alguns passos. Como f ∈ L2 ( ) e u ∈ H 2 ( ), temos − u = f æ. o que implica − uw = 1 f w , ∀w ∈ H0 ( ), , porque u ∈ L2 ( ), w ∈ L2 ( ) e todos os integrais est˜o bem deﬁnidos. a Pela f´rmula de Green (generalizada para fun¸˜es n˜o regulares — como no apˆndice), temos o co a e agora u· w− ∂n u w = ∂ 1 f w , ∀w ∈ H0 ( ), note-se que todos os termos est˜o bem deﬁnidos, mas talvez seja importante reparar que a w|∂ , ∂n u|∂ s˜o func˜es de H 1/2 (∂ ) ⊂ L2 (∂ ). a o Agora podemos usar o facto w|∂ = 0, devido ao Lema anterior e concluir que u· w= 1 f w , ∀w ∈ H0 ( ). (⇒) Podemos repetir os passos no sentido inverso e obter − uw = 1 f w , ∀w ∈ H0 ( ). ∞ 1 Como Cc ( ) ⊂ H0 ( ), a igualdade variacional anterior ´ v´lida, em particular, para w ∈ e a ∞ ( ), portanto Cc ∞ ( u + f ) w = 0 , ∀w ∈ Cc ( ) e conclu´ ımos (pelo Teorema.4.2.2) que u + f = 0 æ. . A condi¸˜o na fronteira u = 0 em ∂ resulta imediatamente de considerarmos sempre u ∈ ca 1 H0 ( ). Observa¸˜o: No teorema ﬁca assumido implicitamente que estamos a considerar fronteiras ca suﬁcientemente regulares, onde ´ poss´ e ıvel aplicar os teoremas, e isso veriﬁca-se se for um 1 , o que inclui dom´ aberto com fronteira seccionalmente C ınios com cantos. No entanto, iremos ca ca ver mais ` frente, que apenas conseguimos garantir que a solu¸˜o esteja em H 2 ( ) (condi¸˜o a exigida para a equivalˆncia) se a fronteira n˜o tiver ‘cantos’ complicados... e a 92 Problema unidimensional Vamos agora estabelecer a equivalˆncia entre o problema de Dirichlet resultante de uma equa¸˜o e ca diferencial ordin´ria em =]0, 1[, a −(p(x)u (x)) + q(x)u(x) = f (x), ∀x ∈]0, 1[, u(0) = u(1) = 0. em que p > 0, q ≥ 0, p ∈ C 1 ([0, 1]), q ∈ C[0, 1]. A formula¸˜o variacional obtida foi ca 1 1 p u w + q u wdx = 0 0 1 f w dx, ∀w ∈ H0 (]0, 1[). Exerc´ ıcio: Veriﬁque a equivalˆncia entre a solu¸˜o fraca e forte para . e ca Resolu¸ao: c˜ 1 (⇐) Da equa¸˜o −(p u ) + q u = f, obtemos multiplicando por w ∈ H0 (]0, 1[), ca 1 1 − (p u ) w + q u w dx = 0 0 f w dx, e aplicando integra¸˜o por partes (f´rmula de Green unidimensional!) ca o 1 0 p u w dx − pu w 1 0 1 1 + 0 q u w dx = 0 f w dx, 1 c a e como [pu w]1 = p(1)u (1)w(1) − p(0)u (0)w(0) = 0, pois w ∈ H0 (]0, 1[) e os tra¸os s˜o w(0) = 0 w(1) = 0, obtemos 1 1 1 p u w dx + 0 0 q u w dx = 0 f w dx. (⇒) Mais uma vez, trata-se de repetir os passos no sentido inverso at´ que obtemos e 1 0 1 (p u ) − q u + f w dx = 0, ∀w ∈ H0 (]0, 1[), ∞ e considerando, em particular, w ∈ C0 (]0, 1[) pelo Teorema.4.2.2 temos (p u ) − q u + f = 0 æ. ]0, 1[. 4.2.3 Teoremas fundamentais De seguida apresentamos alguns resultados fundamentais que nos permitem retirar informa¸˜es co valiosas acerca da existˆncia, unicidade, e dependˆncia cont´ e e ınua face aos dados das solu¸˜es co e fracas, solu¸˜es dos problemas variacionais. O resultado mais geral ´ o teorema de Lax-Milgram, co j´ que n˜o se exige que a forma bilinear seja sim´trica, mas iremos come¸ar por referir o caso a a e c sim´trico, em que se pode fazer uma aplica¸˜o directa do teorema de Riesz. Ali´s conv´m notar e ca a e o que na demonstra¸˜o do teorema de Lax-Milgram iremos usar o pr´prio teorema de Riesz. ca Em qualquer dos casos ser´ sempre necess´rio assumir as hip´teses de que b ´ cont´ a a o e ınua e coerciva e de que l ´ cont´ e ınua, num certo espa¸o de Hilbert V. c 93 Formas Sim´tricas - Teorema de Riesz e J´ referimos (na Observa¸˜o 1b) anterior) que, se a forma bilinear for sim´trica e coerciva, deﬁne a ca e um produto interno, e iremos escrever v, w b = b(v, w). Ali´s, sendo a forma cont´ a ınua e coerciva em V, isso ´, neste caso, uma maneira equivalente de e dizer que a norma deﬁnida por ||v||b = b(v, v) ´ equivalente ` norma de V, j´ que temos constantes α > 0, M > 0 : e a a α||v||2 ≤ ||v||2 = b(v, v) ≤ M ||v||2 . V V b Recordamos agora um teorema fundamental em espa¸os de Hilbert. c Teorema 4.2.4 (Representa¸ao de Riesz). As formas lineares cont´ c˜ ınuas num espa¸o de Hilbert c V s˜o sempre da forma T (x) = (τ, x) em que τ ´ um elemento do espa¸o V. A correspondˆncia a e c e T → τ ´ biun´voca, sendo mesmo uma isometria. e ı Portanto, no caso de b(v, w) deﬁnir um produto interno, qualquer forma linear em V pode ser representada como o produto interno por um certo elemento. Ou seja, sendo l uma forma linear em V ﬁca garantido que existe um e um s´ τ ∈ V tal que o l(w) = τ, w b , ∀w ∈ V. Isto signiﬁca que temos l(w) = b(τ, w) e portanto τ ´ exactamente a solu¸˜o do problema e ca variacional, ie. u = τ. Como o teorema de Riesz tamb´m garante que nessas circunstˆncias e a se trata de uma isometria, conclui-se que o problema est´ bem posto, tendo-se ||u||V = ||l||V , a recordando-se que a norma no dual ´ deﬁnida por e ||l||V = sup |l(w)| . ||w||V w=0 Exemplo 1. Caso discreto — matrizes sim´tricas deﬁnidas positivas. e No caso em que temos Au = y, e em que A ´ uma matriz sim´trica deﬁnida positiva, ent˜o e e a b(v, w) = wT Av deﬁne um produto interno, que j´ represent´mos por v, w A e portanto, ´ claro que dada a a a e forma linear l(w) = wT y = y, w , pelo teorema de Riesz existe um e um s´ u ∈ Rd : o u, w Assim, deﬁnida a norma ||v||2 = v, v A ||l||A = sup A = y, w , ∀w ∈ Rd . A = vT Av, temos |wT y| que ser´ igual a ||u||A . a w=0 ||w||A 94 Exemplo 2. Caso unidimensional. Consideremos agora o problema j´ apresentado para uma equa¸˜o diferencial ordin´ria. A a ca a 1 solu¸˜o fraca u ∈ H0 (]0, 1[) deve veriﬁcar o problema variacional com a forma bilinear ca 1 b(v, w) = 0 p(x)v (x)w (x) + q(x)v(x)w(x)dx, em que p > 0, q ≥ 0, p ∈ C 1 ([0, 1]), q ∈ C[0, 1], e com a forma linear 1 l(w) = 0 f (x)w(x)dx. ´ E claro que se trata de uma forma bilinear sim´trica cont´ e ınua, em H 1 (]0, 1[), basta ver que aplicando Cauchy-Schwarz em L2 , 1 1 |b(v, w)| ≤ | 0 p(x)v (x)w (x)| + | 1 0 [0,1] 0 q(x)v(x)w(x)dx| ≤ 1 0 ≤ max |p| [0,1] v w + max |q| vw ≤ C(||v ||L2 ||w ||L2 + ||v||L2 ||w||L2 ) ≤ ≤ 2C||v||H 1 ||w||H 1 , em que C = max{max |p|, max |q|}, j´ que ´ claro que ||v||H 1 ≥ ||v||L2 e que ||v||H 1 ≥ ||v ||L2 . a e 1 Temos tamb´m b(v, v) ≥ 0, resta ver que deﬁne um produto interno em H0 (]0, 1[). e Designando mp = minx∈[0,1] p(x), mq = minx∈[0,1] q(x), temos 1 b(v, v) = 0 p(x)v (x)2 dx + 0 1 q(x)v(x)2 dx ≥ mp 1 0 v (x)2 dx + mq 0 1 v(x)2 dx e portanto 1 b(v, v) ≥ min{mp , mq } v (x)2 dx + 0 1 v(x)2 dx 0 = α||v||2 1 (]0,1[) . H A) Se α = min{mp , mq } > 0, obtemos um produto interno, porque b(v, v) = 0 implica ||v||H 1 (]0,1[) = 0 e consequentemente v = 0 æ. ]0, 1[. Este produto interno ´ equivalente ao e 1 produto interno de H 1 (]0, 1[) induzido no subespa¸o H0 (]0, 1[). c Estamos assim nas condi¸˜es do teorema de Riesz, e podemos garantir existˆncia, unicidade co e 1 (]0, 1[). e dependˆncia cont´ e ınua dos dados em H0 B) Se mq = 0 ent˜o α = 0 e temos que rever o ultimo passo. Neste caso obtemos apenas a ´ 1 b(v, v) ≥ mp v (x)2 dx, 0 e ´ claro que b(v, v) = 0 implicaria apenas v = 0. No entanto, como estamos a trabalhar no e 1 co c espa¸o H0 , podemos usar o facto das fun¸˜es terem tra¸o nulo para retirar o seguinte resultado: c Exerc´ ıcio: (Desigualdade de Poincar´ em dimens˜o 1). Seja v ∈ C 1 (]a1 , a2 [) com v(a1 ) = 0, e a ent˜o existe C > 0 : a a a 2 a1 v(x)2 dx ≤ C 2 (v(x))2 dx. ´ a1 95 Resolu¸ao: Esta desigualdade resulta de considerar (note-se que v(a1 ) = 0) c˜ x v(x) = a1 v (y)dy e portanto, aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, | 1, v |2 ≤ ||1||2 · ||v ||2 , |v(x)|2 ≤ |x − a1 | Agora, ´ claro que e a2 a1 x a1 |v (y)|2 dy. |v(x)|2 dx ≤ a2 a1 x (x − a1 ) a1 1 |v (y)|2 dy dx ≤ |a2 − a1 |2 2 a2 a1 |v (y)|2 dy, e a constante ´ C = 1 |a2 − a1 |2 . A desigualdade ﬁca assim demonstrada. e 2 1 Portanto, agora ´ simples estabelecer que o resultado ainda se veriﬁca para v ∈ H0 (]a1 , a2 [), e ∞ (]a , a [), e sabemos que uma desigualdade (n˜o j´ que ser´ obviamente v´lido para fun¸˜es Cc a a a co a 1 2 estrita) quando ´ v´lida para cada elemento de uma sucess˜o ´ v´lida no limite. e a a e a Logo, 1 mp 1 mp 1 v (x)2 dx + v(x)2 dx b(v, v) = mp v (x)2 dx ≥ 2 0 2C 0 0 e portanto temos a coercividade, b(v, v) ≥ min{ mp mp , }||v||2 1 . H 2 2C 1 Desta forma podemos aplicar o teorema de Riesz ao espa¸o H0 ( ) munido da norma induzida c 1 ( ), j´ que tamb´m ´ poss´ 1 por H a e e ıvel aplicar directamente o teorema de Riesz ao espa¸o H0 ( ) c munido da seminorma, dada por 1 ||v||H0 = 1 v (x)2 dx. 0 As normas s˜o equivalentes, pois ´ claro que ||v||H0 ≤ ||v||H 1 e vemos (pelo exerc´ a e ıcio) que 1 ||v||H 1 ≤ (C + 1)||v||2 1 . H 0 1 Exerc´ ıcio: Veriﬁcar que a forma b ´ cont´ e ınua e coerciva usando o produto interno de H0 . Repare que a desigualdade de Poincar´ ´ agora utilizada para mostrar a continuidade. ee Exemplo 3. Equa¸ao de Poisson. c˜ Para veriﬁcarmos a coercividade para o caso da equa¸˜o de Poisson precisamos de aplicar ca um caso mais geral da desigualdade de Poincar´ e Teorema 4.2.5 (Desigualdade de Poincar´). Seja e inclu´ numa faixa). Existe C > 0 : ıdo ||v||L2 ( ) um dom´ ınio limitado (ou pelo menos 1 ≤ C || v||L2 ( ) , ∀v ∈ H0 ( ). 96 Demonstra¸˜o: ca A demonstra¸˜o ´ semelhante ` efectuada para em dimens˜o 1 num exerc´ anterior. ca e a a ıcio Sem perda generalidade, admitimos que est´ na faixa Rd−1 × [α, β], e escrevemos x = a ∞ (¯, xd ), com x ∈ Rd−1 , xd ∈ [α, β]. Consideramos v ∈ Cc ( ) prolongada por zero a Rd . Assim x ¯ v(¯, α) = 0 e podemos escrever x xd v(x) = v(¯, xd ) = x α ∂xd v(¯, t)dt. x Portanto, aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, | 1, ∂xd v |2 ≤ ||1||2 · ||∂xd v||2 , |v(¯, xd )|2 ≤ |xd − a1 | x Agora, ´ claro que e Rd−1 xd Rd−1 α xd α |∂xd v(¯, t)|2 dt. x |v(¯, xd )|2 d¯ ≤ (xd − a1 ) x x β α |∂xd v(¯, t)|2 dt d¯ = (xd − a1 ) x x (β − α)2 2 Rd |∂xd v(x)|2 dx , pelo que x x |v(¯, xd )|2 d¯ ≤ (xd − a1 ) ||v||2 2 ( L x x |∂xd v(¯, xd )|2 d¯dxd ≤ |∂xd v(x)|2 dx. Rd Rd−1 Rd Como o suporte de v est´ em a , ﬁca assim demonstrado que ) ≤ C ||∂xd v||2 2 ( L ) ≤ C || v||2 2 ( L ) ∞ em que a constante ´ C = 1 |β − α|2 . Apenas mostr´mos para v ∈ Cc ( ), mas como esse e a 2 1 conjunto ´ denso em H0 ( ), a desigualdade ﬁca demonstrada. e Agora ´ f´cil concluir que e a b(u, v) = 1 deﬁne um produto interno em H0 ( ), j´ que a u· v b(v, v) = | u|2 ≥ 1 ||u||2 2 ( ) , L C e portanto b(v, v) ≥ 0 e b(v, v) = 0 implica ||u||2 2 ( ) = 0 e consequentemente u = 0 æ. . L ´ este o produto interno natural de H 1 ( ), que ´ equivalente ao induzido por H 1 ( ), j´ que E e a 0 temos nitidamente ||u||2 1 ( ) ≤ ||u||2 1 ( ) H H 0 e por outro lado, pela desigualdade de Poincar´, e ||u||2 1 ( H 0 ) = || u||2 2 ( L ) 1 ≥ || u||2 2 ( L 2 ) + 1 ||u||2 2 ( L 2C ) 1 1 = min{ , }||u||2 1 ( ) . H 2 2C Como as topologias s˜o equivalentes, podemos usar indistintamente um ou outro produto a interno. Usando o produto interno de H 1 , a coercividade de b surgiria pela desigualdade de 1 Poincar´, e se usarmos o produto interno de H0 essa desigualdade seria aplicada para mostrar e a continuidade de b. 97 Formas N˜o Sim´tricas - Teorema de Lax-Milgram a e At´ aqui vimos apenas resultados que se aplicam a formas sim´tricas, no entanto, podemos e e estabelecer um resultado mais geral (o teorema de Lax-Milgram) em que n˜o se exige que b seja a sim´trica. Mostramos que basta que b seja cont´ e ınua e coerciva para existir uma e uma s´ solu¸˜o o ca para o problema variacional em V. A demonstra¸˜o ir´ basear-se no Teorema de Representa¸˜o ca a ca de Riesz e no Teorema do Ponto Fixo de Banach. Teorema 4.2.6 (Lax-Milgram). Consideremos uma forma bilinear b cont´nua e coerciva num ı espa¸o de Hilbert V. Dado l ∈ V existe um e um s´ u ∈ V : c o b(u, v) = l(v), ∀v ∈ V. Para al´m disso, a transforma¸ao l → u ´ um isomorﬁsmo entre V e V. Isto assegura que o e c˜ e problema variacional est´ bem posto para qualquer l ∈ V . a Demonstra¸˜o: ca Fixando u ∈ V, deﬁnimos um funcional b(u, ·). Como b(u, ·) ´ linear e cont´ e ınuo (pois a forma bilinear ´ cont´ e ınua), temos b(u, ·) ∈ V . Pelo teorema de representa¸˜o de Riesz, sabemos que ca num espa¸o de Hilbert a um funcional linear cont´ c ınuo b(u, ·) est´ associado um elemento τ ∈ V, a como esse elemento depende de u iremos design´-lo por τ (u), de forma que a b(u, v) = (τ (u), v). Para al´m disso a aplica¸˜o τ : b(u, ·) −→ τ (u), ´ uma isometria de V em V. e ca e Repare-se que a coercividade signiﬁca, neste caso, τ (v), v = b(v, v) ≥ α||v||2 , e a continuidade implica ||τ (v)||2 = τ (v), τ (v) = b(v, τ (v)) ≤ M ||v|| ||τ (v)||, ou seja, ||τ (v)|| ≤ M ||v||. O problema variacional consiste em encontrar u ∈ V tal que b(u, ·) = l. Pelo Teorema de Riesz, tamb´m existe um τl associado a l ∈ V , podendo escrever-se ent˜o e a que procuramos u ∈ V tal que se veriﬁque τ (u) = τl . Trata-se de uma equa¸˜o a que iremos aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, transformandoca a numa equivalente, u = u − ω(τ (u) − τl ), em que a multiplica¸˜o pela constante ω = 0, corresponde a uma t´cnica de relaxa¸˜o. Existir ca e ca uma s´ solu¸˜o para equa¸˜o anterior corresponde a encontrar um s´ ponto ﬁxo para o operador o ca ca o Gu = (I − ωτ )u + ωτl , que aplica V em V. Basta ver que existe um ω = 0 para o qual G ´ uma contrac¸˜o. Como G ´ aﬁm, ou seja, e ca e e a ca Gu = T u + C, em que T u = (I − ωτ )u ´ linear e C = ωτl ´ constante (relativamente ` varia¸˜o e e de u), basta veriﬁcar que a norma de T ´ inferior a 1, ou seja, ||T ||V = sup v=0 ||T v||V <1 ||v||V 98 Aplicando as desigualdades j´ obtidas, a ||T v||2 = ||v − ωτ (v)||2 = ||v||2 − 2ω τ (v), v + ω 2 ||τ (v)||2 ≤ ≤ ||v||2 − 2ωα||v||2 + ω 2 M 2 ||v||2 ´ E agora f´cil concluir que existe ω = 0 tal que a 1 − 2ωα + ω 2 M 2 < 1 ⇔ ω2 M 2 < 2ωα, 2α bastando considerar 0 < ω < M 2 . Note-se que apesar de utilizar o teorema do ponto ﬁxo esta demonstra¸˜o n˜o ´ construtiva ca a e pois o operador de itera¸˜o G ´ constru´ com base na aplica¸˜o τ que prov´m do teorema de ca e ıdo ca e Riesz.... pelo que a demonstra¸˜o n˜o ´ construtiva. ca a e 4.3 Formula¸˜o Variacional Discreta ca H´ que proceder ` escolha de um espa¸o de fun¸˜es V onde se coloque a quest˜o de resolver o a a c co a problema variacional. As fun¸˜es v ∈ V s˜o designadas por fun¸oes teste, e o espa¸o de fun¸˜es co a c˜ c co ca teste ´ demasiado grande para admitir que pudessemos testar, por exemplo, a condi¸˜o e u· v= fv para cada uma das fun¸˜es v ∈ V, j´ que V n˜o se trata de um espa¸o de dimens˜o ﬁnita. co a a c a A ideia ser´ considerar espa¸os de dimens˜o ﬁnita Vh , em que o parˆmetro h ´ um parˆmetro a c a a e a de discretiza¸˜o. Quando h → 0, pela teoria de interpola¸˜o que iremos desenvolver no pr´ximo ca ca o cap´ ıtulo, podemos aproximar qualquer fun¸˜o em V por uma sucess˜o de fun¸˜es em Vh , e assim ca a co poderemos obter uma boa aproxima¸˜o, considerando h suﬁcientemente pequeno. ca Assim, associado ao problema variacional, • Dado l ∈ V , encontrar u ∈ V tal que b(u, v) = l(v), ∀v ∈ V, consideramos um problema variacional em dimens˜o ﬁnita, que designamos como aproxima¸ao a c˜ de Galerkin e que consiste em considerar um subespa¸o de dimens˜o ﬁnita Vh ⊂ V, e encontrar c a um uh ∈ Vh tal que b(uh , vh ) = l(vh ), ∀vh ∈ Vh . Observa¸˜o 1: Ao garantir que a forma b ´ coerciva, e como supomos Vh ⊂ V, isso implica ca e imediatamente que na discretiza¸˜o tamb´m se tenha ca e b(vh , vh ) ≥ α||vh ||2 , ∀vh ∈ Vh e consequentemente que a matriz do sistema seja deﬁnida positiva. Isto signiﬁca que podemos utilizar o m´todo de Cholesky (quando ´ sim´trica), o m´todo de Gauss-Seidel ou o m´todo e e e e e SOR. Observa¸˜o 2: No caso de se tratar de uma forma bilinear sim´trica designa-se tamb´m ca e e por aproxima¸˜o de Ritz-Galerkin, j´ que nesse caso, corresponde ` minimiza¸˜o do funcional ca a a ca 1 J(v) = 2 b(v, v) − l(v). Neste caso podem ser utilizados m´todos de optimiza¸˜o para deduzir a e ca aproxima¸˜o. ca 99 4.3.1 Fun¸oes base c˜ Como estamos a supor uma aproxima¸˜o por um espa¸o de dimens˜o ﬁnita Vh , existir´ uma ca c a a base ﬁnita de fun¸˜es co ψ1 , ..., ψN e podemos escrever qualquer fun¸˜o uh ∈ Vh como combina¸˜o linear ca ca N uh = i=1 uh ψi i Veriﬁcando-se a rela¸˜o, para j = 1, ..., N ca b(uh , ψj ) = l(ψj ), obtendo o sistema m i=1 b(ψi , ψj )uh = l(ψj ), ∀j = 1, ..., m, i pois basta veriﬁcar para as fun¸˜es base para assegurarmos que ´ veriﬁcado para todos os co e elementos de Vh devido ` linearidade de l e de b(u, ·). Matricialmente o problema pode ser a escrito na forma [b(ψi , ψj )]N×N [uh ]N×1 = [l(ψj )]N×1 . i Conv´m-nos considerar uma base simples, de forma a que o c´lculo dos elementos da matriz e a e do vector seja reduzido. Isto leva ` constru¸˜o dessas fun¸˜es atrav´s de elementos ﬁnitos, que a ca co e ser´ feita no pr´ximo cap´ a o ıtulo. Exemplo. Caso unidimensional. Consideramos as fun¸˜es teste ψ1 , ..., ψn que constituem co uma base unidimensional  t−t  t −ti−1 , para t ∈ [ti−1 , ti ]  i i−1 ti+1 −t ψi = , para t ∈ [ti , ti+1 ]  ti+1 −ti  0, fora de [ti−1 , ti+1 ] A ideia consiste em aproximar a solu¸˜o u, atrav´s de uma combina¸˜o linear das fun¸˜es ca e ca co base, u= ui ψi veriﬁcando a rela¸˜o b(u, w) = l(w) para cada w = ψi . Isto leva a um sistema cuja matriz ´ ca e tridiagonal. Observa¸˜o: A matriz B = [b(ψi , ψj )]N×N ´ constru´ de forma particular. Como ψi (x) = ca e ıda 0 se x n˜o pertencer a um elemento adjacente ao n´ i, o c´lculo ir´ reduzir-se aos elementos a o a a adjacentes aos n´s i e j. Com o vector y = [l(ψj )]N ×1 ir´ passar-se o mesmo. o a Podemos agora apresentar um resultado que estabelece uma certa proporcionalidade entre a aproxima¸˜o de Galerkin e a melhor aproxima¸˜o poss´ no espa¸o Vh . Este resultado ser´ ca ca ıvel c a crucial para estabelecermos estimativas de erro para a aproxima¸˜o por elementos ﬁnitos, no ca cap´ ıtulo seguinte. 100 Teorema 4.3.1 (C´a). Consideremos u a solu¸ao do problema variacional em V e uh a solu¸ao e c˜ c˜ do problema de aproxima¸ao de Galerkin em Vh ⊂ V. Ent˜o, temos a estimativa c˜ a ||u − uh || ≤ M inf ||u − vh ||. α vh ∈Vh Demonstra¸˜o: ca Como b(u, v) = l(v), ∀v ∈ V, em particular ´ verdade para vh ∈ Vh , tendo-se assim, e b(u, vh ) = l(vh ) = b(uh , vh ), e ent˜o b(u − uh , vh ) = 0 para qualquer vh ∈ Vh . Portanto, a α||u − uh ||2 ≤ b(u − uh , u − uh ) = b(u − uh , u) e ainda b(u − uh , u) = b(u − uh , u − vh ), para um qualquer vh ∈ Vh . Assim, pela continuidade de a surge imediatamente α||u − uh ||2 ≤ b(u − uh , u − vh ) ≤ M ||u − uh || ||u − vh ||, ∀vh ∈ Vh . Portanto ||u − uh || ≤ e a estimativa ´ estabelecida. e M ||u − vh ||, ∀vh ∈ Vh α 101 Cap´ ıtulo 5 Interpola¸˜o por Elementos Finitos ca 5.1 Caso unidimensional J´ vimos o exemplo em que era constru´ uma base com fun¸oes teste ψi que eram seccionala ıda c˜ mente lineares. Vejamos agora mais em detalhe como se poder´ passar a uma constru¸˜o para a ca duas ou mais dimens˜es analisando melhor o caso unidimensional. Vamos deﬁnir como elemento o base o segmento de referˆncia [0, 1]. e Fun¸oes de forma lineares. No elemento base [0, 1] deﬁnimos as fun¸˜es lineares p(x) = a+bx, c˜ co cuja base ´ dada pelo conjunto de fun¸˜es {1, x}. Cada polin´mio de primeiro grau ﬁca bem e co o deﬁnido pelos dois valores nos seus extremos, pelo que podemos deﬁnir uma nova base com duas fun¸˜es q1 (x) = 1 − x, q2 (x) = x, que tem a caracter´ co ıstica de veriﬁcar nos pontos z1 = 0, z2 = 1, a seguinte propriedade qi (zj ) = δij essas fun¸˜es q1 , q2 constituem ainda uma base do espa¸o de polin´mios lineares, para al´m co c o e disso, com uma simples tranforma¸ao de coordenadas, podemos deﬁnir as fun¸˜es base a partir c˜ co destas fun¸˜es. Basta fazer essa transforma¸˜o para cada um dos elementos Ek = [xk , xk + h], co ca em que xk = kh, com k = 0, ..., n − 1. Desta forma, querendo uma fun¸˜o base ψk associada ao ca ponto interno xk (com k = 1, ..., n − 1) escrevemos   p1 (x), se x ∈ Ek−1 , ψk (x) = p2 (x), se x ∈ Ek ,  0, caso contr´rio, a em que o p2 ´ obtido a partir de q2 por transforma¸˜o de coordenadas, Fk (x) = (x − xk )/h, e ca fazendo p2 (x) = q2 (Fk (x)) e da mesma forma, p1 (x) = q1 (Fk−1 (x)). Assim, conv´m salientar que o suporte das fun¸˜es e co teste est´ em dois elementos, Ek−1 e Ek , e n˜o apenas num deles. a a Fun¸oes de forma quadr´ticas. Nesse caso, temos de considerar em cada um dos elementos c˜ a fun¸˜es quadr´ticas. Levando de novo o problema para o elemento de referˆncia [0, 1], devemos co a e incluir um novo ponto, central, e ﬁcamos com 3 n´s, z1 = 0, z2 = 1 , z3 = 1. Agora trata-se o 2 de encontrar 3 polin´mios de segundo grau, q1 , q2 e q3 , de forma a que se veriﬁquem ainda as o 102 condi¸˜es de Lagrange qi (zj ) = δij . Para isso, basta resolver co      1 1 1 a11 a12 a13 1 0 0  0 1 1   a21 a22 a23  =  0 1 0  2 0 1 1 a31 a32 a33 0 0 1 4 e os valores aij d˜o os coeﬁcientes na base can´nica para o polin´mio do segundo grau. Obtemos a o o assim os polin´mios base o q1 (x) = 1 − 3x + 2x2 , q2 (x) = 4x(1 − x), q3 (x) = −x + 2x2 que podemos representar graﬁcamente na ﬁgura seguinte 1 08 . 06 . 04 . 02 . 02 04 06 08 . . . . 1 02 . 04 . 06 . 08 . 1 1 08 . 06 . 04 . 02 . 1 08 . 06 . 04 . 02 . 02 04 06 08 . . . . 1 Figura 5.1.1: As 3 fun¸oes de forma de Lagrange quadr´ticas, no elemento de referˆncia [0, 1]. c˜ a e Reparamos, no entanto, que a colagem entre a primeira e a ultima fun¸˜o ser´ acentuada ´ ca a 1 basta considerar os dois n´s da pois n˜o h´ colagem da derivada. Para obtermos elementos C a a o extremidade, com condi¸˜es nas derivadas. co Condi¸oes nas derivadas e fun¸oes de base c´bicas. Repetindo o procedimento anterior, c˜ c˜ u obtˆm-se 4 condi¸˜es, as duas condi¸˜es de Lagrange em q(0) e q(1), e as duas condi¸oes de e co co c˜ Hermite em q (0) e q (1). De forma a ter um sistema bem determinado precisamos de considerar fun¸˜es base c´bicas, q(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 . Por exemplo, as quatro condi¸˜es co u co q1 (0) = 1, q1 (1) = 0, q1 (0) = 0, q1 (1) = 0, d˜o-nos a fun¸˜o q1 (x) = 1 − 3x2 + 2x3 , representada na primeira ﬁgura em Fig.5.1.2. Da mesma a ca forma exigindo agora q2 (1) = 1, obtemos q2 (x) = 3x2 − 2x3 , representada na segunda ﬁgura. De forma semelhante, as condi¸˜es q3 (0) = 1 e q4 (1) = 1 levam aos polin´mios q3 (x) = x − 2x2 + x3 co o 2 + x3 , representados nas duas ultimas ﬁguras. A interpola¸˜o usando os valores e q4 (x) = −x ´ ca das derivadas ´ designada interpola¸ao de Hermite. e c˜ 1 08 . 06 . 04 . 02 . 02 04 06 08 1 . . . . 1 08 . 06 . 04 . 02 . 02 04 06 08 1 . . . . 1 02 04 06 08 1 . . . . 08 . 06 . 04 . 02 . 02 04 06 08 1 . . . . -. 02 -. 04 -. 06 -. 08 1 Figura 5.1.2: As 4 fun¸oes de forma de Hermite c´bicas, no elemento de referˆncia [0, 1]. c˜ u e 103 Compara¸ao entre fun¸oes base. De seguida apresentamos fun¸˜es base obtidas a partir das c˜ c˜ co fun¸˜es de forma deﬁnidas nos trˆs casos precedentes, o caso linear, quadr´tico e o caso c´bico co e a u com condi¸˜es nas derivadas. Considere-se o intervalo I = [0, 2] com dois elementos E1 = [0, 1] co e E2 = [1, 2]. No caso linear, uma fun¸˜o base ´ representada na primeira ﬁgura em Fig.5.1.3. e resulta ca e da colagem de fun¸˜es de forma em E1 e E2 . Se assumirmos que as condi¸˜es no extremo do co co intervalo s˜o nulas, esta ser´ a unica fun¸˜o base ψ1 . a a ´ ca No caso Lagrange quadr´tico, em cada um dos elementos E1 e E2 consideramos n´s internos, a o em x = 0.5 ∈ E1 e em x = 1.5 ∈ E2 . Assumindo que as condi¸˜es nos extremos de I s˜o nulas, co a h´ agora 3 fun¸˜es base (ver a ﬁgura central em Fig.5.1.3). Uma delas, ψ1 , resulta da colagem de a co fun¸˜es de forma em E1 e E2 , .as outras duas, ψ2 , ψ3 (representadas a tracejado), s˜o as fun¸˜es co a co de forma para os n´s internos. o No caso Hermite c´bico, em cada um dos elementos E1 e E2 n˜o h´ n´s internos, no entanto u a a o h´ fun¸˜es base que correspondem `s condi¸˜es de Lagrange e outras `s condi¸˜es de Hermite. a co a co a co Assumindo que as condi¸˜es nos extremos de I s˜o nulas, e tamb´m que a derivada ´ nula nesses co a e e extremos, h´ 2 fun¸˜es base (ver a ultima ﬁgura em Fig.5.1.3). Ambas resultam da colagem de a co ´ fun¸˜es de forma em E1 e E2 , .uma, que designamos por ψ1 , resulta de ligar as fun¸˜es q1 e q2 co co correspondentes `s condi¸˜es de Lagrange de forma a que fun¸˜o seja nula nos extremos, tome o a co ca valor 1 na liga¸˜o, e tenha a derivada nula nos extremos e na liga¸˜o. A outra, ψ2 , representada ca ca a tracejado, liga as fun¸˜es q3 e q4 correspondentes `s condi¸˜es de Hermite, de forma a que a co a co fun¸˜o seja nula nos extremos e na liga¸˜o, tenha derivada nula nos extremos e derivada igual ca ca ´ claro que no caso em que as condi¸˜es sobre a fronteira n˜o s˜o nulas, o uso a 1 na liga¸˜o. E ca co a a destas fun¸˜es de forma requer n˜o s´ o conhecimento do valor da fun¸˜o nos extremos mas co a o ca tamb´m da derivada. Por exemplo, condi¸˜es no extremo 0 de I implicam a utiliza¸˜o de duas e co ca fun¸˜es base adicionais, que s˜o as fun¸˜es de forma q1 e q3 . co a co 1 08 . 06 . 04 . 02 . 05 . 05 . 1 15 . 2 1 15 . 2 05 . 1 15 . 2 1 08 . 06 . 04 . 02 . 1 08 . 06 . 04 . 02 . Figura 5.1.3: Fun¸oes de base para elementos de Lagrange lineares (primeira ﬁgura), elec˜ mentos de Lagrange quadr´ticos (ﬁgura central) e elementos de Hermite c´bicos (´ltima ﬁgura). a u u Exemplo. Consideremos a aproxima¸˜o da fun¸˜o f (x) = −2 sin( π x) no intervalo [0, 2]. ca ca 2 Note-se que esta fun¸˜o nos extremos ´ nula, mas n˜o tem derivada nula. Esta fun¸˜o ser´ ca e a ca a ˜ aproximada por f = f (1)ψ1 = −2ψ1 no caso √ Lagrange linear (Fig.5.1.4, ` esquerda), por a √ ˜ f = f (1)ψ1 + f (0.5)ψ2 + f (1.5)ψ3 = −2ψ1 − 2ψ2 − 2ψ3 , no caso Lagrange quadr´tico a (Fig.5.1.4, central). No caso Hermite c´bico h´ um problema se considerarmos a aproxima¸˜o u a ca ˜ apenas com os n´ liga¸˜o, pois ﬁcamos com f = f (1)ψ1 + f (1)ψ2 = −2ψ1 , o que ´ uma m´ o ca e a aproxima¸˜o (conforme se pode ver na Fig.5.1.4 ` direita), j´ que pressup˜e que a fun¸˜o teria ca a a o ca derivadas nulas nos extremos, o que n˜o acontece. a 104 05 . -. 05 1 15 . 2 -. 05 05 . 1 15 . 2 -. 05 05 . 1 15 . 2 1 1 1 -. 15 -. 15 -. 15 2 2 2 Figura 5.1.4: Aproxima¸ao de f (gr´ﬁco pontilhado) usando elementos de Lagrange lineares c˜ a e quadr´ticos (duas primeiras ﬁguras). Na terceira ﬁgura considera-se uma m´ aproxima¸ao com a a c˜ elementos de Hermite c´bicos em que n˜o se teve em conta o valor da derivada na fronteira. O u a erro ´ inferior a 0.05 no caso dos elementos de Lagrange quadr´ticos e apenas menor que 0.5 e a para os outros dois. Para efectuarmos uma aproxima¸˜o correcta da fun¸˜o com elementos de Hermite devemos ca ca considerar duas novas fun¸˜es base, ψ3 e ψ4 , dadas pelas fun¸˜es de forma q3 e q4 , representadas co co nas duas primeiras ﬁguras de Fig.5.1.5 ﬁcando com ˜ f = f (1)ψ1 + f (1)ψ2 + f (0)ψ3 + f (2)ψ4 = −2ψ1 − πψ3 + πψ4 , e podemos constatar que esta aproxima¸˜o, apresentada na terceira ﬁgura de Fig.5.1.5 ´ exceca e lente, tendo-se obtido um erro inferior a 0.025. 05 . 05 . 04 . 03 . 02 . 01 . -. 01 1 15 . 2 05 . -. 05 1 15 . 2 -. 02 1 -. 03 -. 15 -. 04 -. 05 2 05 . 1 15 . 2 Figura 5.1.5: Aproxima¸ao correcta obtida com elementos de Hermite c´bicos (´ltima ﬁgura), c˜ u u usando as duas fun¸oes base ψ3 e ψ4 (apresentadas nas duas primeiras ﬁguras). c˜ Estas aproxima¸˜es por elementos ﬁnitos, que no caso unidimensional equivalem ` interco a pola¸˜o usando splines, ir˜o ser agora transportadas para o caso bidimensional, sendo depois ca a intuitiva a generaliza¸˜o ao caso tridimensional. ca 5.2 Discretiza¸˜o geom´trica (malhagem) ca e Um processo de deﬁnir espa¸os Vh consiste em aproximar o dom´ c ınio por um dom´ poligonal ınio ˜ e dividir o dom´ ˜ em pequenos subdom´ ınio ınios (pol´ ıgonos (em 2D) ou poliedros (em 3D)), de 105 forma a que o seu diˆmetro seja ≤ h. Este processo designa-se por malhagem (ou por triangula¸ao a c˜ j´ que o uso de triˆngulos ´ o mais vulgar). a a e No caso unidimensional, os dom´ ınios s˜o intervalos e a divis˜o de um intervalo em pequenos a a elementos ´ trivial, consistindo na simples separa¸˜o em subintervalos, como j´ vimos. Esses e ca a subintervalos constituem o suporte geom´trico que permite efectuar a discretiza¸˜o geom´trica e ca e no caso unidimensional, que ´ trivial. Menos trivial ser´ proceder ` divis˜o do dom´ e a a a ınio para dimens˜es superiores. No entanto conv´m ainda referir que nesses subintervalos podem n˜o o e a estar apenas deﬁnidos os n´s das extremidades, como no caso quadr´tico apresentado na sec¸˜o o a ca anterior em que estava deﬁnido um n´ interno. o Normalmente, os subdom´ ınios deﬁnidos na divis˜o s˜o designados elementos ﬁnitos, mas a a esta no¸˜o inicial de elemento ﬁnito ´ apenas de cariz geom´trico, e ser´ completada com uma ca e e a deﬁni¸˜o que associa ao elemento geom´trico um espa¸o de fun¸˜es e n´s. Uma triangula¸˜o T ca e c co o ca ´ o conjunto dos elementos ﬁnitos deﬁnidos nessa divis˜o. e a Figura 5.2.1: Duas poss´ ıveis triangula¸oes para um mesmo dom´ c˜ ınio. A triangula¸ao da c˜ esquerda ´ mais grosseira, e h´ apenas 3 n´s internos e o diˆmetro dos elementos ´ maior que na triangula¸ao da direita a o a e c˜ (que ´ dita mais ﬁna). e A aproxima¸˜o por elementos ﬁnitos depende do parˆmetro h que ´ deﬁnido pelo diˆmetro. ca a e a Para um certo elemento ﬁnito E (triˆngulo, quadril´tero ou outro) teremos a a hE = diˆmetro(E) = max |x − y|. a x,y∈E O valor de h ´ dado pelo maior diˆmetro dos elementos ﬁnitos existentes na triangula¸˜o e a ca h = max(hE ). E∈T Normalmente indexa-se o ´ ındice h ` triangula¸˜o, escrevendo-se Th . a ca H´ algumas condi¸oes de compatibilidade a veriﬁcar (caso bidimensional): a c˜ (i) Sendo E1 e E2 dois elementos, ent˜o a intersec¸˜o ∂E1 ∩ ∂E2 poder´ ser: a ca a (a) — vazia, ou (b) — reduzir-se a um ponto (n´ comum), ou o (c) — reduzir-se a uma aresta comum. 106 Sendo ξ um n´ (v´rtice) de E1 , a intersec¸˜o ξ ∩ E2 n˜o sendo vazia, ter´ sempre que ser o e ca a a um n´ (v´rtice) de E2 . o e Figura 5.2.2: Casos de incompatibilidade dos elementos ﬁnitos. (ii) Os elementos n˜o podem degenerar. Conv´m mesmo que os elementos satisfa¸am uma a e c rela¸˜o m´ ca ınima entre uma bola interior e uma bola exterior. Ou seja, consideremos a maior bola Bi ⊆ E com raio ρE e a menor bola Be ⊇ E com raio rE . Devemos tentar evitar que a raz˜o a rE seja muito alta. No caso de triˆngulos, devemos evitar que seja muito superior a 2 (que ´ a a e ρE situa¸˜o que se veriﬁca para um triˆngulo equil´tero), e no caso de quadril´teros devemos evitar ca a a a √ e ca que seja muito superior a 2 (que ´ a situa¸˜o que se veriﬁca para um quadrado). Iremos utilizar um parˆmetro semelhante, denominado parˆmetro de degenerescˆncia do a a e elemento, hE χE = ρE √ que n˜o deve ser muito alto. No caso dos triˆngulos este valor deve ser pr´ximo de 2 3 (valor a a o que se obt´m para um triˆngulo equil´tero). e a a hE ρE Figura 5.2.3: As quantidades ρE e hE no caso de um triˆngulo. A raz˜o χE = a a a menor poss´vel, o que acontece para triˆngulos equil´teros. ı a a hE ρE deve ser Observa¸˜o: Um processo simples de avaliar a degenerescˆncia de um triˆngulo consiste ca e a em avaliar a rela¸˜o entre o comprimento do lado maior h e a sua altura α (tomando esse lado ca como base). Considerando um triˆngulo E = {a, b, c}, a sua ´rea ´ dada por A = 1 αh, e por a a e 2 1 outro lado A = 2 det(b − a, c − a). Assim, podemos obter α = det(b − a, c − a)/h. Sabendo que no caso de um triˆngulo equil´tero α2 + (h/2)2 = h2 , temos a a h ( 1 α) 2 4 =√ , 3 e considerando a aproxima¸˜o 2 α ∼ ρ devemos procurar que o factor ca 1 χ= ˜ 2h2 det(b − a, c − a) 107 4 ´ seja o mais baixo poss´ ıvel, pr´ximo de √3 . E bem claro que para um valor de h ﬁxo, obter o χ grande signiﬁca que o valor do determinante ´ muito baixo, o que signiﬁca que os vectores ˜ e deﬁnidos pelos lados s˜o quase dependentes e o triˆngulo ´ degenerado. a a e 5.2.1 Constru¸˜o da Triangula¸˜o ca ca Um dos processos mais frequentes de construir uma triangula¸˜o consiste em deﬁnir um certo ca n´mero ﬁnito de pontos na fronteira do dom´ u ınio e um n´mero de pontos bastante maior no u interior. A partir desses pontos (que podem ser obtidos aleatoriamente) procede-se ` sua uni˜o a a por arestas de forma a obter triˆngulos. A automatiza¸˜o deste processo foi assunto de v´rias a ca a pesquisas e o detalhe envolvido sai fora do ˆmbito do curso. Apresentamos um processo simples a de proceder ` triangula¸˜o de um dom´ a ca ınio estrelado. • Triˆngula¸ao de um dom´ a c˜ ınio estrelado. Dada uma fun¸˜o r(t) que parametriza a curva ca exterior que deﬁne o dom´ ınio, come¸amos por considerar um n´mero ﬁnito de curvas interiores c u deﬁnidas por r(t)hk , para um n´mero ﬁnito de hk tais que 0 < h1 < ... < hm < 1. Considerando u um n´mero ﬁnito de pontos, igualmente espa¸ados (angularmente) em cada uma das curvas, u c podemos proceder ` triangula¸˜o unindo esses pontos. O n´mero de pontos existente em cada a ca u uma das curvas interiores deve variar de forma a que os triˆngulos n˜o degenerem. a a 3 2 1 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 Figura 5.2.4: Constru¸ao de uma triangula¸ao para um dom´ c˜ c˜ ınio estrelado a partir da parametriza¸ao da fronteira. c˜ Na ﬁgura 5.2.4 foi considerada uma duplica¸˜o do n´mero de pontos a partir da curva ca u mais interior. Mas essa duplica¸˜o de pontos deve terminar nas curvas exteriores, assim que a ca distˆncia entre os pontos da mesma curva for inferior ` distˆncia entre as curvas. Apresentamos a a a na ﬁgura da direita o resultado da triangula¸˜o, colocando em contraste a degenerescˆncia dos ca e triˆngulos (a branco os triˆngulos quase equil´teros, e a escuro os que apresentam uma maior a a a degenerescˆncia). e • Triangula¸ao de Delauney. Um processo que pode ser utilizado para construir uma trianc˜ gula¸˜o, ou para a melhorar, ´ atrav´s de uma triangula¸˜o de Delauney. A ideia baseia-se na ca e e ca deﬁni¸˜o de pol´gono de Vorono¨ e parte da existˆncia de uma lista de pontos internos p1 , ..., pN . ca ı ı, e Associado a cada ponto pk deﬁnimos um pol´ ıgono de Vorono¨ Vk que ´ deﬁnido como sendo o ı e 108 conjunto dos pontos que est˜o mais pr´ximo de pk do que de qualquer um dos outros p1 , ..., pN , a o ou seja, Vk = {x ∈ R2 : |x − pk | ≤ |x − pı |, ∀i = k}. A triangula¸˜o de Delauney ´ obtida por dualidade (no sentido da teoria de grafos) com os ca e pol´ ıgonos de Vorono¨ e consiste em unir os pontos pı correctos. Assim, {pı , pj } deﬁne uma ı aresta de um triˆngulo se Vı e Vj tˆm uma aresta comum, e {pı , pj , pk } deﬁnem um triˆngulo a e a se houver um ponto comum a Vı , Vj e Vk . A triangula¸˜o de Delauney ´ bastante usada pela ca e sua caracter´ ıstica seguinte: se tivermos quatro pontos {p1 , p2 , p3 , p4 } ent˜o podemos deﬁnir dois a pares de triˆngulos, cortando o quadril´tero pela diagonal {p1 , p3 } ou pela diagonal {p2 , p4 }. a a A triangula¸˜o de Delauney ´ a melhor destas duas (no sentido em que os ˆngulos s˜o menos ca e a a agudos): Figura 5.2.5: Dois processos para deﬁnir um par de triˆngulos a partir de 4 pontos. A a divis˜o feita na ﬁgura central (onde o c´rculo que inclui um triˆngulo, inclui o outro) ´ pior a ı a e que a da ﬁgura da direita (onde isso n˜o acontece). a 5.3 Elementos Finitos - Tripleto Como j´ referimos, deﬁnimos um elemento ﬁnito n˜o apenas como sendo um elemento geom´trico, a a e mas tamb´m associando-lhe um espa¸o de fun¸˜es e um conjunto de n´s que nos interessam para e c co o efeitos de interpola¸˜o. ca Deﬁni¸˜o 5.3.1 (Ciarlet). Chamamos elemento ﬁnito ao tripleto (E, P, N ), em que : ca i) E ´ o elemento geom´trico, um conjunto compacto de Rd com fronteira seccionalmente e e regular (normalmente triˆngulos ou quadril´teros em 2D, tetraedros ou prismas em 3D). a a ii) P =< φ1 , ..., φm > ´ um espa¸o de fun¸oes deﬁnidas em E que tem dimens˜o ﬁnita e c c˜ a (fun¸oes de forma). c˜ iii) N .= {ν1 , ..., νm } ´ uma base para o espa¸o dual de P (vari´veis nodais). e c a Introduzimos ainda a no¸˜o de triangula¸ao (nome abusivo, no caso de n˜o se tratarem de ca c˜ a triˆngulos), como sendo a fam´ dos elementos ﬁnitos deﬁnidos na discretiza¸˜o de . a ılia ca Deﬁni¸˜o 5.3.2 Designamos por triangula¸˜o uma fam´lia de elementos ﬁnitos ca ca ı Th = (E, PE , NE ) E⊆ ¯ em que o parˆmetro h ´ deﬁnido por h = max hE . a e 109 Iremos referir esta triangula¸˜o como sendo Th ou ca cretiza¸˜o do dom´ ca ınio . h, revelando que se trata de uma dis- A deﬁni¸˜o de Ciarlet ´ demasiado geral, e apenas nos vai interessar em certos casos concreca e tos. O espa¸o P ser´ o espa¸o que ir´ conter as fun¸˜es que permitem interpola¸˜o nos v´rios c a c a co ca a n´s. As vari´veis nodais correspondem, no caso dos elementos ﬁnitos mais simples (de Lagrange), o a aos n´s de interpola¸˜o. No caso de elementos mais complicados, em que se pretende interpolar o ca tamb´m derivadas, n˜o chega considerar apenas os n´s, j´ que num mesmo n´ condicionamos e a o a o n˜o apenas o valor da fun¸˜o, mas tamb´m o valor das suas derivadas. Aparece assim a no¸˜o a ca e ca de vari´veis nodais. a O espa¸o P dual de P ´ constitu´ por aplica¸˜es lineares ν que transformam fun¸˜es φ ∈ P c e ıdo co co em n´meros reais, designando-se normalmente por u ν(φ) = ν, φ . O espa¸o dual de um espa¸o de dimens˜o ﬁnita tem a mesma dimens˜o (e pode ser identiﬁcado c c a a com ele pr´prio), de forma que {ν1 , ..., νm } ´ uma base de P se veriﬁcarmos que s˜o linearmente o e a independentes. Ora, de α1 ν1 + ... + αm νm = 0, aplicando a cada elemento φj da base de P, retiramos α1 ν1 (φj ) + ... + αm νm (φj ) = 0, que deve implicar α1 = ... = αm = 0, para que haja independˆncia linear. Isto corresponde a e ver que a matriz M = [νi (φj )]ij tem determinante n˜o nulo. a Veriﬁcar esta ultima propriedade ´ mais f´cil... Basta compreender o que signiﬁca! ´ e a 5.3.1 Elementos de Lagrange Lineares Consideramos o elemento ﬁnito triangular deﬁnido pelos v´rtices do triˆngulo e a {x1 , x2 , x3 } = {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )} e por polin´mios de primeiro grau o p(x, y) = a0 + a1 x + a2 y, que s˜o deﬁnidos pela base φ1 (x, y) = 1, φ2 (x, y) = x, φ3 (x, y) = y, isto signiﬁca que, identiﬁa cando as vari´veis nodais {ν1 , ν2 , ν3 } `s aplica¸˜es a a co νi (φ) = φ(xi , yi ) devemos veriﬁcar que  φ1 (x1 , y1 ) φ2 (x1 , y1 ) φ3 (x1 , y1 ) det M = det  φ1 (x2 , y2 ) φ2 (x2 , y2 ) φ3 (x2 , y2 )  = φ1 (x, y3 ) φ3 (x3 ,3 ) φ3 (x3 , y3 ) y 3 1 x1 y1 = det  1 x2 y2  = 0, 1 x3 y3 110  efectuando os c´lculos, isto signiﬁca que a det x1 − x3 y1 − y3 x2 − x3 y2 − y3 = 0, tem apenas a solu¸˜o nula, o que ser´ necess´rio e suﬁciente para se proceder a uma interpola¸˜o ca a a ca por polin´mios de primeiro grau nos trˆs pontos do triˆngulo! Ou seja, basta ver que p(x1 ) = o e a 0, p(x2 ) = 0, p(x3 ) = 0 ⇒ p ≡ 0. ou seja, que o triˆngulo n˜o ´ degenerado (pois signiﬁca que os dois vectores, um deﬁnido pelos a a e pontos 1-3, e outro pelos pontos 2-3, s˜o linearmente independentes)! a Na realidade, aquilo que observ´mos foi que o sistema a   a0 + a1 x1 + a2 y1 = 0 a + a1 x2 + a2 y2 = 0  0 a0 + a1 x3 + a2 y3 = 0 5.3.2 Elementos de Lagrange Quadr´ticos a Consideramos o elemento ﬁnito triangular deﬁnido pelos v´rtices do triˆngulo {x1 , x2 , x3 }, pelos e a trˆs pontos m´dios dos lados {x4 , x5 , x6 } = {(x4 , y4 ), (x5 , y5 ), (x6 , y6 )} e por polin´mios do e e o segundo grau: p(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 xy + a4 x2 + a5 y2 que s˜o deﬁnidos pela base φ1 = 1, φ2 = x, φ3 = y, φ4 = xy, φ5 = x2 , φ6 = y 2 , isto signiﬁca que, a identiﬁcando as vari´veis nodais {ν1 , ν2 , ν3 , ν4 , ν5 , ν6 } `s aplica¸˜es a a co νi (φ) = φ(xi , yi ) teremos uma matriz M de dimens˜o 6 × 6. a Precisamos agora de ver que p(x1 ) = 0, ..., p(x6 ) = 0 ⇒ p ≡ 0. Para esse efeito iremos enunciar (mais abaixo) dois resultados sobre polin´mios que pero mitem concluir que (i) um polin´mio com duas vari´veis restringido a uma recta pode ainda o a ser representado por um polin´mio do mesmo grau mas com menos uma vari´vel e que (ii) o a um polin´mio com duas vari´veis que se anule numa recta pode ser representado como uma o a multiplica¸˜o de uma vari´vel por um polin´mio com um grau inferior, atrav´s de mudan¸a de ca a o e c coordenadas apropriada. Isto permite concluir que como num dos lados do triˆngulo p ´ um polin´mio de grau 2 que a e o se anula em trˆs pontos, ent˜o p ´ nulo nesse lado. Aplicando agora o resultado (ii) (ie. o lema e a e seguinte), sabemos que p(x) = x2 q(˜) em que q tem grau 1. Como p se anula nos restantes 3 ˜ x pontos, que n˜o s˜o colineares, temos q = 0. a a 111 Alguns resultados sobre polin´mios o Deﬁni¸˜o 5.3.3 A propriedade p(x1 ) = 0, ..., p(xm ) = 0 ⇒ p ≡ 0 para um polin´mio de grau ca o m designa-se unissolvˆncia. e Proposi¸˜o 5.3.1 Se p tem grau r em d vari´veis ent˜o num hiperplano H (no caso 2D, numa ca a a recta) ´ poss´vel estabelecer uma mudan¸a de coordenadas de forma a que a restri¸ao de p a H e ı c c˜ seja um polin´mio de grau r em d − 1 vari´veis. o a Demonstra¸˜o: A equa¸˜o que deﬁne o hiperplano ser´ da forma α1 x1 + ... + αd xd = α0 , ca ca a 1 permitindo escrever uma das componentes em fun¸˜o das restantes, digamos x1 = α1 (α0 − ca 1 α2 x2 − ... − αd xd ). Isso leva ` substitui¸˜o das potˆncias xm por ( α1 (α0 − α2 x2 − ... − αd xd ))m o a ca e 1 que resulta em mon´mios de grau menor ou igual a m, n˜o afectando assim o grau do polin´mio. o a o Lema 5.3.1 Se p tem grau r e se anula num hiperplano, ent˜o podemos fazer uma mudan¸a a c de coordenadas de forma a que p(x) = xd q(˜) em que q tem grau r − 1. ˜ x Demonstra¸˜o: Consideremos o caso em que o hiperplano ´ xd = 0, os outros casos ca e reduzem-se a este por transforma¸˜o de coordenadas. Vemos tamb´m apenas o caso mais simples ca e x = (x1 , x2 ), j´ que nos restantes apenas se complica a nota¸˜o. Temos a ca i+j=r i=r i=r i=r p(x1 , x2 ) = i+j=0 αij xi xj = 1 2 i=0 αi0 xi + x2 1 i=0 j=1 αij xi xj−1 , 1 2 (5.1) e como neste caso o hiperplano ser´ x2 = 0, resulta a i=r 0 = p(x1 , 0) = i=0 αi0 xi , 1 anulando a primeira parcela de (5.1). Como a segunda parcela cont´m a decomposi¸˜o pree ca tendida, o resultado ﬁca provado. 5.3.3 Outros elementos ﬁnitos Elementos ﬁnitos c´bicos u • Elemento de Lagrange C´bico. Consideramos o elemento ﬁnito triangular deﬁnido pelos u v´rtices do triˆngulo {x1 , x2 , x3 }, por dois pontos igualmente espa¸ados em cada um dos lae a c dos, ou seja 6 pontos {x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 } situados no interior dos lados e pelo ponto m´dio no e interior do triˆngulo, x10 . Como fun¸˜es de forma consideram-se polin´mios do terceiro grau. a co o 112 Exerc´ ıcio. Mostre a propriedade de unissolvˆncia. e Elemento de Lagrange Linear (3 nós, polinómios do 1º grau) Elemento de Lagrange Quadrático (6 nós, polinómios do 2º grau) Elemento de Lagrange Cúbico (10 nós, polinómios do 3º grau) Figura 5.3.1: Coloca¸ao dos n´s em alguns elementos de Lagrange (lineares, quadr´ticos e c˜ o a c´bicos). u • Elemento de Hermite C´bico. Consideramos o elemento ﬁnito triangular deﬁnido pelos u v´rtices do triˆngulo {x1 , x2 , x3 } = {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )}, por um ponto m´dio no interior e a e do triˆngulo x4 = (x4 , y4 ), e por polin´mios do terceiro grau: a o p(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 xy + ... + a8 x3 + a9 y 3 que s˜o deﬁnidos pela base φ1 = 1, φ2 = x, φ3 = y, ..., φ9 = x3 , φ10 = y 3 . Agora, como o n´mero a u de n´s (4) ´ diferente do n´mero de graus de liberdade no polin´mio (10), as 10 vari´veis nodais o e u o a {v1 , ..., v10 } incluem condi¸˜es sobre as derivadas co νı (φ) = φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3, 4 νi+4 (φ) = ∂x φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3 νi+7 (φ) = ∂y φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3 e teremos uma matriz M de dimens˜o 10 × 10. a Agora, como num dos lados do triˆngulo p ´ um polin´mio de grau 3 com uma unica vari´vel a e o ´ a (pela proposi¸˜o anterior) que se anula em 2 pontos, digamos x2 e x3 , que s˜o ra´ ca a ızes duplas, pois as derivadas tamb´m s˜o nulas, ent˜o corresponde a 4 ra´ e a a ızes para um polin´mio de grau o 3, ou seja, tem que ser nulo nesse lado [x2 , x3 ], logo pelo lema, p(x) = x2 q(˜). Agora q(˜) ´ ˜ x x e um polin´mio de grau 2 no lado [x1 , x2 ], nulo em x1 com derivada nula em x1 e em x2 (pode o n˜o ser nulo em x2 j´ que essa condi¸˜o ´ veriﬁcada por p(x) = x2 q(˜), quando x2 = 0). Isto a a ca e ˜ x ˜ signiﬁca que a derivada (um polin´mio de grau 1, nulo em dois pontos) ´ nula, e como ´ nulo o e e em x1 , temos q nulo no lado [x1 , x2 ], e pelo lema 2 podemos escrever q(˜) = x∗ q ∗ (˜∗ ) em que x ˜1 x q ∗ ´ um polin´mio de grau 1. Como a derivada de q∗ ´ nula no segmento [x1 , x3 ] apenas poder´ e o e a ∗ = 0. ser uma constante. Do facto que se anula em x4 resulta q Elemento de Hermite Cúbico (4 nós, polinómios do 3º grau) Há 10 variáveis nodais, correspondentes a 4 condições nos pontos e 6 (3 vezes 2) condições nas derivadas. Elemento de Hermite de 4º grau (9 nós, polinómios do 4º grau) Há 15 variáveis nodais, correspondentes a 9 condições nos pontos e 6 (3 vezes 2) condições nas derivadas. 113 Figura 5.3.2: Elementos de Hermite com grau 3 e grau 4. O c´ ırculo que rodeia o n´ signiﬁca o que se considera interpola¸ao nas derivadas. c˜ E2 E1 E4 Figura 5.3.3: Apresenta¸ao de uma das dez fun¸oes base deﬁnidas no elemento de Hermite c˜ c˜ c´bico. Nesta ﬁgura ´ apresentada a fun¸ao correspondente a vari´vel nodal de coloca¸ao central. u e c˜ ` a c˜ A mesma fun¸ao foi colocada em quatro elementos diferentes E1 , E2 , E3 e E4 . c˜ E3 Figura 5.3.4: Continua¸ao da ﬁgura anterior. Apresenta¸ao das fun¸˜es base corresponc˜ c˜ co dentes as vari´veis nodais de coloca¸ao nos v´rtices indicados. ` a c˜ e Figura 5.3.5: Continua¸ao da ﬁgura anterior. Apresenta¸ao das fun¸˜es base corresponc˜ c˜ co 114 dentes as vari´veis nodais relativas a uma das derivadas nos v´rtices indicados. ` a e Figura 5.3.6: Continua¸ao da ﬁgura anterior. Apresenta¸ao das fun¸˜es base corresponc˜ c˜ co dentes as vari´veis nodais relativas a outra derivada nos v´rtices indicados. ` a ` e Elementos ﬁnitos C 1 • Elemento de Argyris (grau 5). Consideramos o elemento ﬁnito triangular deﬁnido pelos v´rtices do triˆngulo {x1 , x2 , x3 } = e a {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )} considerando polin´mios de grau 5, o p(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 xy + ... + a19 x5 + a20 y 5 em que se incluem, para al´m de condi¸˜es sobre os v´rtices, tamb´m sobre as normais, e co e e νı (φ) = φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3, νi+3 (φ) = ∂x φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3 νi+6 (φ) = ∂y φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3 2 νi+9 (φ) = ∂x φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3 2 νi+12 (φ) = ∂y φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3 νi+15 (φ) = ∂y ∂x φ(xı , yı ), se i = 1, 2, 3 νi+18 (φ) = ∂nı φ(x, y), se i = 1, 2, 3 as ultimas condi¸˜es sobre as derivadas normais s˜o impostas sobre os 3 lados do triˆngulo. ´ co a a Este elemento tem a particularidade de permitir a diferenciabilidade quando se unem os v´rios a elementos (coisa que n˜o acontecia nos anteriores), que ´ obtida ao impor estas trˆs condi¸˜es. a e e co N˜o ´ poss´ obter diferenciabilidade para a uni˜o de elementos com polin´mios grau inferior a e ıvel a o a 5... pode no entanto considerar-se fun¸˜es seccionalmente polinomiais no interior do triˆngulo co a (dividido em trˆs partes) e assim com fun¸˜es de forma C 1 que s˜o seccionalmente polin´mios de e co a o terceiro grau ´ poss´ obter uma colagem C 1 atrav´s do designado elemento de Clough-Tocher. e ıvel e 115 Elementos C1 (diferenciáveis) Elemento de Argyris de 5º grau (4 nós e 3 normais, polinómios do 5º grau) Há 21 variáveis nodais, correspondentes a 3 condições nos pontos e 6 (3 vezes 2) condições nas derivadas, 9 (3 vezes 3) nas segundas derivadas e 3 nas derivadas normais Elemento de Clough-Tocher (3 nós, 3 normais, as funções de forma são seccionalmente, em cada subtriângulo, polinómios do 3º grau, diferenciáveis) Há 12 variáveis nodais, correspondentes a 3 condições nos pontos, 6 (3 vezes 2) condições nas derivadas e 3 nas derivadas normais. Figura 5.3.7: Exemplos de elementos ﬁnitos diferenci´veis. a Note-se que ao impˆr as condi¸oes sobre as segundas derivadas, garantimos que em cada o c˜ um dos lados os polin´mios de graus 5 tenham duas ra´ triplas, o que implica que se anulem o ızes nesses lados. Seguindo o lema, descemos assim de grau 5 para grau 4, depois para grau 3 e ﬁcamos com um polin´mio de grau 2. Sobram 6 condi¸˜es, que s˜o determinadas por derivadas o co a cruzadas nos 3 pontos e pelas trˆs condi¸˜es nas derivadas normais. e co Para informa¸˜o complementar consultar p.ex. [3]. ca Elementos ﬁnitos rectangulares ˆ Consideremos como elemento de referˆncia o quadrado E = [0, 1]2 . J´ referimos que uma transe a ˆ forma¸˜o aﬁm F : E → E transforma rectas paralelas em rectas paralelas, pelo que os elementos ca E ser˜o for¸osamente paralelogramos. Por abuso de linguagem, s˜o designados elementos ﬁnia c a tos rectangulares, mas na realidade tratam-se de paralelogramos. Como j´ foi referido na sec¸˜o a ca anterior n˜o se deve considerar uma malhagem com quadril´teros quaisquer (pois F n˜o poderia a a a ser uma aplica¸˜o aﬁm), mas apenas com paralelogramos. ca Quando se considera elementos ﬁnitos deﬁnidos atrav´s do quadrado de referˆncia passamos a e e considerar o grau m´ximo do polin´mio por componentes, ao contr´rio do que se considerava no a o a caso dos triˆngulos. Ou seja, dado um mon´mio xα , dizemos que ele tem grau |α| = α1 + ... + αd a o o que corresponde a somar o grau das componentes, e diremos que ele tem grau m´ximo igual a a |α|∞ = max{α1 , ..., αd }, o que corresponde ao m´ximo grau nas componentes. Assim, deﬁnimos a Qm = {p : p tem grau m´ximo m}, a que ´ um conjunto que cont´m Pm . Por exemplo, o polin´mio quadr´tico a0 + a1 x + a2 y + a3 xy e e o a ´ um polin´mio de grau m´ximo 1. e o a O conjunto de polin´mios Qm ´ mais adequado para trabalhar com os elementos ﬁnitos o e deﬁnidos por paralelogramos. Com efeito, basta pensar que queremos considerar como vari´veis a nodais os valores da fun¸˜o deﬁnidos nos 4 v´rtices do quadrado de referˆncia. Nesse caso ca e e ﬁcamos com 4 graus de liberdade que podem ser atribu´ ıdos aos 4 coeﬁcientes de um polin´mio o 116 de grau m´ximo 1. A propriedade de unissolvˆncia ´ facilmente demonstrada para elementos a e e com (m + 1)2 n´s usando polin´mios de Qm . Apresentamos alguns exemplos na ﬁgura seguinte. o o Figura 5.3.8: Elementos de Lagrange para o quadrado de referˆncia. e Observa¸˜o: Vemos que no ultimo elemento apresentado (com 9 n´s) h´ um n´ interno que ca ´ o a o poder´ n˜o ser considerado se trabalharmos com um outro tipo de elementos, em que todos os n´s a a o s˜o colocados sobre a fronteira do quadrado, tratam-se dos denominados elementos serendipity. a N˜o considerando esse n´ central, ﬁcamos com 8 n´s, o que n˜o ´ adequado nem para o espa¸o a o o a e c P2 , que tem 6 graus de liberdade, nem para o espa¸o Q2 que tem 9. Precisamos de um outro c espa¸o de polin´mios Q∗ = {p(x) + ax2 x2 + bx1 x2 : p ∈ P2 }, onde ser´ poss´ c o a ıvel mostrar a 2 1 2 unissolvˆncia. Os elementos serendipity est˜o assim associados a espa¸os de polin´mios Q∗ e a c o m deﬁnidos de forma semelhante. Caso tridimensional No caso tridimensional h´ uma generaliza¸˜o imediata destas no¸˜es, mas o c´lculo torna-se a ca co a obviamente mais pesado. No caso bidimensional tinhamos 1 dim Pm = (m + 1)(m + 2), 2 o correspondia ` sequˆncia 1, 3, 6, 10, ... de graus de liberdade dispon´ a e ıveis para os diferentes graus de polin´mios, e que correspondia ao n´mero de n´s utilizado nos elementos de Lagrange. No o u o caso tridimensional, passamos a ter 1 dim Pm = (m + 1)(m + 2)(m + 3), 6 e os polin´mios de grau m implicam um maior n´mero de graus de liberdade o u m Base Graus de liberdade 0 1 1 1 1, x, y, z 4 2 , y2 , z2 2 1, x, y, z, xy, xz, yz, x 10 3 1, x, y, z, ..., x3 , y 3 , z 3 20 Note-se que, de um modo geral, em dimens˜o d temos dim Pm = a (m+d)! m!d! . Elementos simpliciais. O simplex em dimens˜o 2 ´ o triˆngulo e em dimens˜o 3 ´ o tetraea e a a e dro. De forma semelhante, iremos considerar tetraedros como elementos geom´tricos, colocando e 117 vari´veis nodais associadas aos v´rtices para o caso do elemento de Lagrange linear, j´ que os a e a quatro v´rtices do tetraedro condicionam os 4 graus de liberdade de um polin´mio de primeiro e o grau, etc. Elementos paralelotopos. O paralelotopo em dimens˜o 2 ´ o paralelogramo e em dimens˜o a e a 3 ´ o paralelip´ e ıpedo. Mais uma vez devemos considerar neste caso o espa¸o dos polin´mios Qm c o que ter´ dimens˜o (m + 1)3 no caso tridimensional e (m + 1)d no caso geral. A coloca¸˜o dos n´s a a ca o para os elementos de Lagrange ´ uma imediata generaliza¸ao do que ´ feito a duas dimens˜es. e c˜ e o 5.3.4 Elementos equivalentes aﬁns Pode estabelecer-se uma rela¸˜o de equivalˆncia entre elementos ﬁnitos semelhantes, que diferem ca e apenas por uma transforma¸˜o aﬁm. Esta no¸˜o ´ importante porque permite transportar os ca ca e c´lculos para um elemento de referˆncia. a e ˆ Deﬁni¸˜o 5.3.4 Dois elementos ﬁnitos (E, P, N ) e (E, P, N ) dizem-se equivalentes aﬁns se ca existir uma aplica¸ao aﬁm c˜ ˆ F : E −→ E x ˆ −→ Aˆ + b x (em que A ´ uma matriz invert´ e b um vector qualquer) tal que: e ıvel ˆ i) F (E) = E, ˆ ou seja, F transforma o elemento E em E, tratando-se de uma correspondˆncia geom´trica. e e 1 φ ∈ P : φ ◦ F = φ, ˆ ii) P = P(F ), i.e. ∀φ ∈ P, ∃ ˆ ˆ ou seja, as fun¸oes de forma de E s˜o as mesmas que as de E, em pontos correspondentes, j´ c˜ a a ˆ x). que φ(F (ˆ)) = φ(ˆ x iii) N (P(F )) = N (P), i.e. ∀ν ∈ N , ∃1 ν ∈ N : ν (φ ◦ F ) = ν(φ), ∀φ ∈ P, ˆ ˆ ou seja, as vari´veis nodais νi veriﬁcam, por exemplo, no caso de elementos de Lagrange: a νi (φ ◦ F ) = φ(F (ˆi )) = φ(xi ) = νi (φ), ˆ x estabelecendo-se uma rela¸ao entre os xı (n´s de interpola¸ao em E) e os xı (n´s de interpola¸ao c˜ o c˜ ˆ o c˜ ˆ em E) atrav´s de xı = F (xı ). e ˆ Observa¸oes: c˜ i) Esta rela¸˜o entre os elementos ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia. Note-se que como a transca e ca e −1 ) = P, e por isso temos tamb´m N (P) = N (P(F −1 )), forma¸˜o ´ invert´ ca e ıvel, temos P(F e substituindo em iii). ˆ ii) Se a propriedade de unissolvˆncia for veriﬁcada para um elemento E ent˜o ela tamb´m e a e ser´ veriﬁcada nos elementos equivalentes aﬁns E. Isto simpliﬁca o processo de veriﬁcar a unisa solvˆncia, transportando o problema para um elemento de referˆncia onde seja mais simples a e e veriﬁca¸˜o. ca ´ iii) E sempre poss´ escolher n´s apropriados de tal forma que os elementos de Lagrange ıvel o de um certo grau sejam equivalentes. ˆ iv) De notar que, partindo do triˆngulo de referˆncia E deﬁnido por {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}, a e e a ca a constru¸˜o de F ´ bastante f´cil numa triangula¸˜o. Com efeito, basta tomar um ponto do ca e triˆngulo, digamos x1 , e nesse caso A ´ a matriz que tem como linhas x2 − x1 e x3 − x1 sendo a 118 b o vector x1 . Desta forma ao ponto (1, 0) do triˆngulo de referˆncia corresponde x2 e ao ponto a e (0, 1) corresponder´ x3 , obviamente ao ponto (0, 0) corresponder´ x1 . a a v) Note-se que para elementos ﬁnitos que sejam quadril´teros quaisquer n˜o ´ poss´ a a e ıvel estabelecer uma transforma¸˜o linear que transforme um no outro, basta ver como exemplo, o ca ˆ quadrado de referˆncia E = [0, 1]2 que n˜o ´ poss´ e a e ıvel transformar no quadril´tero de v´rtices a e {(0, 0), (0, 1), (2, 2), (1, 0)}. O problema resulta de haver 8 equa¸˜es (4 pontos vezes 2 coordeco nadas) para 6 inc´gnitas (4 coeﬁcientes da matriz A e 2 para o vector b). Com efeito, o quadrado o apenas ser´ transformado em paralelogramos, o que ´ f´cil de compreender j´ que a ‘linearidade’ a e a a 1. da transforma¸˜o faz com que rectas paralelas continuem paralelas ca 5.4 5.4.1 Interpola¸˜o Local e Global ca Interpola¸˜o local ca Consideremos um elemento ﬁnito (E, P, N ) como deﬁnido no par´grafo anterior. Deﬁnimos o a operador de interpola¸˜o local ΠE como sendo a aplica¸˜o ca ca m ΠE : w −→ νi (w)φi , i=1 em que {φ1 , ..., φm } ´ a base dual de {ν1 , ..., νm }, tendo-se assim e νi (φj ) = δij . Esta condi¸˜o signiﬁca, no caso de elementos de Lagrange, que ca φj (xi ) = δij = 0 se i = j 1 se i = j A regularidade exigida a w depende do tipo de elemento ﬁnito que se considera. Assim, para elementos ﬁnitos de Lagrange, exige-se apenas que a fun¸˜o esteja deﬁnida nos pontos de ca interpola¸˜o deﬁnidos pelo elemento. J´ no caso de elementos de Hermite ´ exigido pelo menos ca a e que a fun¸˜o seja diferenci´vel, e no caso dos elementos de Argyris que seja bidiferenci´vel. ca a a Proposi¸˜o 5.4.1 O operador ΠE ´ uma projec¸ao, pois ´ linear e idempotente (i.e. ΠE (ΠE w) = ca e c˜ e ΠE w). Demonstra¸˜o: A idempotˆncia resulta da linearidade de ν, pois como ca e m m m ΠE ( i=1 νi (w)φi ) = j=1 m νj ( i=1 νi (w)φi )φj , m temos νj ( m νi (w)φi ) = i=1 i=1 νi (w)νj (φi ) = i=1 νi (w)δij = νj (w). Atrav´s de uma transforma¸ao do tipo F (x, y) = (a0 + a1 x + a2 y + a3 xy, b0 + b1 x + b2 y + b3 xy) j´ teremos e c˜ a 8 equa¸oes para 8 inc´gnitas e o problema pode ser contornado... mas a aplica¸ao deixa de ser aﬁm, perdendo-se c˜ o c˜ as propriedades da ‘linearidade’ da transforma¸ao! c˜ 1 119 Interpola¸˜o nos Elementos de Lagrange Lineares ca No caso mais simples, de elementos de Lagrange lineares, temos ΠE w = ν1 (w)φ1 + ν2 (w)φ2 + ν3 (w)φ3 e portanto (ΠE w)(x) = w(x1 )φ1 (x) + w(x2 )φ2 (x) + w(x3 )φ3 (x). em que φj (xi ) = δij . Esta possibilidade de escrever qualquer fun¸˜o num triˆngulo atrav´s destas fun¸˜es base ca a e co lineares φj designa-as como coordenadas baricˆntricas, j´ que se considerarmos w1 (x, y) = e a x, w2 (x, y) = y, fun¸˜es que deﬁnem a identidade, ﬁcamos com co x = x1 φ1 (x) + x2 φ2 (x) + x3 φ3 (x), em que φ1 (x) = area{x2 , x3 , x} area{x1 , x3 , x} area{x1 , x2 , x} , φ2 (x) = , φ3 (x) = , area{x1 , x2 , x3 } area{x1 , x2 , x3 } area{x1 , x2 , x3 } usando a nota¸˜o area{x1 , x2 , x3 } para designar a ´rea do triˆngulo formado pelos pontos ca a a {x1 , x2 , x3 }. ˆ No caso de considerarmos o triˆngulo de referˆncia E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}, temos a e φ1 (x, y) = 1 − x − y, φ2 (x, y) = 1 − y, φ3 (x, y) = 1 − x. 5.4.2 Interpola¸˜o global ca Para al´m da rela¸˜o de equivalˆncia entre os elementos ﬁnitos, pode tamb´m estabelecer-se e ca e e uma rela¸˜o de equivalˆncia ao n´ da interpola¸˜o, para vari´veis nodais diferentes, desde que ca e ıvel ca a dˆem origem ao mesmo operador de interpola¸˜o. e ca ˆ Deﬁni¸˜o 5.4.1 Os elementos ﬁnitos (E, P, N ) e (E, P, N ) dizem-se interpolacionalmente ca equivalentes se para qualquer v ∈ P. existir v ∈ P tal que ˆ ΠE v = ΠE v . ˆˆ Vimos que em cada elemento ﬁnito E a fun¸˜o interpoladora ´ dada por ca e mE ΠE u(x) = i=1 νiE (u)φE , i E E de tal forma que {ν1 , ..., νmE } ´ base dual de {φE , ..., φE E }, ou seja, νiE (φE ) = δij . e m 1 j E No caso dos elementos ﬁnitos de Lagrange, temos νi (u) = u(xE ), em que xE ´ o n´ i do o i i e elemento E, e podemos escrever mE ΠE u(x) = i=1 u(xE )φE . i i h Deﬁnimos uma fun¸˜o interpoladora global Π h , deﬁnida sobre a triangula¸˜o ca ca a que (Π h u)|E = ΠE u. 120 de forma Deﬁni¸˜o 5.4.2 Dizemos que uma triangula¸ao Th ´ de classe C m se a fun¸ao interpoladora ca c˜ e c˜ global for sempre de classe C m . No caso dos elementos de Lagrange ou Hermite que vimos, apenas podemos garantir que a fun¸˜o interpoladora global seja de classe C 0 , no caso de elementos de Argyris ser´ de classe C 1 . ca a 5.4.3 Constru¸˜o da interpola¸˜o global ca ca Para deﬁnir a interpola¸˜o local consideramos fun¸˜es de forma φE deﬁnidas no elemento E, ca co k mas para efeitos da interpola¸˜o global ´ conveniente deﬁnir fun¸˜es base que s˜o construidas ca e co a usando fun¸˜es de forma de um ou mais elementos. co Fun¸oes base c˜ o Reparamos que podemos deﬁnir fun¸˜es base no dom´ co ınio inteiro, de forma a que os n´s comuns n˜o apare¸am repetidos. No caso dos elementos de Lagrange a duas dimens˜es, h´ que distinguir a c o a 3 situa¸˜es2 : co (i) um n´ interior pertence apenas a um triˆngulo; o a (ii) um n´ colocado sobre um dos lados do triˆngulo ser´ comum a dois triˆngulos (o n´ tem o a a a o dois triˆngulos adjacentes); a (iii) um n´ que coincide com o v´rtice do triˆngulo pode ser comum a v´rios triˆngulos (o o e a a a n´ tem v´rios triˆngulos adjacentes). o a a ` A excep¸˜o do primeiro caso, em que a fun¸˜o base coincide com a fun¸˜o de forma (sendo ca ca ca zero nos restantes elementos), nas restantes situa¸˜es as fun¸˜es base s˜o constru´ co co a ıdas com fun¸˜es co ´ de forma de dois (segundo caso), ou mais elementos (terceiro caso). E ainda interessante observar que no caso bidimensional, numa triangula¸˜o regular, o n´mero de triˆngulos adjacentes a um ca u a v´rtice interno ser´ em m´dia 6 (por exemplo, numa triangula¸˜o para um quadrado ´ habitual e a e ca e considerar v´rtices alternadamente com 4 e 8 triˆngulos adjacentes). e a Considerando um n´ xi comum a v´rios elementos Ei1 , ..., EiMi , deﬁnimos a fun¸˜o base ψi : o a ca ψi (x) = 0 se x ∈ Eik (para k = 1, ..., Mi ) / φik (x) se x ∈ Eik (para k = 1, ..., Mi ) notando que o n´mero Mi (de triˆngulos adjacentes a um n´ i) depende do n´ que se considera. u a o o No elemento Eik haver´ v´rias fun¸˜es de forma, designamos φik a que veriﬁca φik (xi ) = 1. a a co A escolha da fun¸˜o forma certa envolve uma quest˜o entre numera¸˜o local e global, que ca a ca abordaremos mais ` frente. a Assim podemos considerar um espa¸o discreto, de dimens˜o ﬁnita, Vh , que consiste no espa¸o c a c gerado pelas fun¸˜es base ψi , deﬁnidas em todos os n´s da triangula¸˜o x1 , ..., xN , (inclui os n´s co o ca o internos a cada elemento), de tal forma que N ψ ∈ Vh ⇔ ψ = αi ψi . i=1 2 Em 3 dimens˜es haver´ 4 situa¸oes, adicionando a situa¸ao de pertencer a uma aresta, onde um n´ tamb´m o a c˜ c˜ o e pode pertencer a v´rios tetraedros. a 121 Podemos distinguir entre os espa¸os Vh,0 e Vh . No espa¸o Vh,0 iremos considerar apenas os n´s c c o interiores, veriﬁcando-se que estas fun¸˜es ser˜o nulas sobre os n´s da fronteira, da´ a designa¸˜o co a o ı ca Vh,0 . Ao contr´rio, o espa¸o Vh ir´ conter todos os n´s. a c a o • Uma condi¸˜o importante a veriﬁcar ´ que o espa¸o discreto Vh deve aproximar densamente ca e c o espa¸o cont´ c ınuo V. Para esse efeito, no pr´ximo cap´ o ıtulo iremos demonstrar estimativas de erro de interpola¸˜o que garantem que fun¸˜es em espa¸os de Sobolev podem ser aproximadas ca co c por fun¸˜es interpoladoras deﬁnidas nestes espa¸os discretos de elementos ﬁnitos. co c Exemplos de fun¸oes base c˜ Considerando elementos deﬁnidos sobre triˆngulos rectˆngulos, ´ poss´ obter uma express˜o a a e ıvel a para fun¸˜es base para elementos de Lagrange de grau m, em duas dimens˜es. Deﬁnimos d(x) = co o |x1 − x2 | e a fun¸˜o ca ||x||∞ , se x1 x2 > 0, ξ(x) = |x1 − x2 | , se x1 x2 ≤ 0 Uma fun¸˜o base centrada na origem e com suporte num hexaedro ca H = {x ∈ R2 : ||x||∞ ≤ 1, |x1 − x2 | ≤ 1} ´ dada para elementos de Lagrange de grau m pela express˜o e a m ψ0 (x) = k=1 (1 − m ξ(x)), k para x ∈ H, sendo zero caso contr´rio. Na Fig.5.4.1 apresentamos alguns exemplos. a Figura 5.4.1: Fun¸ao base ψ0 deﬁnida em H para elementos de Lagrange de grau 2, 4 e 5 c˜ (respectivamente). Na Fig.5.4.2 apresentamos ainda outras fun¸˜es base usando como suporte H com elementos co de Lagrange c´bicos. Estas fun¸˜es base ilustram os 3 casos referidos para constru¸˜o de fun¸˜es u co ca co base. Neste exemplo, haver´ 1 fun¸˜o base central com 6 triˆngulos adjacentes (ﬁgura ` esquerda, a ca a a caso (iii)), 12 fun¸˜es base deﬁnidas sobre lados (exemplo na ﬁgura central, caso (ii)), e 6 fun¸˜es co co 122 base deﬁnidas sobre os n´s internos (exemplo na ﬁgura ` direita, caso (i)). o a Figura 5.4.2: Os trˆs tipos de fun¸oes base deﬁnidas em H para elementos de Lagrange de e c˜ ` esquerda, a fun¸ao base ψ0 deﬁnida por fun¸oes de forma em 6 triˆngulos adjacentes. grau 3: A c˜ c˜ a Ao centro, uma fun¸ao base deﬁnida para um n´ com dois triˆngulos adjacentes, usando duas c˜ o a ` fun¸oes de forma. A direita, uma fun¸ao base interna a um triˆngulo, deﬁnida apenas por uma c˜ c˜ a fun¸ao de forma. c˜ Exemplo de interpola¸˜o global ca Na Fig.5.4.3 apresentamos como exemplo de interpola¸˜o global, a aproxima¸˜o obtida pela ca ca interpola¸˜o com elementos de Lagrange lineares para uma triangula¸˜o deﬁnida num dom´ ca ca ınio 1 a parametrizado pela curva r(t)(cos(t), sin(t)) em que r(t) = 2 + 2 sin(2t). Consider´mos como fun¸˜o a aproximar f (x, y) = cos(x + exp( y )). ca 2 2 2 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0.5 0 -2 -0.5 0.5 -1 0.5 0 0 -2 -0.5 -1 -2 -1 -0.5 -1 -2 -1 1 2 -1 -2 -2 -1 -2 0 0 0 1 -2 2 2 2 Figura 5.4.3: Os quatro gr´ﬁcos representam: (i) a triangula¸ao do dom´nio, (ii) a fun¸ao a c˜ ı c˜ a aproximar, (iii) a aproxima¸ao da fun¸ao no dom´nio usando elementos de Lagrange lineares, c˜ c˜ ı (iv) compara¸ao entre os valores exactos e os valores da reconstru¸ao atrav´s da sobreposi¸ao c˜ c˜ e c˜ das ﬁguras (ii) e (iii). 123 Cap´ ıtulo 6 Estimativas de Erro e Integra¸˜o ca e Neste cap´ ıtulo iremos demonstrar que a interpola¸˜o atrav´s de elementos ﬁnitos permite aproxca imar fun¸˜es em espa¸os de Sobolev, garantindo a densidade do espa¸o discreto de fun¸˜es co c c co discreto Vh no espa¸o original de fun¸˜es V, justiﬁcando assim a sua utiliza¸˜o na formula¸˜o c co ca ca variacional. Essa aproxima¸˜o ´ mesmo obtida com estimativas do erro, que s˜o depois utica e a lizadas para estimativas de erro para a solu¸˜o no m´todo de Galerkin, atrav´s do Lema de ca e e C´a. Finalmente, como nem sempre ´ poss´ um c´lculo exacto dos integrais que aparecem na e e ıvel a formula¸˜o variacional, consideramos ainda uma sec¸˜o em que abordamos algumas regras de ca ca quadratura, e a inﬂuˆncia que o erro poder´ ter na solu¸˜o. e a ca 6.1 Estimativas para o erro de interpola¸˜o ca Nesta sec¸˜o apresentaremos estimativas do erro de interpola¸˜o em espa¸os de Sobolev. Os ca ca c m ( ) = W m,2 ( ), mas podem ser generalizados resultados s˜o apresentados para os espa¸os H a c para os espa¸os W m,p ( ). c 6.1.1 Espa¸o quociente por polin´mios c o Seja um aberto limitado de Rd , que na pr´tica ir´ corresponder ` parte interior de um elemento a a a E, ou seja E = ¯ . Consideremos o espa¸o Pm de polin´mios de grau menor ou igual a m, e a c o rela¸˜o de equivalˆncia, ca e v ∼ u ⇔ v − u ∈ Pm . Esta rela¸˜o de equivalˆncia permite trabalhar com o espa¸o quociente H m+1 ( )/Pm em que ca e c os seus elementos s˜o as classes de equivalˆncia deﬁnidas pela rela¸˜o precedente. Assim.v ∈ a e ca ˙ m+1 ( )/P ´ um conjunto deﬁnido por um representante v ∈ H m+1 ( ) e pelos elementos H m e v = {v + q : q ∈ Pm }, ˙ ou seja, as fun¸˜es de v ∈ H m+1 ( )/Pm s˜o conjuntos de fun¸˜es de H m+1 ( ) somadas com co ˙ a co ´ o polin´mios de Pm . E ´bvio que qualquer elemento de v pode ser representante da sua classe. o ˙ Conv´m notar que o elemento nulo em H m+1 ( )/Pm ´ e e ˙ 0 = {q : q ∈ Pm }. 124 No que se segue n˜o iremos fazer distin¸˜o entre v e v, assumindo que quando nos referimos a a ca ˙ v em H m+1 ( )/Pm estamos a referir-nos ` sua classe de equivalˆncia v. a e ˙ No espa¸o H m+1 ( )/Pm vamos considerar a norma c ||v||∗ m+1, = inf ||v − q||m+1, . q∈Pm (6.1) Note que ||v||∗ m+1, ≤ ||v||m+1, . Exerc´ ıcio: Mostre que (6.1) ´ uma norma para a qual H m+1 ( )/Pm ´ um espa¸o de Banach. e e c De forma semelhante podemos considerar a seminorma |v|∗ m+1, = inf |v − q|m+1, , q∈Pm e como as derivadas de ordem m + 1 de polin´mios de grau m s˜o nulas, veriﬁca-se o a |v|∗ m+1, = |v|m+1, . ´ E assim claro que ∗ |v|m+1, = |v|∗ m+1, ≤ ||v||m+1, , e o pr´ximo lema mostra a existˆncia de uma constante tal que a ‘rec´ o e ıproca’ se veriﬁque. Isto m+1 ( )/P de uma outra norma (a seminorma) que ´ equivalente ` permite munir o espa¸o H c e a m norma introduzida em (6.1). Lema 6.1.1 (Bramble-Hilbert): Existe uma constante positiva C : ∗ m+1 ||v||∗ ( )/Pm m+1, ≤ C |v|m+1, , para qualquer v ∈ H Demonstra¸˜o:Ver p.ex. [13]. Este resultado baseia-se na injec¸˜o compacta de H m+1 ( ) ca ca m ( ). em H m+1 ( )/P temos Assim, como |v|m+1, = |v|∗ m m+1, , em H |v|m+1, ≤ ||v||∗ m+1, ≤ C |v|m+1, , ∗ ou seja, a norma || · ||m+1, ´ equivalente ` seminorma | · |m+1, em H m+1 ( )/Pm ,notando que e a |v|m+1, = 0 implica ||v||∗ = 0, e a seminorma ´ com efeito uma norma. e m+1, Teorema 6.1.1 Consideremos1 s ≤ m + 1 e seja2 Π ∈ L(H m+1 ( ), H s ( )) uma projec¸ao para c˜ os polin´mios Pm , ou seja, o Πq = q, ∀q ∈ Pm Ent˜o existe uma constante C a ,Π >0: ,Π → ||v − Πv||s, ≤ C 1 2 |v|m+1, , ∀v ∈ H m+1 ( ) (6.2) Logo veriﬁca-se a inclus˜o cont´ a ınua H m+1 ( ) ⊂ H s ( ), tendo-se assim ||w||s, ≤ C ||w||m+1, . Isto ´, Π ´ uma aplica¸ao linear cont´ e e c˜ ınua Π : H m+1 ( ) → H s ( ). Normalmente, trata-se de associar a cada fun¸ao em H m+1 o polin´mio interpolador no elemento ﬁnito. Quando ¯ ´ apenas um elemento ﬁnito E, esse c˜ o e polin´mio tem toda a regularidade, mas quando h´ a jun¸ao de todos os polin´mios, essa regularidade perde-se (e o a c˜ o habitualmente apenas ﬁca a continuidade) pelo que faz todo o sentido obter desde j´ estimativas no espa¸o H s . a c 125 Demonstra¸˜o: ca Dado q ∈ Pm , como (I − Π)q = 0, temos v − Πv = (I − Π)(v − q). Assim, usando a norma em L(H m+1 ( ), H s ( )), ||I − Π||L(H m+1 ( ),H s ( )) = sup ||(I − Π)w||s, ||w||m+1, w=0 ||v − Πv||s, = ||(I − Π)(v − q)||s, ≤ ||(I − Π)||L(.,.) ||v − q||m+1, ≤ CΠ ||v − q||m+1, em que a ultima desigualdade resulta de considerar CΠ = ||(I − Π)||L(.,.) , constante que depende ´ de Π e . Como a desigualdade ´ v´lida para qualquer q ∈ Pm , em particular ´ v´lida o ´ e a e a ınﬁmo, logo ||v − Πv||s, ≤ CΠ inf ||v − q||m+1, = CΠ ||v||∗ m+1, . q∈Pm Aplicando o lema de Bramble-Hilbert, obtemos ||v − Πv||s, ≤ C CΠ |v|∗ m+1, = C CΠ |v|m+1, , pois |v|∗ m+1, = |v|m+1, . Para estabelecer estimativas de erro, temos que ter em conta o parˆmetro de degenerescˆncia a e do elemento ﬁnito, hE χE = , ρE que como j´ vimos traduz a rela¸˜o entre hE , o diˆmetro do elemento, e ρE o raio da maior a ca a √ bola inclu´ no elemento. Conv´m que este valor n˜o seja muito superior a 2 3, no caso de ıda e a triangula¸˜es, j´ que ´ o valor m´ co a e ınimo, que se obt´m para o triˆngulo equil´tero. e a a Iremos usar o seguinte lema ˆ ˆ Lema 6.1.2 Sejam E e E elementos ﬁnitos equivalentes aﬁns, em que E = F (E), com F = Aˆ + b. Temos x ||A|| ≤ hE |E| , | det(A)| = , ˆ ρE |E| ˆ (6.3) em que |E| ´ a medida (´rea ou volume) de E. e a Demonstra¸˜o: Basta ver que ca ||A|| = max x=0 ||Ax|| x 1 = max ||Ax|| = max ||A || = max ||Ax||. ||x|| ρ ρ ||x||=ρ ||x||=1 ||x||=ρ E Portanto, como hE = maxx,y∈E ||x − y|| = maxx,ˆ∈E ||Aˆ + b − Aˆ − b|| = maxx,ˆ∈E ||A(ˆ − y )||. x y x ˆ ˆy ˆ ˆy ˆ ˆ tais que ||ˆ − y|| = ρ ˆ , temos Considerando x, y ∈ E, ˆ ˆ x ˆ ||A|| = 1 ρE ˆ ||ˆ−ˆ||=ρE x y ˆ x,ˆ∈E ˆy ˆ max ||A(ˆ − y)|| ≤ x ˆ 1 hE max ||A(ˆ − y)|| = x ˆ . ˆ ρE x,ˆ∈E ρE ˆ ˆy ˆ 126 Finalmente, |E| = 1 dx = E ˆ E ˆ | det(A)| dˆ = | det(A)| |E|. x ˆ pois |E| ≤ h2 (j´ que E se encontra dentro de um quadrado com lados hE ) e porque |E| ≥ E a ˆ (pois E cont´m uma bola com raio ρE ). Para outras dimens˜es podem estabelecer-se resultados e o ˆ semelhantes usando σd = |B(0, 1)|, deﬁnido no primeiro cap´ ıtulo. Observa¸ao: Deste resultado, no caso bidimensional, conclui-se tamb´m que | det(A)| ≤ c˜ e h2 E , πρ2 ˆ E πρ2 ˆ E ˆ ˆ Lema 6.1.3 Sejam E e E elementos ﬁnitos equivalentes aﬁns, em que E = F (E), com F (ˆ) = x Aˆ + b. Temos x |ˆ|r,E ≤ C||A||r | det(A)|−1/2 |v|r,E v ˆ em que v = v ◦ F, para v ∈ H r (E) qualquer. Pelo lema anterior, conclui-se que ˆ |ˆ|r,E ≤ C ( v ˆ De forma an´loga obt´m-se a e |v|r,E ≤ C ( hE r ˆ ) | det(A)|1/2 |ˆ|r,E . v ˆ ρE (6.6) hE r ) | det(A)|−1/2 |v|r,E . ρE ˆ (6.5) (6.4) Demonstra¸˜o: ca ∞ Come¸amos por supor que v ∈ Cc (E). A desigualdade resulta de relacionar os integrais c ˆ E |∂ α v |2 com ˆ E |∂ α v|2 , em que α ´ um multi-´ e ındice em Nd . Sendo |α| = r, Dr v(x)(h1 , ..., hs ) denota a derivada de Fr´chet, enquanto forma multilinear, e α1 vezes αn vezes ∂ α v(x) = D|α| v(x)(e1 , ..., e1 , ..., en , ..., en ). e temos Dr v (ˆ)(h1 , ..., hr ) = Dr v(x)(Ah1 , ..., Ahr ), pelo que ˆx ||Dr v (ˆ)|| ≤ ||A||r ||Dr v(x)||, ˆx onde ||Dk v(x)|| = sup|hi |=1 |Dk v(x)(h1 , ..., hk )|. Usando as desigualdades (com c1 , c2 > 0), c2 |v|2 ≤ 1 r,E ||Dr v(x)||2 dx ≤ c2 |v|2 , 2 r,E E 127 que nos indicam a equivalˆncia entre a seminorma habitual e aquela que se obt´m pela derivada e e de Fr´chet, obtemos e |ˆ|2 E ≤ v r, ˆ 1 c2 1 ||Dr v (ˆ)||2 dˆ ≤ ˆx x 1 c2 1 ||A||2r ||(Dr v)(F (ˆ))||2 dˆ = x x 1 c2 1 ||A||2r ||Dr v(x)||2 | det(A)|−1 dx, ˆ E ˆ E E ∞ logo, para v ∈ Cc (E), |ˆ|2 E ≤ v r, ˆ 1 ||A||2r | det(A)|−1 c2 1 E ||Dr v(x)||2 dx ≤ c2 2 ||A||2r | det(A)|−1 |v|2 . r,E c2 1 ∞ A conclus˜o resulta da densidade de Cc (E) em H 1 (E) que ´ v´lida desde que ∂E seja uma a e a 1 , e recursivamente a desigualdade pode ser obtida para qualquer fronteira seccionalmente C fun¸˜o em H r (E). ca Nota: Assumiremos que se as vari´veis nodais N incluirem condi¸˜es sobre derivadas3 de a co ˆ ˆ ordem r ent˜o H m+1 (E) ⊂ C r (E). a → Teorema 6.1.2 Consideremos ainda s ≤ m + 1. Seja (E, P, N ) um elemento ﬁnito equivalente ˆ aﬁm de um elemento de referˆncia (E, P, N ) de forma a que sejam interpolacionalmente equivae s (E), ou seja os polin´mios de grau m pertencem as fun¸oes de forma lentes e que Pm ⊆ P ⊂ H ˆ o ` c˜ m+1 (E), do elemento de referˆncia. Ent˜o, para qualquer v ∈ H e a ||v − ΠE v||s,E ≤ CE ˆ Demonstra¸˜o: ca Pelo lema anterior aplicado a v − ΠE v, temos ||v − ΠE v||s,E ≤ C ( hE s ˆ ) | det(A)|1/2 ||ˆ − ΠE v ||s,E , v ˆˆ ˆ ρE hm+1 E |v|m+1,E . ρs E (6.7) j´ que sendo interpolacionalmente equivalentes v − ΠE v = v − ΠE v = v − ΠE v. a ˆ ˆ ˆˆ Por outro lado, vimos que ||ˆ − ΠE v||s,E ≤ C |ˆ|m+1,E , v v ˆˆ ˆ ˆ logo ||v − ΠE v||s,E ≤ C ( E hE s ˆ ) | det(A)|1/2 |ˆ|m+1,E . v ˆ ρE Ainda pelo lema, |ˆ|m+1,E ≤ C ( hE )m+1 | det(A)|−1/2 |v|m+1,E e assim obtemos v ˆ ρˆ Pelas injec¸oes de Sobolev, m + 1 − d/2 > r. c˜ Se n˜o se incluirem derivadas (elementos de Lagrange) temos r = 0 e portanto basta exigir que m + 1 − d/2 > 0 a (ver apˆndice). No caso bidimensional isto signiﬁca m > 0, o que exclui apenas as constantes. No caso de e elementos de Hermite, temos pelo menos r = 1, o que d´ m + 1 − d/2 > 1, ou seja m > d/2. No caso bidimensional a isto signiﬁca que m > 1, o que n˜o constitui qualquer problema, pois os elementos de Hermite considerados a envolviam obviamente polin´mios de grau superior a 1. o 3 128 ||v − ΠE v||s,E ≤ C ( Separando o factor hs ˆ E m+1 ρˆ E hE s hE m+1 ˆ ) ( ) |v|m+1,E . ρE ρE ˆ hm+1 E ρs , E que ir´ pertencer ` constante CE e o factor a a ˆ obtemos o resultado. Observa¸oes: c˜ hs ˆ E e a e i) A parte ρm+1 ´ encarada como constante porque bastar´ ﬁxar um elemento de referˆncia e trabalhar a partir dele. ii) Quando consideramos espa¸os de Sobolev mais gerais, do tipo W m,p , com p = 2, a c condi¸˜o s ≤ m + 1 deve ser substitu´ por uma que permita a injec¸˜o cont´ ca ıda ca ınua, (ver teorema de Rellich-Kondrachov, no apˆndice). e ˆ E Corol´rio 6.1.1 Nas condi¸oes do teorema anterior, se exigirmos regularidade na triangula¸ao, a c˜ c˜ de forma a que χE < χ < ∞, temos a estimativa ||v − ΠE v||s,E ≤ C χs hm+1−s |v|m+1,E . E (6.8) O que signiﬁca que se exigirmos v ∈ H m+1 (E), obtemos um erro de interpola¸ao da ordem c˜ O(hm+1−s ). O corol´rio p˜e em evidˆncia que os elementos n˜o devem degenerar para que se obtenham a o e a ´ claro que um valor de χ mais elevado poder´ levar a uma as estimativas de erro apresentadas. E a pior aproxima¸˜o, j´ que a constante ser´ mais elevada. ca a a 6.1.2 Estimativas Globais Atrav´s das estimativas que deduzimos para a fun¸˜o interpoladora em cada elemento ﬁnito, e ca passamos para o caso global em que iremos considerar uma triˆngula¸˜o regular h de um a ca dom´ ınio , e portanto n˜o h´ degenerescˆncia dos elementos. a a e Teorema 6.1.3 Suponhamos que temos uma triangula¸ao regular h de um dom´ c˜ ınio r (E) . Ent˜o existe C > 0 (independente de h) tal que ˆ Pm ⊆ P ⊂ H a χ   ||v − Π v||2  s,E 1/2 ≤ Cχ hm+1−s |v|m+1, e que h E∈ h onde 0 ≤ s ≤ min{m + 1, r}. Demonstra¸˜o: ca Considerando o corol´rio do par´grafo anterior temos a a ||v − ΠE v||s,E ≤ Cχs hm+1−s |v|m+1,E , E 129 e trata-se apenas de fazer a soma, atendendo a que (Π h u)|E = ΠE u. A constante ´ independente e de h pois inclui apenas constantes relacionadas com o elemento de referˆncia e com o parˆmetro e a de degenerescˆncia. e ˆ Corol´rio 6.1.2 Consideremos uma triangula¸ao regular h e seja Pm ⊆ P ⊂ H s (E) com a c˜ 0 ≤ s ≤ m + 1. Se v ∈ H m+1 ( ), Π h ∈ L(H m+1 ( ), H s ( )), podemos garantir que ||v − Π h v||s, ≤ C hm+1−s |v|m+1, . h (6.9) v ∈ H 1( ) e (6.10) Portanto, se a interpola¸˜o na triangula¸˜o for cont´ ca ca ınua, temos Π ||v − Π h v||0, ≤ C hm+1 |v|m+1, , ||v − Π h v||1, ≤ C hm |v|m+1, . Observa¸˜o 1: Basta considerar 0 ≤ s ≤ m + 1, j´ que a regularidade das fun¸oes de ca a c˜ forma no interior do elemento ﬁca inclu´ na exigˆncia de regularidade para o interpolador ıda e global. Π h v ser´ apenas seccionalmente polinomial, assim, ao exigir Π h v ∈ H s ( ) estamos a a impor condi¸˜es sobre a colagem da interpola¸˜o nos v´rios elementos. Quando h´ apenas co ca a a 2 , mas j´ n˜o continuidade nessa colagem, garantimos que a fun¸˜o e as derivadas sejam L ca a a podemos garantir que isso aconte¸a para as segundas derivadas, que podem incluir deltas de c Dirac, j´ que as derivadas podem ser descont´ a ınuas. Ou seja, para uma triangula¸˜o C 0 podemos ca apenas obter esta estimativa se considerarmos s = 0 ou s = 1. Para considerarmos s = 2 seria necess´rio considerar triangula¸˜es C 1 , o que pode ser obtido atrav´s de elementos de Argyris, a co e por exemplo. Observa¸˜o 2: Assumimos que v ∈ H m+1 ( ), para que a estimativa fa¸a sentido. Para ca c assegurar isto, veremos no caso da resolu¸˜o de equa¸˜es que devem ser utilizados resultados de ca co regularidade (ver apˆndice). e No caso de uma triangula¸˜o com elementos de Lagrange lineares ´ claro que obtemos ca e ||v − Π h v||1, ≤ C h|v|2, (6.11) o que signiﬁca que o erro ´ da ordem O(h) na norma H 1 , e se considerarmos a norma L2 , e ||v − Π h v||0, ≤ C h2 |v|2, (6.12) j´ obtemos O(h2 ), assumindo que v ∈ H 2 ( ). Iremos ver que H 2 ( ) ´ a regularidade habitual a e da solu¸˜o de um problema el´ ca ıptico no caso de f ∈ L2 ( ). Exemplo Consideremos o seguinte exemplo, em que temos o dom´ ınio =] − π , 1[ e a fun¸˜o a aproximar ca 2 ´ e cos(x), se x ∈ [− π , 0[ 2 f (x) = 1 − x2 , se x ∈ [0, 1]. 130 Notamos que esta fun¸˜o, que est´ representada na Fig.6.1.1, ` esquerda (a cheio), ´ de classe C 1 , ca a a e conforme se pode constatar no gr´ﬁco da sua derivada.(Fig.6.1.1, ao centro), h´ uma colagem a a dos valores em x = 0. Trata-se tamb´m de uma fun¸˜o de H 2 ( ), sendo imediato calcular e ca 1 1/2 |f |2, = −π 2 f (x) 2 = 2.6587. Considerou-se a aproxima¸˜o fh por elementos de Lagrange lineares, que ´ representada no ca e caso em que consideramos apenas 5 elementos na Fig.6.1.1, ` esquerda (a tracejado). Aumena tando o n´mero de elementos (e consequentemente baixando o valor de h) obtemos a seguinte u tabela: h 0.514 0.257 0.1285 0.0857 0.0643 ||f − fh ||L2 ( 0.05312 0.01327 0.003308 0.001467 0.000824 ) Constata-se facilmente que a evolu¸˜o do erro na norma L2 ´ aproximada pela par´bola ca e a 2 , conﬁrmando a estimativa em O(h2 ) prevista pela teoria. ||f − fh ||L2 ( ) ∼ 0.2 h 1 08 . 06 . 04 . 02 . 1 -. 05 -. 05 1 -. 15 00 .1 2 -. 15 1 -. 05 05 . 1 01 . 02 . 03 . 04 . 05 . 06 . 05 . 1 00 .4 00 .3 00 .2 1 00 .7 05 . 00 .6 00 .5 Figura 6.1.1. Aproxima¸ao de f por elementos de Lagrange lineares. c˜ ` para¸ao entre f e fh . Ao centro, a derivada de f. A direita, gr´ﬁco do erro c˜ a fun¸ao de h. Podemos facilmente observar que se trata de uma convergˆncia c˜ e • Num outro exemplo, consideramos g(x) = cos(x), se x ∈ [− π , 0[ 2 1 − x, se x ∈ [0, 1]. ` A esquerda, com||f − fh ||L2 ( ) em quadr´tica. a A fun¸˜o est´ representada em Fig.6.1.2, ` esquerda (a cheio) e a sua aproxima¸˜o gh usando ca a a ca elementos de Lagrange lineares, com 4 elementos, ´ representada na mesma ﬁgura, a pontilhado. e A diferen¸a principal ´ que neste caso a derivada de g n˜o ´ cont´ c e a e ınua no ponto zero, conforme se pode constatar no gr´ﬁco central de Fig.6.1.2, onde ´ vis´ o salto em zero. Consequentemente, a e ıvel a segunda derivada existir´ apenas enquanto distribui¸˜o e o valor |g|2, = ||g ||0, n˜o existe, a ca a pois g ∈ H 2 ( ). Assim, a estimativa (6.12), em que se considerava m = 1, n˜o tem lugar. Apenas / a podemos considerar a estimativa (6.10) usando m = 0, pois o valor |g|1, = ||g ||0, j´ existe. a 131 Portanto, a teoria de interpola¸˜o apenas nos permite concluir que o erro ||g − gh ||L2 ( ) ´ O(h). ca e Com efeito, fazendo testes semelhantes aos efectuados para f, para v´rios valores de h, podemos a constatar experimentalmente que a evolu¸˜o do erro em fun¸˜o de h deixa de ser quadr´tica ca ca a e passa a ser linear. Com efeito, se desprezarmos o primeiro valor, em que a aproxima¸˜o ca ´ ainda grosseira (h ∼ 0.5), o gr´ﬁco do erro pode ser aproximado por uma recta, tendo-se e a ||g − gh ||L2 ( ) ∼ 0.03 h. 1 08 . 06 . 04 . 02 . 1 -. 05 05 . 1 00 .2 05 . 005 .1 00 .1 005 .0 -. 05 -. 15 1 -. 05 05 . 1 1 01 . 02 . 03 . 04 . 05 . 06 . Figura 6.1.2. Gr´ﬁcos semelhantes aos da ﬁgura anterior para g (ﬁgura da esquerda). O a salto da primeira derivada (ﬁgura central) provoca que a convergˆncia do m´todo de Lagrange e e n˜o seja quadr´tica, sendo apenas linear (na norma L2 ), como se constata na ﬁgura da direita. a a • Consideremos agora o exemplo de elementos de Hermite c´bicos, com a fun¸˜o γ(x) = u ca 1 + cos(2x) no intervalo =] − π , π [, representada em Fig.6.1.3, ` esquerda. Como a fun¸˜o ´ a ca e 2 2 anal´ ıtica, n˜o h´ qualquer problema com a aproxima¸˜o. Com efeito, como usamos polin´mios a a ca o c´bicos, m = 3, e a ordem de convergˆncia ´ 4, pois |γ|4, = ||γ (4) ||0, existe. A aproxima¸˜o u ca e e ´ excelente, mesmo considerando poucos elementos. Por exemplo, considerando 10 elementos, e o erro ´ inferior a 0.0004, como se pode constatar na ﬁgura central de Fig.6.1.3. Finalmente, e efectuando a varia¸˜o do erro em fun¸˜o de h, podemos conﬁrmar a ordem de convergˆncia 4, ca ca e tendo-se ||γ − γh ||L2 ( ) ∼ 0.03 h4 , como se pode constatar no gr´ﬁco log-log4 colocado Fig.6.1.3, a a ` direita (linha tracejada). Nessa ﬁgura coloc´mos todos as linhas log-log que se obtˆm para a e os 3 casos aqui retratados, e que representam a convergˆncia linear de gh para g (a preto), a e convergˆncia quadr´tica de fh para f (a cinzento), e a convergˆncia de ordem 4 de γh para γ (a e a e 4 Os gr´ﬁcos log-log s˜o obtidos por simples transforma¸ao a a c˜ (h, eh ) −→ (log h, log eh ). Como obtemos eh ∼ Chp , log eh ∼ log C + p log h, o que traduz rectas de inclina¸ao p. Quanto maior for a inclina¸ao da recta, maior ser´ a ordem de convergˆncia c˜ c˜ a e p. A constante ´ imediatamente obtida pela exponencial do valor no qual a recta cruza o eixo das ordenadas. e 132 tracejado). 2 000 .04 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 -2 15 . 000 .02 -4 1 -. 15 05 . 1 -. 05 -.02 000 05 . 1 15 . -6 -8 -10 -. 15 1 -. 05 05 . 1 15 . -.04 000 -12 Figura 6.1.3. Gr´ﬁco da fun¸ao γ (` esquerda) e do erro γ − γh (para h = π/10, ﬁgura a c˜ a ` direita, gr´ﬁcos das linhas log-log que se obtˆm para os 3 casos apresentados: a central). A a e convergˆncia linear no caso de g (a preto), a convergˆncia quadr´tica no caso de f (a cinzento), e e a e a convergˆncia de ordem 4 no caso de γ (a tracejado). e Como ´ ´bvio, se aplic´ssemos o m´todo de Hermite c´bico para g continuar´ eo a e u ıamos a obter ordem de convergˆncia linear, e para f obter´ e ıamos ordem de convergˆncia quadr´tica. O problema e a volta a ser a regularidade. Como as fun¸˜es g ∈ H 1 ( ), f ∈ H 2 ( ) n˜o tˆm maior regularidade, co a e a convergˆncia da aproxima¸˜o est´ condicionada. De certa maneira, podemos encarar que a e ca a ordem de convergˆncia ser´ dada por um m´ e a ınimo entre a regularidade da fun¸˜o e o grau dos ca polin´mios interpoladores (ou splines). o Observa¸oes c˜ ˆ i) Neste exemplo unidimensional a transforma¸˜o aﬁm ´ simples. Com efeito, sendo E = [0, 1] ca e e E = [a, b] obt´m-se imediatamente e F (ˆ) = (b − a)ˆ + a, x x e tamb´m F −1 (x) = x−a . e b−a ii) Caso de elementos de Hermite c´bicos. u ˆ Seja φk uma fun¸˜o de forma da base dual associada ` vari´vel nodal νk do elemento ﬁnito ca a a ˆ ˆ ˆ Portanto, temos νk (φk ) = 1. E. ˆ No caso de estarem envolvidas derivadas, ˆ x ˆ ˆ x νk (φ) = φ (ˆk ), e sendo φk tal que νk (φk ) = φk (ˆk ) = 1, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ vejamos qual a rela¸˜o de φk com a fun¸˜o de forma φk associada a νk , no elemento ﬁnito ca ca ˆ e em que xk = F (ˆk ). E = F (E), x ˆ Seja ϕ = φk ◦ F −1 , ent˜o a d d ϕ(F (ˆ))|ˆ=ˆk = x x x ϕ((b − a)ˆ + a)|ˆ=ˆk x 1 = νk (φk ) = νk (ϕ ◦ F ) = ˆ ˆ ˆ x x dˆ x dˆ x d = (b − a) ϕ(x)|x=xk = (b − a)νk (ϕ) = νk ((b − a)ϕ). dx Como νk (φk ) = 1, conclu´ ımos que φk = (b − a)ϕ, ou seja ˆ φk = (b − a)φk ◦ F −1 . Isto ´ ligeiramente diferente do que se passa com as vari´veis nodais de Lagrange, onde temos e a ˆk ◦ F −1 , e n˜o interv´m a derivada de F, que neste caso ´ b − a. simplesmente φk = φ a e e 133 6.2 Estimativas de erro do M´todo de Galerkin e Conv´m enunciar alguns resultados de regularidade que, apesar de estarem fora do ˆmbito do e a curso, s˜o uteis para as estimativas de erro, j´ que na estimativa de erro que iremos obter em a ´ a (6.15), ||u − uh ||s, ≤ C hm+1−s |u|m+1, , interv´m a regularidade da solu¸˜o u. e ca 6.2.1 Regularidade da solu¸˜o ca Consideremos agora operadores el´ ıpticos de segunda ordem do tipo d Du = a0 u − ∂i (aij ∂j u) i,j=1 em que os coeﬁcientes s˜o fun¸˜es que veriﬁcam a0 ≥ 0 com a0 ∈ C( ) e aij ∈ C 1 ( ) veriﬁcam a co as hip´teses de elipticidade, o d ∃α > 0 : i,j=1 aij (x)ξi ξj ≥ α|ξ|2 , ∀ξ ∈ Rd , ∀x ∈ . Vejamos o caso da equa¸˜o de Poisson, − u = f . Sabemos pelo Teorema de Lax-Milgram ca 1 que a solu¸˜o pertence a H0 ( ) desde que f ∈ H −1 ( ). Ora normalmente f ´ uma fun¸˜o e ca e ca n˜o uma distribui¸˜o, portanto podemos questionar se uma maior regularidade de f n˜o ir´ a ca a a implicar uma maior regularidade da solu¸˜o. Com efeito, se assumirmos que f ∈ L2 ( ) obtemos ca u ∈ L2 ( ), e ser´ poss´ ver que as derivadas de segunda ordem est˜o todas em L2 ( ). Como a ıvel a 2 ), pois u ∈ H 1 ( ) ⊂ H 1 ( ), j´ sabemos que a fun¸˜o e as primeiras derivadas est˜o em L a ca a 0 conclui-se que u ∈ H 2 ( ). De um modo geral, havendo regularidade do dom´ ınio, obtemos que se f ∈ H m ( ) ent˜o u ∈ H m+2 ( ), estabelecendo-se o teorema seguinte (ver p.ex. [7]). a Teorema 6.2.1 Consideremos um operador el´ptico com coeﬁcientes em C m+1 ( ¯ ), e a fronteira ı 1 ∂ com regularidade C m+2 . Se f ∈ H m ( ) e admitindo que u ∈ H0 ( ) ´ a unica solu¸ao fraca e ´ c˜ m+2 ( ) e tem-se a estimativa do problema homog´neo de Dirichlet, ent˜o u ∈ H e a ||u||m+2, ≤ C||f ||m, (6.13) Observa¸oes: c˜ i) Este resultado ´ demasiado exigente no que diz respeito ` regularidade da fronteira, j´ e a a que mesmo com m = 0 ´ requerida uma fronteira C 2 ( ). No entanto, no caso do problema de e Dirichlet, admitindo que os coeﬁcientes aij pertencem a C 1 ( ¯ ), ´ poss´ melhorar os resultados e ıvel (devidos a Grisvard, e.g.. [9], [15]) : • Se ´ um pol´ e ıgono convexo, e f ∈ L2 ( ), ent˜o a solu¸˜o u ∈ H 2 ( ). a ca Quando o pol´ ıgono n˜o ´ convexo, a situa¸˜o ´ mais complicada. Este resultado ainda ´ a e ca e e co v´lido no caso tridimensional para poliedros convexos, admitindo condi¸˜es de Dirichlet nulas. a No caso do problema de Neumann ´ poss´ e ıvel estabelecer um resultado semelhante, mas no problema misto Dirichlet-Neumann tal resultado n˜o ´ poss´ a e ıvel. 134 ii) O Teorema 6.2.1 analisa a regularidade da fun¸˜o em todo o dom´ ca ınio . Pode-se tamb´m e estabelecer que para um dom´ ınio ω, cuja aderˆncia est´ estritamente contida em , se tem e a u ∈ H m+2 (ω), independentemente da regularidade da fronteira. iii) Em conjun¸˜o com o teorema do tra¸o pode mostrar-se que se a fronteira for C m+2 , ca c temos a seguinte estimativa ||u||m+2, ≤ C(||f ||m, + ||u||m+3/2,∂ 0 + ||∂n u||m+1/2,∂ 1 ), 1 (6.14) onde s˜o impostas a onde ∂ 0 ´ a parte da fronteira onde s˜o impostas condi¸˜es de Dirichlet e ∂ e a co condi¸˜es de Neumann. co • Assim, como constat´mos nos exemplos apresentados a prop´sito do erro de interpola¸˜o, a o ca tudo depende da regularidade de u para haver maior ou menor rapidez de convergˆncia do e m´todo dos elementos ﬁnitos. e 6.2.2 Estimativas de erro Corol´rio 6.2.1 (do teorema de C´a). Seja Vh ⊂ H s ( ) o espa¸o discreto deﬁnido numa tria e c ˆ angula¸ao regular h em que Pm ⊆ P ⊂ H s (E). Ent˜o, se u ∈ H m+1 ( ), existe uma constante c˜ a C > 0 (independente de h) tal que ||u − uh ||s, ≤ C hm+1−s |u|m+1, . Demonstra¸˜o: ca Consequˆncia imediata do teorema de C´a e da estimativa de erro (6.9), pois e e ||u − uh ||s, ≤ M M inf ||u − vh ||s, ≤ ||u − Π α vh ∈Vh α h (6.15) u||s, ≤ C hm+1−s |u|m+1, . Note-se que ´ fundamental que Vh ⊂ H s ( ), para que fa¸am sentido as estimativas. e c No caso de se considerar uma triangula¸˜o cont´ ca ınua, apenas podemos considerar que as derivadas est˜o em L2 ( ), logo Vh ⊂ H 1 ( ) e obtemos a estimativa de erro a ||u − uh ||1, ≤ C hm |u|m+1, . Temos ainda o seguinte resultado que permite estabelecer melhores majora¸˜es para a norma co num espa¸o de Hilbert H ⊃ V. O exemplo cl´ssico ´ considerar H = L2 ( ), espa¸o que inclui c a e c 1 ( ). V = H0 Lema 6.2.1 (Aubin-Nitsche) Supondo que V ⊂ H ⊂ V , em que H ´ um espa¸o de Hilbert, e c tem-se 1 inf ||Ug − vh ||V ||u − uh ||H ≤ M ||u − uh ||V sup g∈H ||g||H vh ∈Vh em que Ug ∈ V ´ a solu¸ao unica do problema variacional e c˜ ´ b(Ug , v) = g, v 135 H , ∀v ∈ V. Como podemos obter pelas estimativas do corol´rio anterior a ||u − uh ||1, ≤ C hm |u|m+1, , estas aplicam-se a ||Ug − Uh ||1, ≤ C h|Ug |2, ≤ C h||g||0, , em que Uh ∈ Vh ´ a solu¸˜o aproximada e Ug ∈ V ´ a solu¸˜o exacta do problema variacional e ca e ca b(Ug , v) = g, v L2 ( ) . No entanto ´ preciso assegurar que Ug ∈ H 2 ( ) se g ∈ L2 ( ) e mesmo e que o problema ´ regular: e Deﬁni¸˜o 6.2.1 Seja Ug ∈ V a solu¸ao unica do problema variacional b(Ug , v) = g, v ca c˜ ´ V. Dizemos que o problema variacional ´ regular se a aplica¸ao e c˜ B : L2 ( ) −→ H 2 ( ) g −→ Ug ´ linear cont´ e ınua. Nesse caso existe C > 0 : ||Ug ||2, ≤ C||g||0, . Observa¸˜o: O problema variacional para a equa¸˜o de Poisson, bem como outros probleca ca mas el´ ıpticos deﬁnidos com operadores com coeﬁcientes regulares s˜o problemas regulares, como a podemos concluir pelo teorema de regularidade (Teorema.6.2.1). Admitindo a hip´tese de regularidade, temos ||Ug − Uh ||1, ≤ C h||g||0, e podemos aplicar o o lema de Aubin-Nitsche, majorando o termo sup g∈H H , ∀v ∈ 1 ||g||0, vh ∈Vh inf ||Ug − vh ||1, ≤ 1 C h||g||0, = Ch, ||g||0, obtemos ||u − uh ||0, ≤ C h||u − uh ||1, e podemos concluir o seguinte resultado: Corol´rio 6.2.2 Nas condi¸oes do corol´rio anterior, para um problema variacional regular, a c˜ a temos a estimativa de erro ||u − uh ||0, ≤ C hm+1 |u|m+1, . (6.16) A vantagem desta ultima estimativa ´ que permite obter uma ordem de convergˆncia mais ´ e e 2 , resultado esperado, j´ que n˜o se tˆm em elevada quando ´ avaliada a diferen¸a na norma L e c a a e conta as derivadas. Exemplo. No caso de um problema el´ ıptico como   − u + λu = f em u = g0 em ∂ 0  ∂n u = g1 em ∂ 1 , com λ ≥ 0, e em que a fronteira ´ regular, temos a seguinte estimativa e |u|m+1, ≤ ||u||m+1, ≤ C(||f ||m−1, + ||g0 ||m+1/2,∂ 136 0 + ||g1 ||m−1/2,∂ 1 ). Portanto, no caso de elementos de Lagrange lineares m = 1, ||u − uh ||1, ≤ C1 h |u|2, ||u − uh ||0, ≤ C0 h2 |u|2, o que signiﬁca que basta exigir que g0 ∈ H 3/2 (∂ 0 ), g1 ∈ H 1/2 (∂ 1 ), f ∈ L2 ( ) para que |u|2, seja limitado por uma constante. Exigir g0 ∈ H 3/2 (∂ 0 ) corresponde a exigir que seja o tra¸o da fun¸˜o u ∈ H 2 ( ). Em c ca dimens˜o 2, pelas injec¸˜es de Sobolev, vemos que neste caso em que u ∈ H 2 ( ) temos s−d/p = a co 2 − 2/2 = 1 > 0 e portanto u ´ pelo menos cont´ e ınua, consequentemente g0 , a restri¸˜o ` fronteira ca a tamb´m deve ser pelo menos cont´ e ınua. Menor regularidade ´ exigida na condi¸˜o de Neumann, e ca pois g1 ∈ H 1/2 (∂ 1 ) signiﬁca que ´ tra¸o de uma fun¸˜o H 1 ( ), o que faz sentido j´ que e c ca a como u ∈ H 2 ( ), as derivadas est˜o em H 1 ( ). No entanto deve considerar-se mesmo assim g1 a a ınuas (ver apˆndice), e cont´ ınua, j´ que apesar das fun¸˜es H 1 ( ) n˜o serem necessariamente cont´ a co temos s − d/p = 1 − 2/2 = 0 e estamos no caso limite de continuidade. 6.2.3 Erro de aproxima¸˜o do dom´ ca ınio At´ aqui apenas consider´mos o caso em que e a ´ um dom´ e ınio poligonal e dessa forma n˜o a h´ erro geom´trico na aproxima¸˜o do dom´ a e ca ınio. No entanto, devemos tamb´m considerar o e caso em que h = , embora a an´lise seja mais detalhada e saia do ˆmbito deste curso a a introdut´rio. Referimos apenas os principais resultados, tendo em especial aten¸˜o o facto o ca de que a aproxima¸˜o do dom´ ca ınio impede a obten¸˜o de estimativas de erro t˜o boas quanto ca a as obtidas para os dom´ ınios poligonais. Com efeito, sendo um aberto convexo de R2 com fronteira C 2 , u a solu¸˜o do problema exacto e uh a aproxima¸˜o obtida com interpola¸ao de ca ˜ ca c˜ Lagrange linear, com elementos ﬁnitos triangulares, ainda se obtˆm as estimativas e ||u − uh ||1, ≤ C h||u||2, e ||u − uh ||0, ≤ C h2 ||u||2, ˜ ˜ 1 se u ∈ H 2 ( ) ∩ H0 ( ), mas quando usamos elementos de Lagrange quadr´ticos ou superiores, a obtemos apenas ||u − uh ||1, ≤ C h3/2 ||u||2, ˜ 1 quando u ∈ H 3 ( ) ∩ H0 ( ), o que signiﬁca uma perda de h1/2 face ao resultado obtido para elementos de Lagrange quadr´ticos quando n˜o se considerava erro de aproxima¸˜o geom´trica a a ca e do dom´ ınio. O problema consiste no facto de se estar a utilizar uma aproxima¸˜o da fronteira atrav´s ca e das rectas que deﬁnem os triˆngulos, aproxima¸˜o essa que ´ de ordem 1. Para manter a a ca e ordem a ordem de convergˆncia esperada h´ que proceder a uma aproxima¸˜o conveniente da e a ca e fronteira, usando uma t´cnica designada por isoparam´trica. Por exemplo, no caso de elementos e de Lagrange quadr´ticos, ao inv´s de se considerar F aﬁm, que transformava o n´ a6 do elemento a e oˆ a de referˆncia no n´ a6 no elemento considera-se uma fun¸˜o F ∗ quadr´tica que transforme o e o ca 137 ponto a6 num ponto da fronteira a∗ , como se mostra na ﬁgura seguinte. ˆ 6 a6* a6 a1 a2 a3 F* a5 ^ a5 ∂Ω a4 ^ a6 ^ a4 E F ^ a1 ^ E ^ a2 ^ a3 Figura 6.2.1: Aproxima¸ao da fronteira usando uma transforma¸ao quadr´tica F ∗ , deﬁnindo c˜ c˜ a um elemento ﬁnito curv´lineo, o que corresponde a aproximar a fronteira por um segmento de ı par´bola. a Ao considerar esta nova aproxima¸˜o, que corresponde a considerar a deforma¸˜o do triˆngulo ca ca a de referˆncia num elemento curv´ e ılineo, consegue-se manter a ordem da estimativa de erro obtida para os dom´ ınios poligonais quando se utilizava elementos de Lagrange quadr´ticos, ou seja, a a diferen¸a ||u − uh ||1, volta a ser um O(h2 ), e tem-se ||u − uh ||0, = O(h3 ). Para elementos de c ˜ ˜ Lagrange de ordem superior, c´bicos, etc. deve considerar-se uma transforma¸˜o F ∗ de forma u ca a que a aproxima¸˜o da fronteira tenha a mesma ordem. ca 6.3 Integra¸˜o num´rica ca e Como as formas bilinear e linear deﬁnidas na formula¸˜o variacional s˜o normalmente dadas ca a por integrais, pode ser necess´rio introduzir aproxima¸˜es no c´lculo desses integrais. Essa a co a aproxima¸˜o na forma bilinear pode ser dispens´vel se os integrais apenas envolverem polin´mios, ca a o j´ que ´ f´cil estabelecer a f´rmula a e a o p(x)dx = E ˆ E p(F (ˆ))| det A|dˆ x x e quando o elemento de referˆncia ´ o triˆngulo (2D) tem-se simplesmente e e a xn xm dx = 1 2 n!m! . (n + m + 2)! ˆ E No entanto, quanto ` forma linear, como a fun¸˜o f que aparece no segundo membro ´ arbitr´ria, a ca e a ´ normalmente preciso efectuar uma integra¸˜o num´rica para calcular os termos e ca e ˆx p x x f (ˆ)ˆ(ˆ)dˆ. ˆ E 6.3.1 Integra¸˜o de Gauss em cada elemento ca J´ fal´mos acerca da interpola¸˜o num elemento ﬁnito, mas outra quest˜o que ir´ revelar-se a a ca a a importante ´ considerar a integra¸˜o num elemento ﬁnito, j´ que tendo efectuado a triangula¸˜o e ca a ca 138 teremos de calcular integrais da forma u= h u. E∈ h E a o Para calcular aproximadamente o integral num elemento podemos recorrer `s f´rmulas de quadratura de Gauss. Para isso, tal como no caso unidimensional (em que transportamos o problema para o interˆ valo de referˆncia [−1, 1]), consideramos um elemento de referˆncia E, por exemplo, o triˆngulo e e a ˆ = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}, ou o quadrado E = [−1, 1] × [−1, 1]. ˆ E As f´rmulas de quadratura de Gauss s˜o do tipo o a m ˆ E u ∼ Q(u) = wk u(ˆk ) ˆ z k=1 em que wk s˜o designados por pesos e zk por pontos de Gauss. ˆ a ˆ Quando queremos calcular o integral num outro elemento E que seja equivalente aﬁm do ˆ elemento de referˆncia E podemos transportar o c´lculo do integral usando a mudan¸a de vari´vel e a c a pela transforma¸˜o aﬁm x = F (ˆ) = Aˆ + b, pois ca x x u(x) dx = E ˆ E u(F (ˆ)) | det JF (ˆ) |dˆ = x x x m ˆ E u(F (ˆ)) | det A |dˆ x x ﬁcando assim E u(x) dx ∼ k=1 | det A|wk u(F (ˆk )), ˆ z ou seja, escrevendo wk = | det A|wk , e zk = F (ˆk ), temos ˆ z m E u(x) dx ∼ wk u(zk ). k=1 6.3.2 Caso unidimensional No caso unidimensional, considerando como elemento de referˆncia o intervalo [−1, 1], obtemos e as f´rmulas de integra¸˜o de Gauss-Legendre bem conhecidas exigindo que a f´rmula seja exacta o ca o para os mon´mios, ou seja, o 1 xk dx = Q(xk ). Relembramos que, no caso de um unico ponto, isto corresponde a dizer que ´ k = 0 ⇒ 2 = w1 , k = 1 ⇒ 0 = w1 x1 e a solu¸˜o ´ clara, Q1 (u) = 2u(0), o que corresponde a uma f´rmula de grau 1 e que tem um ca e o erro da ordem O(h2 ). −1 139 Se considerarmos dois pontos, obtemos k = 0 ⇒ 2 = w1 + w2 , k = 1 ⇒ 0 = w1 x1 + w2 x2 k = 2 ⇒ 2 = w1 x2 + w2 x2 , k = 3 ⇒ 0 = w1 x3 + w2 x3 1 2 1 2 3 cuja solu¸˜o ´ w1 = w2 = 1, x1 = − 1/3, x2 = ca e 1/3, tendo-se assim a f´rmula o Q3 (u) = u(− 1/3) + u( 1/3) que ´ de grau 3 e que tem um erro da ordem O(h4 ). e Esta mesma ideia pode ser agora transportada para a integra¸˜o a v´rias vari´veis. ca a a 6.3.3 F´rmulas de Gauss para o Quadrado de Referˆncia o e Desta forma ´ tamb´m poss´ e e ıvel obter f´rmulas de quadratura para o quadrado de referˆncia o e [−1, 1] × [−1, 1], reparando que a integra¸˜o ´ feita separadamente em cada uma das vari´veis, ca e a relacionando assim com o caso unidimensional, 1 −1 1 −1 xk y m dxdy = 1 −1 1 −1 xk dx y m dy. Assim, considerando p1 = (0, 0), a f´rmula Q(u) = 4u(0, 0) continua a ter grau 1, pois, para o p1 = (x1 , y1 ) obtemos 1 1 k = 0 ⇒ −1 −1 1 dxdy = 4 = w1 1 1 k = 1 ⇒ −1 −1 x dxdy = 0 = w1 x1 1 1 e tamb´m −1 −1 y dxdy = 0 = w1 y1 . e Temos ainda −1 −1 xy = 0 = w1 x1 y1 . O res´ ıduo de integra¸˜o ser´ O(h2 ), resultando do mesmo ca a tipo de erros em cada vari´vel. a • Para obter f´rmulas de grau superior, basta considerar quatro pontos com coordenadas o x = ± 1/3, y = ± 1/3. Com efeito, 1 1 k = 0 ⇒ −1 −1 1 dxdy = 4 = w1 + w2 + w3 + w4 1 1 k = 1 ⇒ −1 −1 x = 0 = w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 + w4 x4 1 1 ⇒ −1 −1 y = 0 = w1 y1 + w2 y2 + w3 y3 + w4 y4 etc... ´ ainda uma f´rmula de grau 3... repare-se que h´ 12 inc´gnitas, tendo-se um res´ e o a o ıduo de integra¸˜o de ordem O(h4 ). ca 1 1 140 6.3.4 F´rmulas de Gauss para o Triˆngulo de Referˆncia o a e No caso de triˆngulos, as f´rmulas s˜o semelhantes. Mas vejamos como deduzir a localiza¸˜o de a o a ca um ponto de Gauss no triˆngulo de referˆncia, a e k = 0 ⇒ E 1 dxdy = 1/2 = w1 ˆ k = 1 ⇒ E x dxdy = w1 x1 ˆ ⇒ E y dxdy = w1 y1 ˆ Para calcular os integrais sobre o elemento de referˆncia, vemos que, e 1 ˆ E 1−x f (x, y)dxdy = 0 1 0 f (x, y)dydx, x2 x3 1 1 1 1 − ]0 = − = 2 3 2 3 6 e assim ˆ E 1 1−x x= 0 0 xdydx = 0 x(1 − x)dx = [ 1 0 e de forma semelhante 1 ˆ E 1−x 1 y= 0 0 ydydx = 0 [ y 2 1−x ] dx = 2 0 (1 − x)2 (1 − x)3 1 1 1 dx = [− ]0 = 0 + = 2 6 6 6 Retiramos assim, 1 1 1 x1 = , y1 = , w1 = 3 3 2 e obtemos Q1 , a f´rmula que ´ exacta para polin´mios de grau 1, usando um unico ponto (o o e o ´ baricentro), 1 1 1 Q1 (f ) = f ( , ), 2 3 3 notando que o res´ ıduo desta f´rmula ´ da ordem O(h2 ). o e Atrav´s de outras rela¸˜es, e co xy = 1 , 24 x2 = 1 , 12 y2 = 1 12 ˆ E ˆ E ˆ E podemos obter f´rmulas correctas para polin´mios de grau 2, o o Q3 (f ) = 1 6 1 1 2 1 1 2 f( , ) + f( , ) + f( , ) , 6 6 3 6 6 3 em que todos os pontos s˜o interiores, ou ainda a Q3 (f ) = 1 6 1 1 1 1 f ( , 0) + f (0, ) + f ( , ) , 2 2 2 2 com pontos sobre a fronteira. Ambas estas f´rmulas tˆm um res´ o e ıduo O(h3 ) (cf. [16]). Um exemplo de f´rmula exacta para polin´mios com grau 3 ´ o o e Q4 (f ) = 25 96 1 1 1 3 3 1 27 1 1 f( , ) + f( , ) + f( , ) − f( , ) , 5 5 5 5 5 5 96 3 3 141 que tem um res´ ıduo O(h4 ). (0.6 , 0.2) ^ E (1/3 , 1/3) (0, 1/2) (1/2, 1/2) ^ E (1/2 ,0) (1/3 , 1/3) (0.2 , 0.2) (0.6 , 0.2) O(h2 ) O(h3 ) O(h4 ) Figura 6.3.1: Alguns exemplos para a localiza¸ao dos pontos de Gauss (para o triˆngulo de c˜ a referˆncia) e ordem de aproxima¸ao para integra¸ao num´rica respectiva. e c˜ c˜ e 6.3.5 O erro na integra¸˜o num´rica ca e Consideramos duas solu¸˜es: co uh − solu¸˜o exacta do problema variacional discreto b(uh , vh ) = l(vh ), ∀vh ∈ Vh , ca uh − solu¸˜o aproximada do problema variacional discreto b(˜h , vh ) = ˜ h ), ∀vh ∈ Vh , ˜ ca u l(v em que a aproxima¸˜o ˜ consiste em substituir os integrais exactos por integrais aproximados. ca l Note-se que quer uh , quer uh , pertencem a Vh . ˜ ´ E imediato que, sendo ˜ a aproxima¸˜o de l, que corresponde a aproximar os integrais pelas l ca regras de quadratura, temos, b(uh − uh , vh ) = (l − ˜ h ). ˜ l)(v Pela coercividade de b, obtemos (fazendo vh = uh − uh ), ˜ α||uh − uh ||2 ≤ (l − ˜ h − uh ), ˜ V l)(u ˜ ou seja ||uh − uh ||V ≤ ˜ Nota: Com efeito, podemos mesmo obter ||uh − uh ||V ≤ ˜ 1 (l − ˜ h ) l)(v sup , α 0=vh ∈Vh ||vh ||V (6.18) 1 ||l − ˜ V . l|| α (6.17) que ´ uma desigualdade melhor que a anterior porque o valor ||l − ˜ V ´ deﬁnido como e l|| e ||l − ˜ V = sup l|| 0=v∈V (l − ˜ l)(v) ||v||V e aqui o supremo seria procurado num conjunto maior V ⊃ Vh . 142 Lema 6.3.1 Consideremos uma f´rmula de quadratura exacta para polin´mios de grau M, ou o o seja, N I(p) = ˆ E p(x)dx = k=1 wk p(ˆk ) = Q(p). ˆ z Ent˜o, existe uma constante C > 0 : a |I(f ) − Q(f )| ≤ C|f |C m+1 (E) , ˆ ˆ e em que a seminorma em C m+1 (E) ´ deﬁnida por |f |C m+1 (E) = max ||∂ α f ||∞,E . ˆ ˆ |α|=m+1 Demonstra¸˜o: ca Como a f´rmula ´ exacta para polin´mios de grau M, ou seja, p ∈ PM , ent˜o I(p) = Q(p), o e o a e portanto N |I(f ) − Q(f )| = |I(f − p) − Q(f − p)| = N ˆ E (f − p) − k=1 wk (f − p)(ˆk ) ˆ z ≤ Por um lado ˆ E (f ˆ E (f − p) + k=1 wk |(f − p)(ˆk )| . ˆ z ˆ − p) ≤ |E| ||f − p||∞,E e por outro lado ˆ N k=1 wk |(f − p)(ˆk )| ≤ C0 ||f − p||∞,E , ˆ z ˆ com C0 = N ˆ k=1 wk . Somando, para qualquer p ∈ PM , obtemos |I(f ) − Q(f )| ≤ C1 ||f − p||∞,E . ˆ Assim, escolhendo p o polin´mio de grau M dado pelo desenvolvimento em s´rie de Taylor em o e ˆ zero, retiramos imediatamente o resto de Lagrange para qualquer x ∈ E, f (x) − p(x) = |α|=M+1 xα α ∂ f (ξα ), α! ˆ ˆ ˆ com ξα ∈ E. Como x ∈ E, ent˜o |x| ≤ 1 e pela deﬁni¸˜o de seminorma em C m+1 (E), a ca ||f − p||∞,E ≤ ˆ e obt´m-se a estimativa. e |α|=M+1 1 α ||∂ f ||∞,E ≤ C2 |f |C m+1 (E) ˆ ˆ α! 143 ˆ Corol´rio 6.3.1 Seja Q uma f´rmula de integra¸ao de Gauss exacta em E para polin´mios de a o c˜ o grau m ≥ 1. Se m ≥ 2.consideramos M ≥ m. Ent˜o existe C > 0 : a ∀f ∈ C M−m+2 , ∀p ∈ PM , |I(f p) − Q(fp)| ≤ C(|f |C M−m+2 ||p||L2 + |f |C M −m+1 |p|H 1 ) Demonstra¸˜o: Cf.. [15]. ca Lema 6.3.2 Seja vh uma fun¸ao de Vh ⊂ H 1 ( ), espa¸o de aproxima¸ao usando elementos de c˜ c c˜ Lagrange de grau m ≥ 1. Consideramos N (6.19) l(vh ) = fvh , ˜ h ) = l(v k=1 wk (f vh )(zk ) Se tivermos M ≥ 2m − 1, podemos obter para f ∈ C m+1 ( ), em que ˜ ´ dada por uma f´rmula de quadratura exacta para PM com M ≥ 2m − 2. Ent˜o se l e o a m ( ), f ∈C |l(vh ) − ˜ h )| ≤ C hm ||f ||C m ( ) ||vh ||H 1 ( ) . l(v |l(vh ) − ˜ h )| ≤ C hm+1 ||f ||C m+1 ( ) ||vh ||H 1 ( ) . l(v Demonstra¸˜o: ca Pelo corol´rio, como f ∈ C m , temos M −m+2 ≥ m, e obtemos para o elemento de referˆncia a e ∀p ∈ PM , | ˆ E ˆ E, ˆx x x f (ˆ)p(ˆ)dˆ − ˆ wk (f p)(ˆk )| ≤ C||f ||C m (E) ||p||H 1 (E) , ˆ ˆ z ˆ ˆ ˆ ˆ em que f = f ◦ F. Fazendo a mudan¸a de vari´vel para E = F (E), temos c a ∀p ∈ PM , | E f (x)p(x)dx − wk (f p)(zk )| = | det A| | ˆ E ˆx x x f (ˆ)p(ˆ)dˆ − wk (f p)(ˆk )|. ˆ ˆ z Aplicando agora as desigualdades ||Dk v|| ≤ ||A||k ||Dk v|| obtidas no Lema 6.1.3 conclu´ ˆ ımos que ˆ ||f ||C m (E) ≤ ||A||m ||f ||C m (E) ˆ e por outro lado, efectuando a mudan¸a de vari´veis nos integrais temos ||p||H 1 (E) ≤ | det A|−1/2 ||p||H 1 (E) . c a ˆ m ||f || m ˆ ˆ Pelo Lema 6.1.2 temos ||A|| ≤ C hE e portanto ||f ||C m (E) ≤ ChE ˆ C (E) . Assim, ˆ ||f ||C m (E) ||p||H 1 (E) ≤ C| det A|1/2 hm ||f ||C m (E) ||p||H 1 (E) ˆ ˆ E e obtemos ∀p ∈ PM , | f (x)p(x)dx − wk (fp)(zk )| ≤ C|E|1/2 hm ||f ||C m (E) ||p||H 1 (E) E E ˆ j´ que | det A| = |E|/|E|. Esta ´ a express˜o para o erro em cada elemento E. a e a 144 A express˜o do erro |l(vh ) − ˜ h )| ´ dada pela soma dos erros nos v´rios elementos, tendo a l(v e a em aten¸˜o que hE ≤ h e que vh em cada E ´ um polin´mio vh|E ∈ PM , pelo que podemos usar ca e o a estimativa anterior, ﬁcando com |l(vh )− ˜ h )| ≤ l(v | f (x)vh (x)dx− E E∈Th wk (f vh )(zk )| ≤ E∈Th C|E|1/2 hm ||f ||C m (E) ||vh ||H 1 (E) . a2 )1/2 ( n b2 )1/2 , n Finalmente, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz para somas, an bn ≤ ( temos  1/2  1/2 E∈Th Portanto, como ||f ||C m (E) ≤ ||f ||C m ( ) , retiramos |E|1/2 ||vh ||H 1 (E) ≤  E∈Th |E|  E∈Th ||vh ||2 1 (E)  H = | |1/2 ||vh ||H 1 ( ) . |l(vh ) − ˜ h )| ≤ C hm ||f ||C m ( ) ||vh ||H 1 ( ) . l(v a a A outra desigualdade ´ obtida de forma semelhante, aplicando o corol´rio para f ∈ C m+1 , j´ e que assim temos M − m + 2 ≥ m + 1. • Este resultado permite obter estimativas (considerando vh = 1), para N |I(f ) − Q(f )| = | Assim, temos f− wk f (zk )|. k=1 |I(f ) − Q(f )| ≤ C hm ||f ||C m ( ) , para uma f´rmula de quadratura Q exacta para polin´mios de grau M ≥ 2m − 2, no caso de o o f ∈ C m ( ). Assim, se M = 0 (a f´rmula de quadratura ´ exacta para constantes) podemos ter o e 1 obtemos um erro de integra¸˜o O(h). m = 1 e se f ∈ C ca No caso de f ∈ C m+1 ( ) e M ≥ 2m − 1, podemos obter |I(f ) − Q(f )| ≤ C hm+1 ||f ||C m+1 ( ) . Assim, no caso em que M = 1 (a f´rmula de quadratura ´ exacta para polin´mios de grau o e o 2 ) desde que f ∈ C 2 , pois basta considerar m = 1 nesta segunda 1) obtemos um erro O(h desigualdade. Teorema 6.3.1 Seja u ∈ C m+2 ( ¯ ) a solu¸ao exacta de − u = f e uh a solu¸ao aproximada c˜ ˜ c˜ usando elementos de Lagrange de grau m ≥ 1 e uma f´rmula Q exacta para PM com M ≥ 2m−2. o Temos a estimativa ||u − uh ||1, ≤ C hm ||u||C m+2 ( ¯ ) . ˜ Se ´ um pol´gono convexo, para M ≥ 2m − 1, com u ∈ C m+3 ( ¯ ), temos e ı ||u − uh ||0, ≤ C hm+1 ||u||C m+3 ( ¯ ) . ˜ 145 (6.21) (6.20) 1 Demonstra¸˜o: Pela f´rmula (6.18) aplicada a V = H0 ( ) e pelo lema anterior, ca o |u − uh |1, ≤ C hm ||f ||C m ( ) . ˜ Aplicando a desigualdade de Poincar´ estabelecemos a majora¸˜o em ||u − uh ||1, notando e ca ˜ tamb´m que ||f ||C m ( ) = || u||C m ( ) ≤ C||u||C m+2 ( ) . A estimativa em ||u − uh ||0, ´ uma e ˜ e consequˆncia de (6.16). e Note-se que este resultado assume regularidade na fun¸˜o f ∈ C m ( ¯ ) e na demonstra¸˜o foi ca ca tamb´m provado que e ˜ ||u − uh ||1, ≤ C hm ||f ||C m ( ) , o que constitui uma estimativa de erro em f. Por exemplo, para f ∈ C 1 ( ¯ ),se trabalharmos com elementos de Lagrange lineares e usarmos uma f´rmula de quadratura exacta para constantes o (M = 0), obtemos ||u − uh ||1, = O(h). Se a fun¸˜o f ∈ C 2 e usarmos elementos de Lagrange ˜ ca quadr´ticos com uma f´rmula exacta para polin´mios de grau 2, ent˜o ||u − uh ||1, = O(h2 ). a o o a ˜ Apesar de termos enunciado o resultado para o laplaciano, seguindo os passos da demonstra¸˜o, ´ poss´ estabelecer o mesmo resultado para outros operadores el´ ca e ıvel ıpticos, desde que os coeﬁcientes sejam regulares (aij ∈ C m ( ¯ )). 146 Cap´ ıtulo 7 Complementos - M´todo de Galerkin e 7.1 7.1.1 M´todo de Galerkin-Estrutura do Sistema Linear e Numera¸˜o dos n´s e dos triˆngulos ca o a Ap´s efectuar a triangula¸˜o h´ que proceder ` numera¸˜o de elementos e dos n´s. H´ que ter o ca a a ca o a em aten¸˜o que existe uma numera¸˜o global de um n´ (relativa a todos os n´s na triangula¸˜o) ca ca o o ca e uma numera¸˜o local (enquanto n´ que deﬁne um triˆngulo, ou outro elemento). A numera¸˜o ca o a ca global de um n´ pode ser dada atrav´s da numera¸˜o do triˆngulo e da numera¸˜o local do n´! E o e ca a ca o ´ assim motivada a introdu¸˜o de uma matriz booleana (constitu´ por zeros e uns) que permita ca ıda relacionar a posi¸˜o dos n´s na numera¸˜o local e global. ca o ca Podemos estabelecer uma rela¸˜o entre a numera¸˜o local e a numera¸˜o global atrav´s de ca ca ca e uma aplica¸˜o ca ΛE : xE,j −→ xi que associa o n´ j do elemento E ao n´ i na numera¸˜o global. A aplica¸˜o ΛE pode ser deﬁnida o o ca ca atrav´s de uma matriz de zeros e uns (a matriz booleana). e ΛE identiﬁca-se a uma matriz de dimens˜o N ×nE em que nE ´ o n´mero de n´s no elemento a e u o E e N ´ o n´mero total de n´s. A matriz transposta de ΛE ser´ uma sua inversa ` esquerda, e u o a a pois ΛT ΛE = InE ×nE . Um caso t´ ıpico, para elementos triangulares ´ considerar matrizes N × 3. e E Por exemplo,   1 0 0 0 0 0 0 ΛT =  0 0 0 1 0 0 0  E 0 0 1 0 0 0 0 3×7 (1) (2) (3) diz-nos que os v´rtices xE , xE , xE do triˆngulo E s˜o dados atrav´s dos n´s globais x(1) , x(4) , x(3) , e a a e o j´ que a  (1)   (1)    x xE x(1)  (2)  .  T  xE  = ΛE  .  =  x(4)  . . (3) (7) x(3) x xE A colec¸˜o Λ = {Λ(1) , ..., Λ(NE ) } (aqui NE indica o n´mero de elementos existentes na ca u 147 triangula¸˜o) d´-nos as rela¸˜es entre os v´rias numera¸˜es locais e as numera¸˜es globais. ca a co a co co x(3) x(1) [1] [3] [3] [1] [3] x(6) E3 E2 [2] [2] [3] E1 [2] x(4) [1] [1] [3] x(7) E4 [2] [2] x(2) [1] E5 x(5) Figura 7.1.1: Numera¸ao local dos n´s (entre parentesis rectos) e numera¸ao global (valores c˜ o c˜ (1) a x(7) ). O caso apresentado como exemplo corresponde ao elemento E . de x 1 7.1.2 Sistema Linear Vamos agora analisar o sistema linear que ´ obtido atrav´s da passagem da numera¸˜o local e e ca para numera¸˜o global. ca Consideremos uma fun¸˜o escrita na base do espa¸o aproximado Vh , ca c u= ı uı ψı Veriﬁcando-se a rela¸˜o, ca b(u, w) = l(w), para cada w igual ` fun¸˜o base, obtemos o sistema a ca m i=1 b(ψı , ψj )uı = l(ψj ), ∀j = 1, ..., m, pois basta veriﬁcar para as fun¸˜es base w = ψj , para assegurarmos que ´ veriﬁcado para todos co e os w ∈ Xm , devido ` linearidade de l e de b(u, ·). O n´mero de inc´gnitas no problema depende a u o da dimens˜o do espa¸o aproximado Vh , que designaremos por N = dim(Vh ). a c [b(ψı , ψj )]N×N [uı ]N ×1 = [l(ψj )]N ×1 . A matriz B = [b(ψı , ψj )]N×N (que ´ por vezes designada matriz de rigidez) pode ser constru´ e ıda de forma particular. Como ψı (x) = 0, se x n˜o pertencer a um elemento adjacente ao n´ i, o a o c´lculo ir´ reduzir-se aos elementos adjacentes aos n´s i e j. Com o vector y = [l(ψj )]N×1 ir´ a a o a passar-se o mesmo. Vejamos isto, com mais detalhe, j´ que nos ir´ reduzir a um problema local. a a 148 Elementos de Lagrange Reescrevemos ψi (x) = E=1 NE ΛE φE (x) i em que φE = (φE , ..., φEE ) ´ um vector que cont´m todas as fun¸˜es base do elemento E e e e co n 1 ΛE ´ a linha i da matriz booleana do elemento E. O sinal ∪ signiﬁca que se percorrem todos os e i elementos e depois o produto da linha ΛE com o vector φE faz aparecer apenas as fun¸˜es base co i de E correspondentes ao n´ i. o No caso mais simples, de elementos de Lagrange lineares num triˆngulo, trata-se de φE = a E , φE , φE ) em que cada uma das componentes ´ uma fun¸˜o base local deﬁnida sobre cada (φ1 2 3 e ca um dos trˆs v´rtices. Assim, se ΛE = [0 0 1] isto signiﬁca que a numera¸˜o local do n´ i ´ 3, e e ca o e i E φE ir´ aparecer apenas φE . por isso, quando fazemos o produto Λi a 3 Usando a bilinearidade da forma, obtemos NE nE E ΛE ΛE b(φE , φm ), in jm n E=1 n,m=1 b(ψi , ψj ) = o que signiﬁca que a forma calculada para as fun¸˜es base globais ψi , ψj se resume ` soma da co a E , φE desde que estas fun¸˜es base indexadas forma calculada para as fun¸˜es de base locais φn m co co por (E, n) e (E, m) correspondam a uma numera¸˜o dos n´s i e j. ca o Podemos assim deﬁnir NE nE b(ψi , ψj ) = E=1 n,m=1 E ΛE Bnm ΛE , in jm em que B E ´ uma matriz local nE × nE (no caso Lagrange linear, 3 × 3) para o elemento E, e dada por E E Bnm = b(φn , φE ). m De forma semelhante, o segundo membro do problema variacional vem NE nE l(ψj ) = E=1 m=1 ΛE l(φE ), jm m e podemos deﬁnir um vector local yE de dimens˜o nE × 1, a E E ym = l(φm ). O sistema global, N × N (em que N ´ o n´mero global de n´s), e u o Bu = y escreve-se N NE nE E ΛE Bnm ΛE ui = in jm i=1 E=1 n,m=1 E=1 m=1 NE nE E ΛE ym jm 149 ou mais abreviadamente NE NE Λ B (Λ ) u = E=1 E=1 E E E T ΛE yE Isto permite colocar em evidˆncia a estrutura do sistema em termos de blocos de matrizes, e j´ que a matriz resulta da soma de transforma¸˜es de blocos B E , o mesmo se passando relatia co vamente ao vector. Quando ´ os blocos B E s˜o iguais isto simpliﬁca consideravelmente os c´lculos, j´ que basta e a a a calcular um desses blocos. Isso acontece quando os coeﬁcientes do operador el´ ıptico s˜o cona ´ stantes e os elementos s˜o iguais. E o caso do operador de Laplace quando se consideram a elementos que diferem apenas por transla¸˜o, como vemos no pr´ximo exemplo. ca o Exemplo. A forma bilinear para a equa¸˜o de Poisson aplicada `s fun¸˜es base d´-nos o ca a co a valor Bij da matriz de rigidez, Bij = b(ψı , ψj ) = h ψı . ψj . Portanto, neste caso, reduzimos o c´lculo a a Mij ψı . ψj , k=1 Eijk em que Eij1 , ..., EijMij s˜o os Mij elementos adjacentes simultaneamente aos n´s i e j. a o Consideremos um dom´ ınio que ´ um quadrado, e efectuamos uma malhagem com elementos e rectangulares, que ser˜o pequenos quadrados, tal como na discretiza¸˜o por diferen¸as ﬁnitas. a ca c A numera¸˜o utilizada nas diferen¸as ﬁnitas, na Fig.2.2.5, produz uma matriz tridiagonal por ca c blocos, para o caso de uma aproxima¸˜o de Lagrange com polin´mios em Q1 , ou seja, ca o   K L 0 ··· 0  .  .. ..  L K . . .  .     .. .. .. B= 0 . . . 0 ,    . .. .. ..  .  . . . . L  0 ··· 0 L K em que cada bloco K ou L ´ ainda uma matriz tridiagonal. Curiosamente, neste caso, pode e mesmo constatar-se que a resolu¸˜o por elementos ﬁnitos coincide com a resolu¸˜o por diferen¸as ca ca c ﬁnitas! Resolu¸˜o do Sistema Linear. ca Como a matriz do sistema linear ´ deﬁnida positiva, podemos aplicar m´todos adequados e e ca o a ` resolu¸˜o desse tipo de sistemas. Por outro lado, com uma numera¸˜o conveniente dos n´s ca podemos obter estruturas das matrizes por blocos que permitem tamb´m reduzir o tempo de e c´lculo na resolu¸˜o do sistema. No caso em que a forma bilinear ´ sim´trica, a matriz tamb´m a ca e e e ﬁca sim´trica e podem aplicar-se m´todos bem adaptados a este tipo de matrizes, como o m´todo e e e ca e a de Cholesky. O caso sim´trico, correspondendo a um problema de minimiza¸˜o ´ ainda favor´vel e a ` resolu¸˜o do sistema atrav´s do m´todo do gradiente conjugado. ca e e 150 7.2 7.2.1 Outras Condi¸oes de Fronteira c˜ Condi¸˜o de Dirichlet n˜o homog´nea ca a e At´ aqui concentr´mo-nos no problema de Dirichlet homog´neo para a equa¸˜o de Poisson e a e ca − u = f. Como j´ referimos no in´ a ıcio, se tivermos condi¸˜es de Dirichlet n˜o homog´neas, co a e 2 ( ) cujo u = g, em ∂ , uma simples mudan¸a de vari´vel, u = u − g , para um qualquer g ∈ H c a ˜ ˜ ˜ tra¸o em ∂ seja g, permite considerar − u = f + g e o problema variacional c ˜ ˜ 1 Encontrar u = u − g ∈ H0 ( ) : ˜ ˜ 1 ˜ u · v = (f + g )v , ∀v ∈ H0 ( ) ˜ Reparamos que o segundo integral se reduz a (f + g )v = ˜ fv − g . v, ˜ e isto permite simpliﬁcar a express˜o variacional a u· ˜ v= (f + g )v ⇐⇒ ˜ (˜ + g ) · u ˜ v= f v. Isto justiﬁca a aproxima¸˜o da solu¸˜o do problema n˜o homog´neo considerando ainda a ca ca a e 1 formula¸˜o variacional em H0 ( ) e exigindo que u = g na fronteira. ca Regularidade. Obtemos uma solu¸˜o forte u ∈ H 2 ( ), quando o dom´ ca ınio tem fronteira regular1 (classe C 2 ), ou ´ um pol´ e ıgono convexo2 (caso bidimensional3 ), desde que g ∈ H 3/2 (∂ ), f ∈ L2 ( ). Como u = u + g , ﬁcamos com o problema simpliﬁcado ˜ ˜   Encontrar u ∈ H 1 ( ) : 1 u − g ∈ H0 ( ), ˜  1 u· v = f v , ∀v ∈ H0 ( ). 7.2.2 Condi¸˜o de Neumann ca No caso do problema de Neumann homog´neo ∂n u = 0, sobre ∂ , e a solu¸˜o ´ apenas unica e ca e ´ a menos de constante aditiva. Neste caso devemos considerar o espa¸o H 1 ( )/R em que conc siderando a rela¸˜o de equivalˆncia u ∼ v ⇔ u − v = c em que c ´ uma constante real. ca e e Este espa¸o ´ um caso particular do espa¸os H m+1 ( )/Pm . Repare-se que se m = 0, temos c e c exactamente H 1 ( )/P0 = H 1 ( )/R. Portanto podemos recuperar os resultados j´ provados e a concluir por exemplo que a seminorma |v|∗ ´ a seminorma |v|1, que ´ equivalente ` norma e e a 1, (lema de Bramble-Hilbert). Tamb´m se pode estabelecer o resultado para dom´ e ınios de classe C 1,1 , ou seja, C 1 com derivadas Lipschitz cont´ ınuas. 2 Consideramos ∂ = N Γk , em que Γk s˜o segmentos de recta. Desta forma, quando escrevemos g ∈ a k=1 H 3/2 (∂ ) signiﬁca que g|Γk ∈ H 3/2 (Γk ). 3 No caso tridimensional, o resultado correspondente para poliedros ´ v´lido apenas se g = 0 (cf. [9]). e a 1 151 Assim, a formula¸˜o variacional pode ser feita usando o espa¸o H 1 ( )/R, correspondendo a ca c Encontrar u ∈ H 1 ( )/R : u· v = f v , ∀v ∈ H 1 ( )/R. N˜o querendo voltar a repetir a equivalˆncia entre a solu¸˜o fraca e a solu¸˜o forte, aqui ´ a e ca ca e importante reparar como se conclui que a derivada normal ´ nula na fronteira, come¸ando por e c notar que ´ necess´rio assumir que u ∈ H 2 ( ) para que o tra¸o normal ∂n u ∈ H 1/2 (∂ ) e assim e a c seja uma fun¸˜o. A formula¸˜o variacional ´ tamb´m poss´ usando o espa¸o H 1 ( ), pelo que ca ca e e ıvel c vamos supor que u ∈ H 2 ( ) ´ solu¸ao do problema e c˜ u· Pela f´rmula de Green temos o u· v=− uv+ ∂ v= f v , ∀v ∈ H 1 ( ). ∂n u v = fv+ ∂ ∂n u v. Subtraindo as duas igualdades, conclui-se que ∂n u v = 0, ∀v ∈ H 1 ( ), ∂ ∞ como os tra¸os de fun¸˜es H 1 ( ) s˜o fun¸˜es H 1/2 (∂ ), que incluem fun¸˜es Cc (∂ ), que s˜o c co a co co a 2 (∂ ). Conclu´ 2 (∂ ), e portanto ∂ u = 0, æ. ∂ . densas em L ımos que ∂ ∂n u v = 0, ∀v ∈ L n • Condi¸oes n˜o homog´neas. c˜ a e Suponhamos que ∂n u = g. Neste caso a formula¸˜o variacional ´ ligeiramente diferente. ca e Da f´rmula de Green obtemos, o u· v=− uv+ ∂ ∂n u v = f v+ ∂ g v, pelo que estabelecemos o problema variacional Encontrar u ∈ H 1 ( )/R : u· v = fv+ ∂ g v , ∀v ∈ H 1 ( )/R. A forma bilinear ´ a mesma e o espa¸o tamb´m. A unica diferen¸a ´ que a forma linear passou e c e ´ c e a ser l(v) = fv+ gv. ∂ Regularidade. O caso do problema de Neumann ´ semelhante ao caso Dirichlet, obtemos uma e solu¸˜o forte u ∈ H 2 ( ), quando o dom´ ca ınio tem fronteira regular ou ´ um pol´ e ıgono convexo, desde que g ∈ H 1/2 (∂ ), f ∈ L2 ( ). 152 7.2.3 Condi¸oes mistas Dirichlet-Neumann c˜ • Separamos a fronteira em duas partes ∂ = γ ∪ (∂ \γ). Na parte γ consideramos condi¸oes de c˜ Dirichlet, e na parte restante condi¸˜es de Neumann. Come¸amos por ver o caso em que ambas co c s˜o nulas, ou seja a u = 0, sobre γ, ∂n u = 0, sobre ∂ \γ, o problema ´ colocado no espa¸o e c 1 1 que ´ um subespa¸o fechado de H 1 ( ) veriﬁcando-se H0 ( ) ⊂ H0,γ ( ) ⊂ H 1 ( ). e c 1 O problema variacional consiste em encontrar u ∈ H0,γ ( ) : 1 H0,γ ( ) = {u ∈ H 1 ( ) : u = 0 sobre γ}, u· v= 1 f v , ∀v ∈ H0,γ ( ). 1 Exerc´ ıcio: Mostrar que os problemas s˜o equivalentes se u ∈ H 2 ( ) ∩ H0,γ ( ). Veriﬁcar as a condi¸˜es de aplicabilidade do Teorema de Lax-Milgram. co Observa¸˜o: Aquando da discretiza¸˜o, o espa¸o Vh ´ neste caso gerado tamb´m por fun¸˜es ca ca c e e co base que n˜o se anulam na fronteira, pelo que n˜o se devem apenas considerar fun¸˜es de base ψi a a co para n´s xi interiores, mas tamb´m para os n´s na fronteira que n˜o tem condi¸˜es de Dirichlet o e o a co nulas. A condi¸˜o de Neumann nula n˜o ´ imposta na fronteira. Ela resulta do facto de se ter ca a e pela f´rmula de Green o fv= u· v=− uv+ ∂ ∂n u v = fv+ ∂ \γ ∂n u v, 1 para v ∈ H0,γ ( ), j´ que v = 0 em γ. Conclui-se que, a ∂ \γ ∂n u v = 0, ∀v ∈ H 1 ( ), ∂ \γ e como no caso das condi¸˜es de Neumann, conclu´ co ımos que portanto ∂n u = 0, æ. ∂ \γ. u = g0 , sobre γ, ∂n u = g1 , sobre ∂ \γ, ∂n u v = 0, ∀v ∈ L2 (∂ \γ), e • No caso em que as condi¸˜es n˜o s˜o homog´neas, ou seja, co a a e 1 o problema variacional ´ colocado no espa¸o H0,γ ( ), e consiste em e c  1  Encontrar u ∈ H ( ) : 1 ( ), u − g0 ∈ H0,γ ˜  1 u· v = f v + ∂ \γ g1 v , ∀v ∈ H0,γ ( ). Quando γ = ∂ obtemos a formula¸˜o variacional j´ encontrada para o problema de Dirichlet, ca a e quando γ = ∅ encontramos a formula¸˜o variacional em H 1 ( ) para o problema de Neumann. ca Regularidade. No problema de Dirichlet-Neumann h´ uma diﬁculdade com os resultados de a a e regularidade, j´ que para um dom´ a ınio poligonal convexo , com f ∈ L2 ( ) n˜o ´ normalmente a poss´ obter solu¸˜o forte u ∈ H 2 ( ), ao contr´rio do que acontecia no caso do problema de ıvel ca Dirichlet. 153 7.3 7.3.1 Outros Problemas El´ ıpticos Bilaplaciano (equa¸˜o das placas) ca O m´todo dos elementos ﬁnitos pode aplicar-se a operadores el´ e ıpticos de ordem p > 2, como ´ e o caso do bilaplaciano, 2 u = ( u). No caso bidimensional, 2 4 4 4 u = (∂xxxx + 2∂xxyy + ∂yyyy )u. 2 a que se associa a formula¸˜o variacional em H0 ( ) ca Um problema de fronteira cl´ssico para o bilapaciano ´ a e  2 em u=f  u=0 sobre ∂  ∂n u = 0 sobre ∂ u v= 2 f v, ∀v ∈ H0 ( ). Esta formula¸˜o variacional pode ser obtida atrav´s de uma aplica¸˜o da f´rmula de Green. ca e ca o 2 ( ), se u ∈ H 4 ( ) ∩ H 2 ( ) ´ solu¸˜o fraca (solu¸˜o do problema Vejamos que, dado f ∈ L e ca ca 0 variacional) ent˜o ´ tamb´m solu¸˜o forte do problema. a e e ca 2 Como u ∈ H0 ( ), ent˜o os seus tra¸os veriﬁcam u = 0, ∂n u = 0 (ver apˆndice). a c e 2 ( ), podemos considerar qualquer Efectuando a substitui¸˜o w = u, que ´ uma fun¸˜o de H ca e ca ∞ 2 v ∈ Cc ( ) ⊂ H0 ( ), para obter u v= e wv=− Assim, u v= wv− v∂n w + ∂ ∂ w v=− w· w· v+ ∂ v+ ∂ w ∂n v v ∂n w. w ∂n v. ∞ Como v ∈ Cc ( ), as fun¸˜es tˆm suporte compacto e os tra¸os veriﬁcam v = 0, ∂n v = 0 em co e c ∂ , portanto ﬁcamos com fv= ou seja, ( 2 u v= 2 u v, ∞ u − f )v = 0, ∀v ∈ Cc ( ), pelo que se conclui que 2 u − f ∈ L2 ( ) ´ uma fun¸˜o nula, usando o Teorema.4.2.2. e ca e a Repetindo os passos no sentido inverso, partindo de 2 u = f, ´ f´cil concluir que fv= ∞ u v, ∀v ∈ Cc ( ). 154 ∞ 2 Portanto, por densidade de Cc ( ) em H0 ( ), em que podemos estabelecer um produto interno dado por u, v temos fv= 2 H0 ( ) = u v, 2 u v, ∀v ∈ H0 ( ), e se u ´ solu¸˜o forte ent˜o tamb´m ser´ solu¸˜o fraca. e ca a e a ca 2 Observa¸˜o: Referimos que em H0 ( ) podemos estabelecer um produto interno dado por ca u, v 2 H0 ( ) = u v, m isso resulta da generaliza¸˜o da desigualdade de Poincar´ para H0 ( ) com m ≥ 1 (tamb´m ca e e designada desigualdade de Poincar´-Friedrichs): e • Seja um dom´nio conexo e limitado numa direc¸ao. Existe uma constante Cm, > 0 tal ı c˜ que m ||v||m, ≤ Cm, |v|m, , ∀v ∈ H0 ( ). Assim, temos uma equivalˆncia entre a norma e a seminorma, e ´ f´cil mostrar que e e a |v|2, = || v||0, , integrando por partes. H −2 ( 2 Exerc´ ıcio: Mostrar que o problema variacional est´ bem posto em H0 ( ), supondo f ∈ a ). 7.3.2 Elasticidade linear Consideremos o problema de Dirichlet homog´neo associado ` equa¸˜o da elastoest´tica linear e a ca a − =f u=0 ∗u em , sobre ∂ , em que ∗ u = σij (u) =λ div(u)I + µ( u + ( u)T ), ´ o tensor das tens˜es e em que ∗ u = e o ∗ · ∗ u. Deﬁnindo tamb´m ∂n u = ∗ u · n, temos uma nota¸˜o que ´ consistente simbolicamente e ca e com a segunda f´rmula de Green, tendo-se o ∗ u·v− ∗ v·u= ∂ ∗ ∂n u · v− ∂ ∗ ∂n v · u . O correspondente ` primeira f´rmula de Green ´ ligeiramente diferente, pois temos a o e ∗ u·v+ ∗ u: + v= ∂ ∗ ∂n u · v, em que usamos a nota¸˜o + v = 1 ( v + ( v)T ), quantidade que representa o tensor de ca 2 deslocamentos e tamb´m ´ vulgarmente representada por εij (v). A matriz + v representa e e 155 a parte sim´trica da matriz v, notando que v = + v + − v, onde − v representa a e parte anti-sim´trica dada por − v = 1 ( v − ( v)T ). Finalmente, notamos que o produto e 2 representado por : ´ o produto tensorial, a : b = i,j aij bij . e Como podemos escrever ∗ u = λ( ·u)I+2µ + u, e reparando que I : + v = ·v, obtemos ∗ u: + v =λ( · u)( · v) + 2µ( ∗ + + u: + v), v: + havendo assim uma simetria neste termo, ou seja, tividade, ∗ u : + u ≥ 0. u: v= ∗ u, e tamb´m posie 1 Assumindo que v ∈ H0 ( )d = {v ∈ (H 1 ( ))d : v = 0 em ∂ }, tem-se − f ·v+ ∗ u: + v=0 1 1 e ﬁca deﬁnida a forma bilinear em H0 ( )d × H0 ( )d , b(u, v) = ∗ u: + v, que representa o trabalho de deforma¸ao do s´lido el´stico, e a forma linear c˜ o a l(v) = f · v, que representa o trabalho das for¸as exteriores. c Como h´ simetria, podemos interpretar a resolu¸˜o do problema variacional como sendo a a ca minimiza¸˜o da energia potencial el´stica, ca a J(v) = 1 2 ∗ v: + v− f · v, cujo primeiro termo, que representa a energia de deforma¸ao, ´ subtra´ de um segundo termo, c˜ e ıdo que representa a energia potencial das for¸as exteriores. c Estamos agora no quadro funcional para aplicar a teoria desenvolvida. Conv´m notar que e a desigualdade de Poincar´ que nos foi util para podermos mostrar a coercividade ´ aqui sube ´ e stitu´ pela desigualdade de Korn, ıda ∃C > 0 : ||v||2 1 ( H podendo obter-se (cf. [15]), ∃c > 0 : || + ) ≤ C (|| v||L2 ( + v||2 2 ( L ) + ||v||2 2 ( ) ), ∀v ∈ (H 1 ( ))d , L ) 1 ≥ c||v||H 1 ( ) , ∀v ∈ H0 ( )d , notando que a norma L2 da matriz + v ´ dada pela soma quadr´tica das normas L2 de cada e a uma das componentes. Esta desigualdade permite concluir que, deﬁnindo a seminorma |v|1,+, = || + v||L2 ( ) , 1 se trata uma norma equivalente ` norma de (H 1 ( ))d no espa¸o das fun¸˜es H0 ( )d e estamos a c co nas condi¸˜es de aplicar o m´todo de Ritz. co e 156 157 Parte IV Apˆndices e 158 Cap´ ıtulo 8 Complementos de apoio 8.1 F´rmulas Integrais o = (∂1 , ..., ∂d ) Relembramos alguns operadores diferenciais importantes, usando a nota¸˜o1 ca Gradiente: u = grad(u) = (∂1 u, ..., ∂d u) Divergˆncia: · u = div(u) = ∂1 u1 + ... + ∂d ud e Rotacional: × u = rot(u) = (∂1 , ..., ∂d ) × (u1 , ..., ud ) Laplaciano: u = · ( u) e propriedades da sua composi¸˜o ca div rot u = · ( × u) = 0, rot rot u = grad div u − div grad u, ou seja, × ( × u) = ( · u) − u. Na literatura inglesa o rotacional aparece normalmente designado por curl. Relembre-se que o produto externo (tridimensional...) ´ dado pelo determinante e   e1 e2 e3 u × v = det  u1 u2 u3  v1 v2 v3 em que eı s˜o os 3 vectores da base can´nica. a o Consequentemente rot v =   e3 ∂3  . v3 1 e1 × v = det  ∂1 v1 e2 ∂2 v2 Note-se que da teoria de determinantes, podemos retirar imediatamente que u×v = −v×u, e tamb´m lembramos e que u × (v × w) n˜o ´ necessariamente igual a (u × v) × w, ou seja, n˜o h´ associatividade no produto externo. a e a a Isto signiﬁca, por exemplo que apesar de u × (v × v) ser sempre nulo, isso pode n˜o acontecer com (u × v) × v. a ´ E tamb´m imediato que os produtos mistos u · (u × v) e v · (u × v) s˜o sempre nulos. e a Uma f´rmula bastante util e importante: o ´ u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w. 159 Ser˜o tamb´m uteis algumas propriedades imediatas para o produto de fun¸˜es: a e ´ co (uv) = u v + v u div(uv) = udiv(v) + v · u (uv) = u v + 2 u · v + v u. Enunciamos de seguida alguns teoremas do c´lculo integral. a Teorema 8.1.1 (Gauss). Sendo um dom´ ınio aberto limitado com fronteira ∂ regular (ou seja, sem angulos, de forma a que exista sempre normal), ent˜o para uma fun¸ao u ∈ C 1 ( ¯ ), ˆ a c˜ veriﬁca-se u= ∂ un em que ni ´ a componente i do vector normal n (orientado de forma a apontar sempre para o e exterior do dom´ ınio ). Teorema 8.1.2 (Divergˆncia). Nas condi¸oes anteriores, veriﬁca-se que se tivermos uma fun¸ao e c˜ c˜ vectorial u ∈ (C 1 ( ¯ ))d div(u) = ∂ u · n. • Caso particular: v= ∂ ∂n v. v, j´ que a = ∂n . Este ´ o caso particular em que consideramos u = e = div , e que n · • Casos particulares unidimensionais: No caso unidimensional d = 1, =]a, b[, ∂ = {a, b}, tendo-se na = −1, nb = 1, portanto como havendo uma s´ dimens˜o div(u) = u , temos o a u = ]a,b[ {a,b} n u, em que o integral ´ tomado no sentido de uma medida de contagem {a,b} f = f (a) + f (b). No e caso concreto {a,b} n u = na u(a) + nb u(b) = u(b) − u(a), e ﬁcamos com a usual f´rmula de o Barrow b a u = u(b) − u(a). • Um caso an´logo discreto: a Outro exemplo interessante ´ aquele em que se considera a propriedade telesc´pica no caso e o de sucess˜es, o b−1 k=a uk+1 − uk = ub − ua , 160 usando a medida de contagem e entendendo a diferencia¸˜o como (du)k = uk+1 −uk , e o dom´ ca ınio como sendo = {a, ..., b − 1}, cuja fronteira seria neste caso ∂ = {a, b} podemos interpretar a propriedade telesc´pica como um caso particular do teorema da divergˆncia2 . o e Num caso que nos pode interessar, o an´logo discreto do teorema da divergˆncia ´ v´lido, cona e e a siderando por exemplo a aproxima¸˜o da derivada atrav´s de uma deriva¸˜o discreta (diferen¸a ca e ca c ﬁnita): u(xk + h) − u(xk ) uk+1 − uk u ∼ = = (dh u)k h h em que h = xk+1 − xk ´ uma distˆncia constante. Como ´ claro, se quisermos obter o operador e a e inverso de dh , somos levados a considerar uma soma (‘integral discreto’), j´ que a (dh u)k = vk ⇒ ou seja, k−1 uk+1 − uk = vk ⇒ uk+1 = uk + vk h h uk = h m=0 vk . Ao efectuarmos este integral discreto entre a e b, somando atrav´s de N pontos igualmente e k espa¸ados xk = a + (b − a) N teremos h = (b − a)/N, e portanto sendo a = x0 , b = xN , c consideramos o integral discreto N−1 vk = h {a,..,b} k=0 vk . Assim {a,..,b} (dh u)k = ub − ua , j´ que esta igualdade corresponde no fundo a reaﬁrmar a identidade telesc´pica: a o h N −1 k=0 uk+1 − uk = ub − ua . h Exerc´ ıcio: Prove o an´logo discreto do Teorema da Divergˆncia para duas dimens˜es num a e o quadrado. • Integra¸ao por partes: c˜ resulta de u v+ v u= (uv) = ∂ u v= ∂ (uv)n − v u (uv)n. Considerando v = v, resultam imediatamente as conhecidas f´rmulas de Green, que o tamb´m podem ser encaradas como f´rmulas de integra¸˜o por partes. Apresentamos iniciale o ca mente estas f´rmulas no contexto cl´ssico e mais ` frente no contexto dos espa¸os de Sobolev. o a a c Note-se que considerar aqui = {a, ..., b − 1} e n˜o = {a + 1, ..., b} ou = {a + 1, ..., b − 1} deve-se ao facto a de se deﬁnir a diferencia¸ao progressiva (du)k = uk+1 − uk e n˜o a regressiva (du)k = uk − uk−1 ou a centrada c˜ a (du)k = 1 (uk+1 − uk−1 ). 2 2 161 Teorema 8.1.3 (F´rmulas de Green) Seja u ∈ C 1 ( ), v ∈ C 2 ( ¯ ), o teira regular. u v= ∂ aberto limitado com fron- u∂n v − u· v (1a F´rmula de Green) o Sejam u, v ∈ C 2 ( ¯ ). u v− v u= ∂ u∂n v − v∂n u (2a F´rmula de Green) o ∂ Demonstra¸˜o: Para a 1a. f´rmula basta considerar v = v, como j´ foi dito. A 2a. ca o a f´rmula resulta de aplicar a primeira trocando os pap´is de u e v e depois subtrair. o e 8.2 Espa¸os de Hilbert e Dualidade c Trabalhamos habitualmente com no¸˜es em espa¸os de Hilbert, ou seja espa¸os vectoriais muco c c 3 que s˜o completos (ou seja, em que as sucess˜es de Cauchy s˜o nidos de produto interno a o a convergentes na norma associada ao produto interno, isto ´ na norma ||u|| = (u, u)). e Como exemplos de espa¸os de Hilbert temos o espa¸o L2 ( ), que est´ munido do produto c c a interno (u, v)0 = u(x)v(x)dx, ou os espa¸os de Sobolev H m ( ), que est˜o munidos de um produto interno semelhante, deﬁnido c a a ` custa das derivadas generalizadas, por exemplo em H 1 ( ) temos (u, v)1 = u(x)v(x)dx + u(x). v(x)dx. De notar que um dos interesses dos espa¸os de Sobolev ´ justamente o facto de se poder c e trabalhar com um espa¸o que tenha produto interno e que seja completo. Com efeito, o espa¸o c c das fun¸˜es cont´ co ınuas C( ) ´ um espa¸o completo para a norma ||u||∞ = maxx∈ |u(x)|, mas e c esta norma n˜o resulta de nenhum produto interno. Por outro lado, se considerarmos o produto a interno deﬁnido (como em cima) por (u, v)0 = u(x)v(x)dx veriﬁca-se que n˜o ´ um espa¸o a e c completo para a norma ||u|| = (u, u)0 , j´ que poderemos ter sucess˜es de Cauchy de fun¸˜es a o co que n˜o convergem (nessa norma) para nenhuma fun¸˜o cont´ a ca ınua... com efeito, acerca do limite dessas fun¸˜es podemos dizer que pertence ainda a L2 ( ), e ´ por isso que esse espa¸o ´ co e c e considerado preferencialmente. O mesmo panorama acontece para espa¸os que considerem normas em que apare¸am derivadas. c c 1 ( ) ser´ ||u|| Uma norma para C a a 1,∞ = ||u||∞ + || u||∞ , mas mais uma vez n˜o resulta de nenhum produto interno. Dualidade Algumas propriedades importantes do produto interno: i) Desigualdade de Cauchy-Schwarz, i.e. |(u, v)| ≤ ||u|| ||v|| ii) Igualdade do paralelogramo, i.e. ||u + v||2 + ||u − v||2 = 2(||u||2 + ||v||2 ) 3 162 Uma no¸˜o que aparece frequentemente ao longo do texto ´ a no¸˜o de dualidade. Para ca e ca compreendermos melhor de que se trata, comecemos por relembrar que uma forma linear num ´ espa¸o vectorial E ´ uma aplica¸˜o linear que transforma elementos de E em n´meros reais. E c e ca u assim um processo linear que permite relacionar elementos de um espa¸o abstracto (... eventualc mente bastante complicado) com n´meros reais. Isto traz a vantagem de passarmos a trabalhar u numa estrutura ‘simp´tica’, os n´meros reais, e aplicarmos as propriedades a´ conhecidas... para a u ı al´m disso esta passagem assume-se linear, o que facilita muito. Outras maneiras de passar de e um espa¸o abstracto para os reais, bem conhecidas, s˜o efectuadas atrav´s da norma (mas a´ n˜o c a e ı a h´ linearidade) ou atrav´s de um produto interno (que constitui um exemplo de forma linear... a e o problema ´ que em muitos dos espa¸os n˜o est´ deﬁnido o produto interno). e c a a Sendo E um espa¸o de Banach (normado e completo) deﬁnimos o seu dual (topol´gico) E c o 4 ) E → R. A no¸˜o de forma linear substitui como sendo o espa¸o das formas lineares (cont´ c ınuas ca muitas vezes a no¸˜o de produto interno, quando o espa¸o de Banach n˜o ´ Hilbert, ou seja, ca c a e quando a norma n˜o ´ resultante de nenhum produto interno. Se se tratar de um espa¸o de a e c Hilbert (com produto interno (., .)) temos o Teorema de Representa¸˜o de Riesz. Isto permite ca identiﬁcar o dual de um espa¸o de Hilbert com ele pr´prio. c o No caso de n˜o se tratar de um espa¸o de Hilbert, as formas lineares n˜o resultam de proa c a dutos internos, generalizando-se assim a no¸˜o de produto interno, de tal forma, que ´ habitual ca e escrever-se < T, x > ao inv´s de T (x), j´ que se veriﬁcam as propriedades habituais dos produtos e a internos, por exemplo, < αT + βU, x >= α < T, x > +β < U, x >, < T, αx + βy >= α < T, x > +β < T, y > . A norma deﬁnida no espa¸o dual E ´ dada por c e ||T ||E = sup x=0 |T (x)| . ||x||E |(τ, x)H | . ||x||H Nota: No caso de espa¸os de Hilbert H como h´ uma isometria c a ||τ ||H = ||T ||H = sup x=0 Estas no¸˜es n˜o s˜o propriamente triviais, j´ que s´ s˜o verdadeiramente uteis em espa¸os co a a a o a ´ c d existe produto interno razoavelmente complicados, pois num espa¸o de dimens˜o ﬁnita como R c a e as formas lineares resultam sempre da multiplica¸˜o por um vector. Com efeito, as formas ca lineares s˜o sempre da forma a T (x1 , ..., xd ) = τ1 x1 + ... + τd xd , e ´ imediato que T (x) = τ · x, em que τ = (τ1 , ..., τd ). e Sendo E um espa¸o vectorial, com uma base e1 , ..., en , ... deﬁne-se a base dual de E como c sendo T1 , ..., Tn , ... : Ti (ej ) = δij e que constitui uma base de E pois Ti (x) = T ( 4 xj ej ) = xj Ti (ej ) = xi , Se n˜o assumirmos que as formas lineares s˜o cont´ a a ınuas trata-se apenas do dual alg´brico. e 163 e assim qualquer forma linear ´ do tipo T (x) = τ1 x1 + ... + τn xn + .... logo e T (x) = τ1 T1 (x) + ... + τn Tn (x) + ... 8.3 Algumas no¸oes em Espa¸os de Sobolev c˜ c Para introduzirmos de forma intuitiva alguns resultados acerca de espa¸os de Sobolev, come¸amos c c por relembrar alguns resultados acerca de integra¸˜o, acerca de espa¸os Lp , com especial foco ca c para o espa¸o L2 onde est´ bem deﬁnido o produto interno habitual. c a 8.3.1 Espa¸os Lp c que Os espa¸os Lp ( ) s˜o espa¸os funcionais cujos elementos s˜o fun¸˜es u deﬁnidas em c a c a co veriﬁcam ||u||Lp ( ) = ( |u|p dx)1/p < ∞, onde p ≥ 1. Inclu´ co ımos ainda o espa¸o L∞ ( ) das fun¸˜es u : c ||u||∞, = sup ess |u(x)| < ∞. x∈ Todos estes espa¸os s˜o espa¸os de Banach e se p > 1 o espa¸o dual de Lp ( ) ser´ Lq ( ), em c a c c a 1 que p + 1 = 1. q Exemplo. Seja =]0, 1[, vejamos quais as condi¸˜es sobre α de forma a que a fun¸˜o co ca µ(x) = xα esteja em Lp (]0, 1[). Para que f ∈ Lp ´ necess´rio que exista e a 1 0 |xα |p dx, 1 √ x L2 , pois e isso acontece se o expoente veriﬁcar αp > −1. Em particular, vemos que 1 (x− 2 )2 n˜o pertence a a n˜o ´ integr´vel, no entanto a e a L2 (0, 1) 1 √ 3x exemplo de fun¸˜o ca ´ dado na ﬁgura em anexo. e 3 ∈ L2 (0, 1), pois 1 (x− 3 )2 j´ ´ integr´vel. Um a e a 2 1 -1 -0.5 -1 0.5 1 -2 -3 164 Outra no¸˜o importante ´ a no¸˜o de tra¸o, que no caso unidimensional pode ser encarada ca e ca c como a no¸˜o de limite ` esquerda e a direita ponderado com a medida de Lebesgue. Reparamos ca a ` que a fun¸˜o descrita no gr´ﬁco, para x = −0.5 tem como limite ` esquerda 1 e como limite ca a a a ` direita −1. No ponto x = 0, n˜o tem limite nem ` esquerda, nem ` direita. Finalmente, a a a no ponto x = 1 tem dois sublimites. Se considerarmos a sucess˜o xn = n−1 → 1, obtemos a n lim f (xn ) = −1, mas se considerarmos uma qualquer sucess˜o yn → 1 que n˜o tome os valores a a n a e c ca n−1 ent˜o ´ claro que lim f (yn ) = 1. Qual o tra¸o da fun¸˜o em x = −1? Como o conjunto {x = n−1 } tem medida de Lebesgue nula, o valor considerado ´ 1. Note-se que pouco importa o e n valor deﬁnido no ponto, o valor de f (−1) poderia ser qualquer. O tra¸o da fun¸˜o num ponto c ca n˜o ´ uma no¸˜o localizada num unico ponto, mas sim uma no¸˜o que pretende determinar o a e ca ´ ca valor com signiﬁcado (relativamente ` medida) nesse ponto face ` sua vizinhan¸a. a a c p podem nem ter tra¸o, como ´ o caso de f no ponto x = 0. Sabemos que As fun¸˜es L co c e f (0) = 0, mas os tra¸os, ` esquerda ou ` direita n˜o est˜o deﬁnidos, pois a fun¸˜o tende para c a a a a ca −∞ ` esquerda e para +∞ ` direita. a a  se x ∈] − 1, 0.5]  1  −1  √  4 se x ∈] − 0.5, 0[  x  Figura 8.3.1: Gr´ﬁco da fun¸ao f (x) = a c˜ 0 se x = 0  √  31 se x ∈]0, 1[∧x = n−1  x  n   −1 se x ∈]0, 1[∧x = n−1 n 8.3.2 O espa¸o H 1 (a, b) c Introduzimos agora um subespa¸o de L2 (a, b), atrav´s da introdu¸˜o de uma no¸˜o generalc e ca ca izada de derivada que nos permite considerar derivadas de fun¸˜es n˜o diferenci´veis no sentido co a a cl´ssico. A no¸˜o de deriva¸˜o generalizada aparece ligada ao c´lculo integral e consequentea ca ca a ∞ mente ` medida que se considera. A ideia ´ considerar fun¸˜es teste φ ∈ Cc (a, b) e aproveitar a e co a propriedade da f´rmula de integra¸˜o por partes em ]a, b[ j´ que essas fun¸˜es, tendo suporte o ca a co compacto em ]a, b[, s˜o nulas nos extremos. Portanto, a b a b u (x)φ(x)dx = − a ∞ u(x)φ (x)dx, ∀φ ∈ Cc (a, b). Um exemplo importante consiste em considerar u = H, H(x) = 0 se x ≤ 0 1 se x > 0. que ´ a denominada fun¸˜o de Heaviside. H n˜o tem derivada em 0 no sentido cl´ssico, mas e ca a a generalizando a igualdade anterior podemos escrever a −a a 0 a H (x)φ(x)dx = − −a H(x)φ (x)dx = − 0φ (x)dx− −a 0 1φ (x)dx = − (φ(a) − φ(0)) = φ(0), j´ que φ tem suporte compacto em ] − a, a[ e portanto φ(a) = 0. a Para designar a derivada da fun¸˜o de Heaviside consideramos um s´ ca ımbolo δ que ´ o delta e de Dirac, deﬁnido de forma a que b a ∞ δ(x − y)φ(x)dx = φ(y), ∀φ ∈ Cc (a, b) 165 e reparamos que H (x) = δ(x), fazendo y = 0. Note-se que δ n˜o ´ uma fun¸˜o, n˜o existe nenhuma fun¸˜o tal que a e ca a ca b a ∞ δ(x)φ(x)dx = φ(0), ∀φ ∈ Cc (a, b), basta pensar que podemos ter φ com m´ximo absoluto em φ(0) = 1 e cujo suporte seja suﬁciena ε ε temente pequeno [− 2 , 2 ]. Como b | a δ(x)φ(x)dx| ≤ ε max |δ(x)|, x∈[−ε,ε] caso existisse uma tal fun¸˜o δ o seu m´ximo em [−ε, ε] deveria crescer de forma a evitar que o ca a integral fosse nulo, j´ que deveria valer φ(0) = 1. Devido a isto, na pr´tica, ´ frequente encarar a a e o delta de Dirac como uma ‘fun¸˜o’ que ´ nula para x = 0 e que ‘vale inﬁnito’ em x = 0. ca e ∞ Derivada generalizada. A derivada generalizada consiste assim num funcional u : Cc (a, b) → R dado por b < u , φ >= − u(x)φ (x)dx, a reparando que ´ suﬁciente que u seja integr´vel para que o integral esteja bem deﬁnido. e a O espa¸o H 1 (a, b). Os elementos de H 1 (a, b) s˜o fun¸˜es que veriﬁcam u ∈ L2 (a, b) e cuja c a co derivada generalizada u se pode identiﬁcar com uma fun¸˜o de L2 (a, b). Este espa¸o est´ munido ca c a do produto interno deﬁnido por b b < u, v >H 1 (a,b) = e ´ completo para a norma associada e b uv + a a uv, ||u||1 = a |u| + 2 b a 1/2 |u | 2 . Exemplos. 1) Vejamos agora para que valores de α a fun¸˜o µ(x) = xα pertence a H 1 (0, 1). J´ vimos ca a 1 2 (0, 1). Como µ (x) = αxα−1 ´ uma fun¸˜o, ent˜o conclu´ ca e ca a ımos que que se α > − 2 a fun¸˜o µ ∈ L 1 µ ∈ L2 (0, 1) se α = 0 ou α − 1 > − 2 . Portanto temos µ ∈ H 1 (0, 1) se α > 1 ou α = 0. 2 2) A fun¸˜o de Heaviside n˜o pertence a H 1 (0, 1) porque a sua derivada ´ o delta de Dirac ca a e que n˜o pode ser identiﬁcado a nenhuma fun¸˜o. a ca Proposi¸˜o. As fun¸˜es de H 1 (a, b) s˜o cont´ ca co a ınuas. Demonstra¸ao. c˜ Consideremos dois pontos x, y ∈ (a, b), u ∈ L2 (x, y) ⊂ L1 (x, y). Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz |u(y) − u(x)|2 = | y x u (t)dt|2 ≤ |x − y| y x |u (t)|2 dt ≤ |x − y| ||u||2 , 1 conclui-se imediatamente a continuidade uniforme. 166 Observa¸ao. Note-se que ao dizer que as fun¸˜es de H 1 (a, b) s˜o cont´ c˜ co a ınuas, isto signiﬁca apenas que existe um representante cont´ ınuo na classe de equivalˆncia a que a fun¸˜o pertence e ca (classe que engloba as fun¸˜es iguais a menos de conjuntos de medida nula). Por exemplo, a co fun¸˜o deﬁnida em ] − 1, 1[ por ca f (x) = |x|3/4 se x = −1 se x = n−1 n n−1 n ˜ pertence a H 1 (−1, 1) e ´ descont´ e ınua, mas pode ser identiﬁcada com a fun¸˜o cont´ ca ınua f (x) = 3/4 a menos do conjunto de medida nula { n−1 : n ∈ N}. Mais uma vez, o tra¸o de f em x = 1 |x| c n seria 1 e n˜o −1. a 1 0.75 0.5 0.25 -1 -0.5 -0.25 -0.5 -0.75 -1 0.5 1 Figura 8.3.2: Gr´ﬁco de f(x). a J´ uma fun¸˜o que apresentasse uma descontinuidade com um salto (tal como a fun¸˜o de a ca ca Heaviside) e n˜o apenas em pontos isolados, nunca poderia pertencer a H 1 , pelo simples facto a de n˜o ser poss´ a ıvel encontrar uma fun¸˜o cont´ ca ınua cuja a unica diferen¸a se traduzisse num ´ c conjunto de medida nula. Refor¸amos esta ideia, com um exemplo de aplica¸˜o da f´rmula de Barrow para fun¸˜es c ca o co descont´ ınuas. Considerando ainda f deﬁnida anteriormente, e admitindo que f (−1) = 1, f (1) = −1, temos f (1) − f (−1) = −2 e por outro lado 1 f (x)dx = −1 3 (− (−x)−1/4 ) + 4 −1 0 1 0 3 −1/4 x=0 x = −[(−x)3/4 ]x=−1 + [x3/4 ]x=1 = 0. x=0 4 Ser´ que esta diferen¸a de valores signiﬁca que a f´rmula n˜o ´ v´lida? A f´rmula ´ v´lida, mas a c o a e a o e a ´ preciso interpretar correctamente os valores. Assim, se escrevermos e 1 −1 f (x)dx = f (1) − f (−1) o valor f (1) − f (−1) deve ser calculado atrav´s dos tra¸os e n˜o pontualmente. Portanto, e c a f (1) = 1 e n˜o −1... e desta forma j´ obtemos f (1) − f (−1) = 0, como seria de esperar. Para a a evitar este tipo de enganos, pode tamb´m utilizar-se a nota¸˜o f (1− ) para designar o tra¸o ` e ca c a esquerda. Com esta nota¸˜o, a f´rmula de Barrow escreve-se ca o b a f (x)dx = f (b− ) − f (a+ ). 167 Outra nota¸˜o poss´ ´ usar γf para o tra¸o de f. Na maior parte das vezes, em que se pode ca ıvel e c ´ depreender o signiﬁcado pelo contexto, estas nota¸˜es n˜o s˜o usadas. E claro que este tipo de co a a problemas apenas acontece quando se consideram fun¸˜es n˜o cont´ co a ınuas, j´ que para fun¸˜es a co cont´ ınuas o tra¸o ´ dado pelo pr´prio valor no ponto, n˜o havendo qualquer confus˜o. c e o a a 8.3.3 O espa¸o H 1 ( ) com c ⊂ Rd No estudo que desenvolvemos interessa-nos considerar espa¸os de fun¸˜es em dom´ c co ınios deﬁnidos 2 e R3 , que constituem os exemplos mais abordados nas aplica¸˜es a problemas f´ em R co ısicos. O espa¸o H 1 ( ), com ⊂ R2 , ser´ agora deﬁnido por fun¸˜es que veriﬁcam u ∈ L2 ( ) e c a co cujas derivadas generalizadas ∂x1 u, ∂x2 u se podem identiﬁcar com fun¸˜es em L2 ( ). Este espa¸o co c est´ munido do produto interno deﬁnido por a < u, v >H 1 ( ) = e ´ completo para a norma associada e 1/2 uv + u· v, ||u||1, = |u|2 + | u|2 . Exemplo. Vejamos agora para que expoentes α, a fun¸˜o |x|α = ( x2 + x2 )α ´ uma fun¸˜o ca e ca 1 2 1 (B(0, 1)) em que B(0, 1) ´ a bola de centro em zero e raio unit´rio. Para que |x|α esteja de H e a em L2 (B(0, 1)) ser´ necess´rio que exista o integral a a (|x|α )2 dx = B(0,1) 0 2π 0 1 r2α r drdθ = 2π 0 1 r2α+1 r dr, usando uma mudan¸a de vari´veis para coordenadas polares (r, θ). Conclui-se assim que devemos c a exigir que 2α + 1 > −1,ou seja, α > −1. Por outro lado, como o gradiente ´ dado por e |x|α = α x α−1 |x| = αx|x|α−2 |x| obtemos | |x|α |2 = α2 |x|2 |x|2α−4 . Esta fun¸˜o ´ integr´vel se 2α − 2 > −1, ou seja se α > 1 . ca e a 2 1 Podemos assim concluir que fun¸˜es da forma |x|α est˜o em H 1 (B(0, 1)) sse α > 2 . co a As fun¸˜es de H 1 ( ) s˜o cont´ co a ınuas? Ao contr´rio do que se passa a uma dimens˜o, para a a dimens˜o 2 ou superior h´ fun¸˜es H 1 que n˜o s˜o cont´ a a co a a ınuas. Exemplo. Tomemos como exemplo a fun¸˜o ca u(x) = | log |x| |α esta fun¸˜o est´ em L2 (B(0, 1 )), pois ca a e | log |x|| dx = 2π 2α 1 e B(0, 1 ) e 0 | log(r)|2α r dr, +∞ 2α −2s s e ds, 1 e com uma mudan¸a de vari´vel s = − log r, obt´m-se um integral c a e para qualquer α. 168 que existe Por outro lado, u(x) = e trata-se de averiguar a existˆncia do integral e x | log |x||α−1 . |x|2 1 0 B(0,1) +∞ |x|2 | log |x||2α−2 dx = 2π |x|4 | log(r)|2α−2 dr, r obtendo-se um integral 1 s2α−2 ds. Este integral existe se 2α − 2 < −1 ⇔ α < 1 . 2 Conclu´ ımos assim que se α < 1 a fun¸˜o u ∈ H 1 (B(0, 1 )) e no entanto ´ bem claro que u ca e 2 e n˜o ´ cont´ a e ınua no ponto x = 0. Como a fun¸˜o tende para inﬁnito nesse ponto, n˜o h´ qualquer ca a a fun¸˜o cont´ ca ınua que possa ser o representante da sua classe. O tra¸o de uma fun¸ao H 1 ( ). c c˜ Este exemplo ´ igualmente interessante para avaliarmos qual a regularidade do tra¸o de uma e c tal fun¸˜o. ca Com efeito, suponhamos que = B(0, 1 ) ∩ {x : x2 > 0}. Na parte da fronteira γ = e 1 1 ] − e , e [×{0} ⊂ ∂ a fun¸˜o u est´ deﬁnida por u(x1 , 0) = | log |x1 | |α , que ´ ainda uma fun¸˜o ca a e ca descont´ ınua, e portanto n˜o pertence a H 1 (− 1 , 1 ). a e e Curiosamente reparamos que | log |x1 | |α ´ uma fun¸˜o de L2 (− 1 , 1 ) para quaisquer valores e ca e e de α, pois 1 e 0 | log |t||2α dt = +∞ 1 s2α e−s ds, e o integral existe para qualquer α. 25 . 22 .5 2 05 . 2 15 . 1 05 . 0 02 . 04 . 06 . -. 05 0 17 .5 15 . 12 .5 -. -. -. 03 02 01 01 02 03 . . . Figura 8.3.3: A fun¸ao | log |x||0.45 ∈ H 1 ( ) e o seu tra¸o. O tra¸o ´ uma fun¸ao que c˜ c c e c˜ pertence L2 (γ), descont´ ınua. 8.3.4 Espa¸os de Sobolev W m,p ( ) c Podemos ainda deﬁnir os espa¸os de Sobolev c W m,p ( ) = {u ∈ Lp ( ) : ∂ 1 u ∈ Lp ( ), ..., ∂ m u ∈ Lp ( )}, 169 onde ∂ 1 u representa o vector gradiente de u, e de um modo geral, usando a nota¸˜o de multica ´ ındice α = (α1 , ..., αd ), temos α1 αd ∂mu = ∂x1 · · · ∂xd u |α|=m com |α| = α1 + ... + αd . Estes espa¸os W m,p ( ) s˜o espa¸os de Banach para a norma c a c ||u||m,p, = ( ||∂ α u||p )1/p , 0,p, |α|≤m no caso 1 ≤ p < ∞, e no caso p = ∞ para a norma ||u||m,∞, = max ||∂ α u||0,∞, . |α|≤m • Quando p = 2, tratam-se de espa¸os de Hilbert, e ´ habitual escrever-se simplesmente c e H m ( ) = W m,2 ( ). O produto interno ´ dado por e < u, v >m, = |α|≤m < ∂ α u, ∂ α v >L2 ( ) , notando que neste caso a norma se escreve simplesmente ||u||m, = < u, u >m, . Um espa¸o que nos ir´ interessar especialmente ´ H 1 ( ) = W 1,2 ( ) de que j´ fal´mos. c a e a a Introduzimos tamb´m as semi-normas (i.e. veriﬁcam as propriedades de norma, excepto e ||u|| = 0 ⇒ u = 0), |u|m,p, = ( |α|=m ||∂ α u||p )1/p , 0,p, |u|m,∞, = max|α|=m ||∂ α u||0,∞, . e ´ claro que |u|m,p, ≤ ||u||m,p, . e Observa¸˜o: Podemos deﬁnir os espa¸os de Sobolev usando a transforma¸˜o de Fourier ca c ca F(u)(ξ) = u(ξ) = ˆ 1 (2π)d/2 Rd u(x)e−ix.ξ dx. Esta aplica¸˜o est´ bem deﬁnida para fun¸˜es integr´veis, ie. u ∈ L1 (Rd ), e tamb´m no espa¸o ca a co a e c de distribui¸˜es temperadas5 S(Rd ) . A transformada de Fourier ´ uma isometria em L2 (Rd ), co e ou seja (igualdade de Plancherel) ||u||L2 (Rd ) = ||ˆ||L2 (Rd ) . u Este espa¸o de distribui¸oes temperadas ´ o dual do espa¸o de fun¸oes de decrescimento r´pido para inﬁnito c c˜ e c c˜ a (espa¸o de Schwartz) c S(Rd ) = {φ ∈ C ∞ (Rd ) : |xm ∂ n φ(x)| < ∞, ∀x, ∀m, n} para uma topologia apropriada. Estas fun¸oes admitem sempre transforma¸ao de Fourier, pelo que ´ poss´ deﬁnir para A ∈ S(Rd ) a transc˜ c˜ e ıvel formada de Fourier atrav´s de e (FA)(φ) = A(Fφ). 5 170 Tem-se tamb´m que a transformada inversa de Fourier ´ e e F −1 (u)(x) = 1 (2π)d/2 u(ξ)eix.ξ dξ Rd e portanto F −1 (¯) = F(u). u As propriedades da transformada de Fourier com a deriva¸˜o permitem obter ca F(∂k u) = iξk F(u), 2 2 e assim, por exemplo, F( u) = F(∂1 u + ∂1 u) = (iξ1 )(iξ1 )F(u) + (iξ2 )(iξ2 )F(u) = −|ξ|2 F(u). De forma mais simples, em R tem-se F(u ) = −iξ u, ..., F(u(p) ) = (−iξ)p u ˆ ˆ e da ultima rela¸˜o resulta u(p) = F −1 ((−iξ)p u)... assim, como faz mesmo sentido considerar ´ ca ˆ (−iξ)p para p real (ou complexo) podemos falar em deriva¸˜o cuja ordem n˜o ´ um n´mero ca a e u 6! natural Assim, podemos deﬁnir espa¸os de Sobolev fraccion´rios em Rd , para um s > 0 qualquer: c a H s (Rd ) = {u ∈ S(Rd ) : (1 + |ξ|2 )s/2 u ∈ L2 (Rd )} ˆ em que a norma ´ e A partir desta deﬁni¸˜o de espa¸os H s (Rd ) podemos deﬁnir de maneira alternativa os espa¸os ca c c s H0 ( ) = {v ∈ H s (Rd ) : supp v ⊂ } ∞ e que se identiﬁca com o fecho de Cc ( ) em H s (Rd ), e ||u||H s = ||(1 + |ξ|2 )s/2 u||L2 . ˆ H s ( ) = {v| : v ∈ H s (Rd )}, ou seja, s˜o fun¸˜es para as quais existe uma extens˜o que est´ em H s (Rd ). a co a a 1 ∞ Deﬁni¸˜o 8.3.1 O espa¸o H0 ( ) ´ o fecho das fun¸oes Cc ( ) na norma H 1 ( ). Da mesma ca c e c˜ m ( ) s˜o o fecho das fun¸oes C ∞ ( ) na norma H m ( ). forma, os espa¸os H0 c a c˜ c 8.3.5 Tra¸o de uma fun¸˜o c ca m A caracteriza¸˜o dos espa¸os H0 ( ) ´ completada usando a no¸˜o de tra¸o. Para esse efeito, ca c e ca c vamos come¸ar por deﬁnir correctamente essa no¸˜o usando o seguinte resultado: c ca Proposi¸˜o 8.3.1 Se ∂ ca ∞ ´ uma fronteira de classe C 1 ent˜o Cc ( ¯ ) ´ denso em H 1 ( ). e a e Note-se que a ‘pequena’ diferen¸a reside em considerar as fun¸˜es de suporte compacto em c co ¯ e n˜o apenas em . Desta forma, podemos encarar qualquer fun¸˜o H 1 ( ) aproximada por a ca ∞ ∞ fun¸˜es Cc ( ¯ ). Faz agora sentido considerar a restri¸˜o a ∂ das fun¸˜es Cc ( ¯ ), e deﬁnir o co ca co 1 ( ) atrav´s do limite. Isto ´ poss´ tra¸o de uma fun¸˜o H c ca e e ıvel devido ao teorema do tra¸o que c ¯ = Rd . ¯+ pode ser estabelecido em Deste tipo de propriedades surge a no¸ao de operador pseudo-diferencial. Com efeito nada impede tamb´m c˜ e que se considere F −1 (z(ξ)ˆ) em que z(ξ) ´ uma fun¸ao qualquer... desde que a integra¸ao continue a existir! u e c˜ c˜ 6 171 Teorema 8.3.1 (do Tra¸o). Seja ∂ c ´ uma fronteira de classe C 1 . O operador de restri¸ao e c˜ ∞ γ : Cc ( ) −→ L2 (∂ ) u −→ u|∂ pode ser prolongado como operador cont´ ınuo (designado tra¸o) c γ : H 1 ( ) −→ L2 (∂ ). Na realidade, isto permite mesmo deﬁnir o espa¸o de Sobolev H 1/2 (∂ ) como sendo o espa¸o c c 1 ( ) em ∂ , ou seja, das fun¸˜es que s˜o tra¸os de fun¸˜es H co a c co H 1/2 (∂ ) = {γv : v ∈ H 1 ( )}. Esta deﬁni¸˜o ´ consistente mesmo com a deﬁni¸˜o de espa¸os de Sobolev fraccion´rios, ca e ca c a atrav´s do seguinte resultado, que ´ enunciado para tra¸os de fun¸˜es (caso α = 0) e para tra¸os e e c co c das suas derivadas (caso α = 0). Teorema 8.3.2 Seja m > α + 1/2. Os operadores de tra¸o c ∞ ¯ γα : Cc (Rd ) −→ H m−α−1/2 (Rd−1 ) + α u −→ ∂d u podem ser prolongados como operadores cont´nuos ı γα : H m (Rd ) −→ H m−α−1/2 (Rd−1 ) + Desta forma, atrav´s de cartas locais, que levam da fronteira para o hiperplano, podemos e obter um resultado mais geral, aplicado a outro tipo de tra¸os deﬁnidos atrav´s das derivadas c e segundo a direc¸˜o normal ` fronteira. Por exemplo, o tra¸o normal ´ deﬁnido pela derivada ca a c e α normal ∂n u, e outros tra¸os de ordem superior s˜o obtidos considerando as derivadas ∂n u. c a Corol´rio 8.3.1 Se a fronteira de a for de classe C α+1 , os operadores de tra¸o c α γα (u) = ∂n u podem ser prolongados como operadores cont´nuos (para m − α − 1/2 > 0) ı γα : H m ( ) −→ H m−α−1/2 (∂ ). H 3/2 (∂ Por exemplo, se tivermos uma fun¸˜o u ∈ H 2 ( ), ent˜o conclu´ ca a ımos que o seu tra¸o est´ em c a ) e o seu tra¸o normal est´ em H 1/2 (∂ ). c a Nos espa¸os H m−1/2 (∂ ) pode deﬁnir-se a norma c ||u||H m−1/2 (∂ ) = v∈H m ( ) γ0 v=u inf ||v||H m ( ) . Normalmente n˜o iremos escrever γu ou γ0 u para designar o tra¸o, escrevendo-se usualmente a c e c u|∂ ou simplesmente u. Da mesma forma, ao inv´s de escrevermos γ1 u para o tra¸o normal, escrevemos simplesmente ∂n u. 172 Da continuidade de γα podemos tamb´m retirar as estimativas e ||u||H 1/2 (∂ ) ≤ C0 ||u||H 1 ( ) , ou ||∂n u||H 3/2 (∂ ) ≤ C1 ||u||H 1 ( ) , para certas constantes C0 , C1 > 0. m Estes teoremas de tra¸o permitem ainda efectuar uma caracteriza¸˜o dos espa¸os H0 ( ). Um c ca c resultado importante ´ e 1 H0 ( ) = {u ∈ H 1 ( ) : u = 0 em ∂ }, mas, mais geralmente, temos o seguinte teorema. Teorema 8.3.3 Se a fronteira de for de classe C m+1 , m m−1 H0 ( ) = {u ∈ H m ( ) : u = 0, ..., ∂n u = 0 em ∂ }. 1 Este resultado diz-nos de forma intuitiva que as fun¸˜es H0 ( ) s˜o fun¸˜es em H 1 ( ) cujo co a co m ( ) s˜o fun¸˜es H m ( ) cujo seu tra¸o e o das tra¸o ´ nulo sobre a fronteira, e as fun¸˜es em H0 c e co a co c suas derivadas normais at´ ordem m − 1 ´ nulo. e e 1 a ca Observa¸˜o: Note-se que no caso em que = Rd h´ uma identiﬁca¸˜o H 1 (Rd ) = H0 (Rd ), ca o que pode ser compreendido intuitivamente pela ausˆncia de fronteira. e 8.3.6 Dualidade - Espa¸os de Sobolev negativos, H −s ( ). c m Os espa¸os duais de H0 ( ) para a topologia de H m ( ) s˜o espa¸os de distribui¸˜es, designados c a c co −m ( ). Os elementos de H −m ( ) s˜o funcionais que transformam fun¸˜es de H m ( ) e por H a co 0 m que s˜o cont´ a ınuos para a topologia de H m ( ). Como as fun¸˜es de H0 ( ) s˜o aproximadas por co a ∞ ∞ fun¸˜es Cc ( ), na realidade basta encarar os elementos de H −m ( ) como funcionais Cc ( ) → co m ( ). Ou seja, tratam-se de distribui¸˜es cont´ R cont´ ınuos para a topologia de H co ınuas para a topologia de H m ( ). A norma deﬁnida em H −s (ω) ´ dada por e ||u||H −s (ω) = | < u, v > | , v∈H s (ω) ||v||H s (ω) sup em que < u, v > n˜o representa um produto interno, mas sim a dualidade H −s (ω) × H s (ω). a Um espa¸o de Sobolev negativo que consideramos frequentemente ´ H −1/2 (∂ ), j´ que os c e a tra¸os de fun¸˜es H 1 ( ) s˜o fun¸˜es H 1/2 (∂ ), mas os tra¸os normais podem n˜o ser fun¸˜es, c co a co c a co −1/2 (∂ ). s˜o distribui¸˜es em H a co Com efeito, podemos considerar o exemplo da fun¸˜o u(x) = | log |x||α , com α < 0.5, e ca os seus tra¸os sobre a fronteira Γ = {0} × [−1, 1]. J´ vimos que esta fun¸˜o tem tra¸o n˜o c a ca c a cont´ ınuo. Sabemos agora que est´ em H 1/2 (Γ) e portanto podemos concluir que o espa¸o a c H 1/2 (Γ) inclui fun¸˜es n˜o cont´ co a ınuas (o que n˜o acontece com o espa¸o H 1 (Γ) que tem apenas a c fun¸˜es cont´ co ınuas). No entanto ao calcular a derivada normal, ∂n u = − x1 ∂ (| log |x||α ) = α 2 | log |x||α−1 ∂x1 |x| 173 e como x1 = 0 obtemos ∂n u = 0 excepto se x2 = 0, j´ que nesse caso a fun¸˜o explode! a ca Conclu´ ımos assim que ∂n u ´ nulo em toda a parte excepto no zero, onde explode (tal como o e delta de Dirac). Assim, esse tra¸o normal n˜o pode ser visto como uma fun¸˜o, mas sim como c a ca uma distribui¸˜o. ca 8.3.7 Resultados em espa¸os de Sobolev c Apresentamos de novo a f´rmula de Green, mas no contexto dos espa¸os de Sobolev, pondo em o c evidˆncia os espa¸os funcionais e c Teorema 8.3.4 (F´rmula de Green) Seja u, v ∈ H 1 ( ), o aberto limitado com fronteira sec1. cionalmente de classe C v u= uvn − u v ∂ Note-se que os valores u e v em ∂ s˜o os seus tra¸os. A partir desta f´rmula podem-se obter a c o as outras duas, adequando os espa¸os de Sobolev. Por exemplo, para u ∈ H 1 ( ), v ∈ H 2 ( ), c obtemos u v= u∂n v − u· v . ∂ Um valor importante que determina a regularidade de um espa¸o de Sobolev W s,p ( ) ´ o c e d. ´ ındice (de Sobolev) S = s − d/p, em que d ´ a dimens˜o, pois supˆmos que ⊂ R e a o Teorema 8.3.5 (Rellich-Kondrachov) Seja um aberto de Rd veriﬁcando a condi¸ao do cone7 , c˜ s,p ( ) ⊂ W r,q ( ) • Se s − d/p ≥ r − d/q ent˜o W a • Se s − d/p > m ent˜o W s,p ( ) ⊂ C m ( ) a → → Observa¸ao: As injec¸˜es s˜o cont´ c˜ co a ınuas e compactas (se a desigualdade for estrita). A segunda injec¸˜o pode ser vista como um caso limite da primeira, j´ que q → ∞ leva-nos ao espa¸o ca a c W r,∞ ( ) o que signiﬁca que estamos a considerar que as derivadas at´ ` ordem r s˜o limitadas ea a pela norma do m´ximo... essa ´ exactamente a norma considerada no caso das fun¸˜es C r . a e co No caso (p = 2) dos espa¸os de Sobolev H s ( ), que nos interessa, o primeiro resultado diz c apenas que H s ( ) ⊂ H r ( ), com injec¸˜o cont´ ca ınua (e compacta) se s > r. Do segundo resultado podemos concluir que: Em dimens˜o 1, se s > m + 1/2 ent˜o H s ( ) ⊂ C m ( ). Em particular, vemos que o caso das a a fun¸˜es H 1/2 (Γ) n˜o serem cont´ co a ınuas ´ mesmo o caso limite... uma fun¸˜o que seja H 1/2+ε (Γ) e ca j´ seria cont´ a ınua, para ε > 0. a e Em dimens˜o 2, se s > m + 1 ent˜o H s ( ) ⊂ C m ( ). Portanto tamb´m aqui o caso das a a a ınuas ´ um caso limite... uma fun¸˜o H 1+ε ( ) ser´ cont´ e ca a ınua, fun¸˜es H 1 ( ) que n˜o s˜o cont´ co para ε > 0. Para um dom´ ınio veriﬁcar a condi¸ao do cone, signiﬁca basicamente que a fronteira n˜o tem pontos de c˜ a c´spidas... isto ´, a fronteira pode ter cantos, mas esses cantos tˆm que permitir a existˆncia de um cone, o que u e e e n˜o acontece no caso das c´spidas, como num cardi´ide. a u o 7 174 Cap´ ıtulo 9 Exerc´ ıcios 9.1 Diferen¸as ﬁnitas c 1 a). Suponha que hx = hy = h. Baseado no desenvolvimento em s´rie de Taylor, mostre que e as f´rmulas para aproximar a solu¸˜o de u = 0, o ca (A) uij = 4 1 (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ) − (ui+2,j + ui−2,j + ui,j+2 + ui,j−2 ) 15 60 1 1 (B) uij = (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ) + (ui+1,j+1 + ui−1,j+1 + ui+1,j−1 + ui−1,j−1 ) 5 20 (A): Mol´cula em Grande Cruz e (B): Mol´cula em Quadrado e tˆm um erro de aproxima¸˜o local de O(h4 ) na aproxima¸˜o do laplaciano. e ca ca b) Comente acerca da implementa¸˜o computacional dos m´todos (A) e (B) para o problema ca e de Dirichlet. c) Mostre que o princ´ ıpio do m´ximo discreto ´ ainda v´lido para a equa¸˜o discreta (B). a e a ca Encontre um contra-exemplo que mostre que n˜o ´ v´lido para (A). a e a 2. Considere as f´rmulas locais para aproxima¸˜o do laplaciano, o ca + − uij ∼ α+ ui+1,j + α01 ui,j+1 + α10 ui−1,j + α− ui,j−1 − α00 uij 10 01 em que os coeﬁcientes s˜o dados por a + α10 = − α10 = + 2 2 , α10 = h+ (h+ +h− ) , h+ (h+ +h− ) x x x y y y − 2 2 , − + − , α01 = − + hx (hx +hx ) hy (hy +h− ) y α00 = h+2 − + h+2 − , x hx y hy em que h+ = ui+1,j − uij , h− = uij − ui−1,j , h+ = ui,j+1 − uij , h− = uij − ui,j−1 . x x y y 175 (Estas f´rmulas s˜o muitas vezes utilizadas para efectuar uma aproxima¸˜o de forma a o a ca considerar os pontos na fronteira). a) Mostre que o erro local ´ O(h) em que h = max{h− , h+ , h− , h+ }. e x x y y b) Mostre que o princ´ ıpio do m´ximo discreto ´ ainda v´lido. a e a 3 a). Mostre que no caso tridimensional a aproxima¸˜o da equa¸˜o de Laplace por um ca ca esquema de 7 pontos, 1 uijm = (ui+1,jm + ui,j+1,jm + uij,m+1 + ui−1,jm + ui,j−1,jm + uij,m−1 ) 6 envolve um erro local da ordem O(h2 ). b) Deduza uma aproxima¸˜o para a resolu¸˜o do problema de Neumann de forma a que se ca ca mantenha um erro local da ordem O(h2 ) 4. Considere a equa¸˜o diferencial ca u − λu = f em que λ > 0 ´ uma constante e f ≥ 0 ´ uma fun¸˜o cont´ e e ca ınua. a) Deduza a express˜o para um m´todo de diferen¸as ﬁnitas que envolva uma aproxima¸˜o a e c ca 2 ). local de ordem O(h b) Deduza uma aproxima¸˜o para a resolu¸˜o do problema de Neumann de forma a que se ca ca mantenha um erro local da ordem O(h2 ). c) Mostre que o problema de Dirichlet discreto associado ` equa¸˜o est´ bem posto. a ca a d) Mostre que a matriz associada ` resolu¸˜o do problema de Dirichlet tem a diagonal a ca estritamente dominante. Conclua acerca da utiliza¸˜o de m´todos iterativos para a resolu¸˜o ca e ca do sistema. Explicite um algoritmo para essa resolu¸˜o. ca 5. Considere a aproxima¸˜o discreta cl´ssica do laplaciano, ca a ˜ uij = ui+1,j − 2uij + ui−1,j + ui,j+1 − 2uij + ui,j−1 h2 h2 e da mesma forma considere as aproxima¸˜es co ui+1,j − uij ˜ ui−1,j − ui,j ˜ ∂n ui+1,j = , ∂n ui−1,j = . h h a) Veriﬁque que ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ uij = 1 (∂n ui+1,j + ∂n ui−1,j + ∂n ui,j+1 + ∂n ui,j−1 ) h b) Generalize o resultado anterior, de forma obter o an´logo discreto do teorema de Green, a ˜ uij = 1 h ˜ ∂n uij . (i,j)∈∂ (i,j)∈ 176 c) Conclua que no caso da equa¸˜o de Laplace, se forem impostas condi¸˜es de Neumann, ca co ˜ ∂n uij = gij para pontos (i, j) na fronteira ∂ ˜ , o problema discreto ter´ apenas solu¸˜o se gij a ca veriﬁcar gij = 0. (i,j)∈∂ 6. Considere a equa¸˜o de Laplace num quadrado ]−1, 1[×]−1, 1[, com condi¸˜o de fronteira ca ca mista ∂n u = λu sobre Γ =] − 1, 1[×{−1} (em λ ´ uma constante) e condi¸˜o de Dirichlet na restante parte da fronteira, ie. ∂ \Γ. e ca a) Deduza uma f´rmula de aproxima¸˜o local de segunda ordem num ponto da fronteira Γ. o ca b) Escreva um algoritmo que permita a implementa¸˜o do m´todo usando tamb´m a f´rmula ca e e o obtida em a). 7. Seja =] − 1, 1[×]0, 1[. Considere a aproxima¸˜o do laplaciano, ca ˜ uij = ui+1,j − 2uij + ui−1,j + ui,j+2 − 2ui,j+1 + ui,j h2 h2 a) Use esta aproxima¸˜o para escrever um algoritmo adequado para aproximar um problema ca de Dirichlet-Neumann, em que os dados de Neumann est˜o colocados sobre a fronteira Γ = a ] − 1, 1[×{0}. b) Atrav´s da separa¸˜o de vari´veis, indique uma fun¸˜o que veriﬁque as condi¸˜es e ca a ca co u = 0, ∂n u = 1 cos(ax) sobre Γ. a c) Sendo xk = kh, yk = kh, e considerando ∂n u00 u01 − u00 veriﬁque que o esquema 1 num´rico d´ u0,2 = 2h/a e comente a diferen¸a com o valor u(0, 2h) = a sinh(2ah) quando e a c a → ∞. 8. Considere o esquema do quadrado 1 1 uij = (ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 ) + (ui+1,j+1 + ui−1,j+1 + ui+1,j−1 + ui−1,j−1 ) 5 20 para aproximar a solu¸˜o da equa¸˜o de Laplace, ca ca u=0 em =]0, 3[×]0, 3[ u(x, y) = g(x, y) = x(3 − y) sobre ∂ a) Explicite os sistemas a resolver para o problema de Dirichlet, usando o esquema anterior e o esquema cl´ssico, considerando uma grelha com 4 pontos interiores equidistantes: a g12 g11 g10 g9 g1 u1 u3 g8 g2 u2 u4 g7 g3 g4 g5 g6 177 e b) Sabendo que a solu¸˜o de ambos os sistemas ´ u1 = 1, u2 = 2, u3 = 2, u4 = 4, justiﬁque ca e a coincidˆncia dos resultados, relacionando com a solu¸ao exacta. Justiﬁque se ainda obteria e c˜ valores coincidentes para os seguintes dados de Dirichlet em ∂ : (i) u(x, y) = x2 (3 − y), (ii) u(x, y) = x4 (3 − y). Resolu¸˜o: ca a) Muito sucintamente:        1 −1/5 −1/5 −1/20 u1 0 0  −1/5 1 −1/20 −1/5   u2   3/5 + 6/20   9/10    = =   −1/5 −1/20 1 −1/5   u3   3/5 + 6/20   9/10  −1/20 −1/5 −1/5 12/5 + 15/20 63/20 1 u4   1 −1/4 −1/4 0 u1  −1/4   u2 1 0 −1/4     −1/4 0 1 −1/4   u3 0 −1/4 −1/4 1 u4  0   3/4  =    3/4  . 3   b) Sabemos que se u for a solu¸ao exacta, e ´ o caso de u(x, y) = x(3 − y), porque c˜ e ent˜o a f´rmula de erro a o 4 4 ||u − uh ||∞ ≤ Ch2 (||∂x u||∞ + ||∂y u||∞ ) u = 0, 4 4 veriﬁca-se, e como neste caso ∂x (x(3 − y)) = 0, ∂y (x(3 − y)) = 0, ent˜o o erro ´ nulo. a e Nos casos i) e ii) a fun¸˜o n˜o ´ solu¸˜o e o racioc´ ca a e ca ınio anterior n˜o ´ v´lido!! a e a Ali´s, vemos que n˜o se veriﬁca para nenhum dos casos: a a i) Basta ver que se desse a solu¸ao exacta ter´ c˜ ıamos {u1 , ..., u4 } = {1, 4, 2, 8} e assim      1 −1/5 −1/5 −1/20 1 −3/5  −1/5 1 −1/20 −1/5   4   21/10    =   Au =   −1/5 −1/20 1 −1/5   2   0  −1/20 −1/5 −1/5 1 8 27/4 o que ´ bastante diferente do segundo membro que se obt´m b = {0, 27/10, 6/5, 159/20}. e e ii) Semelhante. Obtemos {u1 , ..., u4 } = {1, 16, 2, 32} e o segundo membro ﬁca Au = {−21/5, 93/10, −27/5, 567/20} = b = {0, 243/10, 3, 1167/20}. Situa¸˜o an´loga no caso do m´todo cl´ssico: ca a e a i) Au = {−1/2, 7/4, −1/4, 13/2} = b = {0, 9/4, 3/4, 15/2} ii) Au = {−7/2, 31/4, −25/4, 55/2} = b = {0, 81/4, 3/4, 105/2} 9. Considere a separa¸˜o de vari´veis discreta ca a uij = vi wj . Sabemos que a solu¸˜o de uma equa¸˜o `s diferen¸as ca ca a c ak+1 + 2B ak + ak−1 = 0 178 k k ´ dada por ak = C1 r1 + C2 r2 , em que r1 , r2 s˜o ra´ distintas da equa¸˜o do segundo grau e a ızes ca r2 + 2Br + 1 = 0, i.e. r = −B ± B2 − 1 a) Obtenha uma express˜o para as solu¸˜es de ˜ uij = 0. Em particular, obtenha que a co uij = 1 + µ ± (1 + µ)2 − 1 i 1−µ± (1 − µ)2 − 1 j , s˜o solu¸˜es de ˜ uij = 0, se µ ≥ 2. a co b) Considere a aproxima¸˜o por diferen¸as ﬁnitas no intervalo [0, 21]× [0, 21] com dados de c √ xca Dirichlet u(x, y) = (3 + 8) cos(πy), usando h = 1. Mostre que a solu¸˜o do problema discreto ca ´ dada por e √ i uij = 3 + 8 (−1)j . Resolu¸˜o ca a) Temos 1 1 0 = ˜ uij = 2 (vi+1 − 2vi + vi−1 )wj + 2 vi (wj+1 − 2wj + wj−1 ) h h (vi+1 − 2vi + vi−1 )wj + vi (wj+1 − 2wj + wj−1 ) = 0 −(wj+1 −2wj +wj−1 ) (vi+1 −2vi +vi−1 ) = = 2µ vi wj vi+1 − 2vi + vi−1 = 2µvi wj+1 − 2wj + wj−1 = −2µwj vi+1 + (−2 − 2µ)vi + vi−1 = 0 wj+1 + (−2 + 2µ)wj + wj−1 = 0 portanto, escrevendo µ1 = −1 − µ, vi = A1 (−µ1 + e com µ2 = −1 + µ, wj = B1 (−µ2 + Em particular, temos uij = 1 + µ + (1 + µ)2 − 1 i µ2 − 1)i + A2 (−µ1 − 1 µ2 − 1)i , 1 µ2 − 1)j + B2 (−µ2 − 2 µ2 − 1)j . 2 (1 − µ + (1 − µ)2 − 1)j √ b) Imediato a partir do anterior. Sendo u(x, y) = (3 + 8)x cos(πy), e usando h = 1, os dados de fronteira ir˜o ser da forma a √ u(i, j) = (3 + 8)i cos(jπ), e agora basta reparar que cos(jπ) = (−1)j . 179 Para concluir, basta referir que se trata de uma solu¸˜o do problema discreto, j´ que do caso ca a anterior retiramos esta express˜o ao considerar µ = 2. a 10. Considere o problema de valores pr´prios o u + λu = 0 em u=0 sobre ∂ em que = [0, 2a] × [0, 2b]. a) Mostre que u = sin( kπ x) sin( kπ y) ´ solu¸˜o n˜o nula do problema anterior para certos e ca a 2a 2b valores de λ. b) Considerando apenas um ponto interior, determine qual a equa¸˜o discreta a resolver ca para encontrar a aproxima¸˜o dos valores pr´prios e compare a aproxima¸˜o com o primeiro ca o ca valor pr´prio. o Resolu¸˜o. ca a) Temos kπ kπ kπ kπ kπ 2 ∂x u = sin( x) sin( y) = −( )2 sin( x) sin( y) 2a 2b 2a 2a 2b logo kπ kπ u = − ( )2 + ( )2 u 2a 2b portanto os valores pr´prios ser˜o da forma λ = ( kπ )2 + ( kπ )2 , com k ∈ N. o a 2a 2b b) Efectuando a aproxima¸˜o por diferen¸as ﬁnitas, ca c ui−1,j − 2uij + ui+1,j ui,j−1 − 2uij + ui,j+1 + + λuij = 0 2 a b2 (−2( donde sai λ = 2( que comparada com o primeiro valor pr´prio o λ=( π π2 1 1 π 2 ) + ( )2 ∼ ( 2 + 2) 2a 2b 4 a b 1 1 + ) + λ)uij = 0 a2 b2 1 1 + 2) 2 a b ´ razo´vel, j´ que a diferen¸a entre π ∼ 2.46 (o valor exacto) e 2 (o valor aproximado) ´ bastante e a a c e 4 aceit´vel se atendermos a que ﬁzemos um aproxima¸˜o muito grosseira. a ca 2 180 9.2 . Elementos Finitos 1. Seja b(u, v) uma forma bilinear nas condi¸˜es do Teorema de Lax-Milgram. co a) Mostre que se a forma bilinear for sim´trica se pode obter a estimativa e ||u − uh || ≤ M inf ||u − vh ||. α vh ∈Vh b) Suponha que W ´ denso em V e que est´ deﬁnida uma aplica¸˜o Rh : W → Vh tal que e a ca h→0 lim ||v − Rh (v)|| = 0, ∀v ∈ W. Mostre que limh→0 ||u − uh || = 0. 2. Mostre que (6.1) ´ uma norma para a qual H m+1 ( )/Pm ´ um espa¸o de Banach. e e c Resolu¸˜o: ca ´ E claro que ||v||∗ e m+1, ≥ 0. Por outro lado, inf q∈Pm ||v − q||m+1, = 0 implica a existˆncia de uma sucess˜o de polin´mios qn ∈ Pm tal que a o qn → v, na norma H m+1 ( ), mas por outro lado Pm ´ um subespa¸o de dimens˜o ﬁnita, fechado, logo qn → q ∗ , com q ∗ ∈ Pm e c a ∗ , ou seja1 , v = 0. ˙ o que implica v = q ˙ e A propriedade ||αv||∗ = |α| ||v||∗ m+1, ´ imediata pois inf q∈Pm ||αv−q||m+1, = inf p∈Pm ||αv− m+1, αp||m+1, , fazendo p = q/α ∈ Pm . A desigualdade triangular resulta considerar sucess˜es de polin´mios qn e pn tais que o o ∗ ||v − qn ||m+1, → ||v||∗ m+1, , ||w − pn ||m+1, → ||w||m+1, e assim, ∗ ∗ ||v+w||∗ m+1, ≤ ||v+w−qn −pn ||m+1, ≤ ||v−qn ||m+1, +||w−pn ||m+1, → ||v||m+1, +||w||m+1, . A completude do espa¸o nesta norma resulta da completude de H m+1 ( ). c 3. Seja u(x) = |x|p . Discuta os valores de s em fun¸˜o de p, que veriﬁcam u ∈ H s (−1, 1). ca Considere tamb´m o caso bidimensional. e a e 4. Mostre que se os elementos ﬁnitos s˜o equivalentes aﬁns a um elemento de referˆncia, basta veriﬁcar a propriedade de unissolvˆncia para esse elemento. e 5. a) Indique as vari´veis nodais para o elemento de Lagrange rectangular de grau-m´ximo a a 1 considerando o elemento de referˆncia. Explicite qual o sistema a resolver para se obter a base e dual de polin´mios. Veriﬁque a propriedade de unisolvˆncia. o e b) O mesmo que em a) para o elemento de Lagrange rectangular de grau-m´ximo 2. a m+1 Note-se que ||v||∗ a a c ( )/Pm ser nulo ´ ser e m+1, = 0 ⇒ v ∼ 0, e n˜o v = 0. Como j´ referimos, no espa¸o H um polin´mio de grau ≤ m. o 1 181 6. Considere o elemento ﬁnito bidimensional cujo elemento geom´trico ´ um quadril´tero e e a qualquer, em que as fun¸˜es de forma s˜o polin´mios do segundo grau, e em que as vari´veis co a o a nodais s˜o deﬁnidas pelos valores da fun¸˜o nos v´rtices do quadrado {x1 , x2 , x3 , x4 }, no centro a ca e x5 e num outro ponto arbitr´rio x6 . a a) Mostre que se x6 ´ um ponto interior que n˜o est´ sobre as diagonais se veriﬁca a proe a a priedade de unissolvˆncia. e b) Encontre um exemplo em que x6 est´ sobre uma diagonal e n˜o se veriﬁca a propriedade a a de unissolvˆncia. e 7. Considere o elemento de Lagrange linear tridimensional. Deﬁna como elemento de referˆncia o tetraedro {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e explicite a base dual associada `s e a vari´veis nodais de Lagrange. a 8. Considere o caso de elementos de Lagrange quadr´ticos para aproximar a fun¸˜o v num a ca quadrado = ] − 1, 1[×] − 1, 1[ considerando uma malhagem regular com h < 0.1, v(x, y) = x2 + y se x > 0 , w(x, y) = xy3 . y se x ≤ 0 a) Deduza as estimativas de erro, comparando-as para as duas fun¸˜es. co ´ b) E poss´ encontrar uma malhagem de tal forma que nunca haja erro de interpola¸˜o ıvel ca para v? e para w? c) A t´ ıtulo de exerc´ (independente dos restantes) calcule ||v||1, . ıcio 9. Dada uma fun¸˜o v ∈ H 2 ( ) conhecida num c´ ca ırculo , interpolou-se com elementos de Lagrange lineares para dois valores de h. a) Sabe-se que a tabela de erros obtida foi aproximadamente h ||v − Π h v||1, 0.05 0.0125 0.01 0.0075 e admita que a desigualdade da estimativa de erro ´ aproximadamente uma igualdade. e i) Calcule os valores aproximados de C e tente justiﬁcar a diferen¸a. c ii) Qual o cuidado que teria que observar de forma a que o erro para h = 0.001 fosse aproximadamente 0.0025? b) Ainda para a mesma tabela de a) e admitindo que para h = 0.05 temos ||v − Π h v||0, ∼ 0.001, indique uma estimativa de erro para ||v − Π h v||0, considerando ii). 10. Deduza f´rmulas de erro para Q3 num triˆngulo, baseadas nas f´rmulas do erro de o a o interpola¸˜o. ca 11. Calcule aproximadamente o valor do integral x cos(y) dxdy E em que E = {(0, 0), (1, 1), (0, −1)} usando a primeira f´rmula Q3 acima referida. o 182 12. Considere o problema unidimensional u (x) + au (x) + bu(x) = cos(πx) u(0) = u(1) = 0 a) Escreva uma forma bilinear associada ao problema num espa¸o funcional apropriado e a c respectiva formula¸˜o variacional. Para que valores de a e b se pode aplicar o m´todo de Ritz? ca e b) Indique valores de a e b de maneira a que a forma bilinear seja cont´ ınua e coerciva. Qual a conclus˜o que pode retirar quanto ` solubilidade? a a c) Deﬁna os elementos ﬁnitos de Lagrange lineares para h = 0.25. d) Construa o sistema para resolver com h = 0.25. Trata-se de uma matriz invert´ ıvel? 13. Considere o problema num dom´ ınio = B(0, 1) ⊂ R2 − u(x) + λ(x)u(x) = f (x) em u = 0 sobre ∂ 1 em B(0, 1 ) 2 em que λ(x) = |x|2 , f (x) = 1 −1 em B(0, 1)\B(0, 2 ) a) Escreva a formula¸˜o variacional associada ao problema. O problema est´ bem posto? ca a Qual a regularidade que garante para u? b) Deduza a estimativa de erro para ||u − uh ||0, usando elementos ﬁnitos de Lagrange lineares. Se utilizarmos elementos de Lagrange quadr´ticos podemos garantir a priori a estimativa a 2 ) ? Justiﬁque. de erro ||u − uh ||1, = O(h 14. Considere o problema num dom´ ınio ⊂ R2 , div(c(x) u) = f (x) em u = 0 sobre ∂ em que c ´ uma fun¸˜o C ∞ ( ). e ca a) Deduza as formas bilinear e linear associadas ao problema variacional. b) Em que circunstˆncias se pode aplicar o m´todo de Ritz neste problema, ie. a minimiza¸˜o a e ca ´ equivalente ` resolu¸˜o do problema variacional? Qual o funcional que se minimiza? e a ca c) Mostre que est´ nas condi¸˜es de aplicabilidade do teorema de Lax-Milgram para certas a co condi¸˜es de c. co d) Supondo que f ∈ H 2 ( ), indique qual o grau de polin´mios que permite a melhor o convergˆncia. e 15. Considere o quadrado =]−1, 1[2 dividido pelas diagonais em 4 triˆngulos semelhantes. a Suponha que se considera a resolu¸˜o do problema ca − u = f (x) em u = 0 sobre ∂ . a) A partir das fun¸˜es de forma indique o problema discreto que se obt´m usando elementos co e de Lagrange lineares. b) Considere a aproxima¸˜o do integral atrav´s de uma regra de quadratura com um unico ca e ´ ponto central em cada elemento. Explicite a solu¸˜o. ca 183 16. Consideremos um operador diferencial de segunda ordem el´ ıptico, da forma 2 2 Du = −∂x u − a ∂y u + λu, em que as constantes a, λ s˜o positivas. Associamos a este operador a equa¸˜o a ca 2 2 − ∂x u − a∂y u + λ u = f com f ∈ L2 ( ), exigindo condi¸˜es de fronteira nulas em , dom´ co ınio com fronteira regular. a) Obtenha a formula¸˜o variacional, e estabele¸a a equivalˆncia entre a solu¸˜o fraca e forte ca c e ca 2 ( ) ∩ H 1 ( ). u∈H 0 1 ´ ca a e b) Mostre que se f ∈ H −1 ( ) existe uma unica solu¸˜o u ∈ H0 ( ) e que h´ dependˆncia cont´ ınua. 1 c) Mostre que se u ∈ H 4 ( ) ∩ H0 ( ) e utilizarmos elementos de Lagrange c´bicos, temos a u estimativa ||u − uh ||0, ≤ C h4 |u|4, . • Resolu¸˜o. ca ∞ a) Considerando fun¸˜es teste v ∈ Cc ( ) obtemos a partir de co 2 −∂x u v − 2 a ∂y u v + λ uv = fv e atrav´s da f´rmula de integra¸˜o por partes, como os termos no bordo se anulam, e o ca ∂x u∂x v + deﬁnindo-se assim a forma bilinear b(u, v) = a forma linear ser´ obviamente a l(v) = f v. ∂x u∂x v + a∂y u∂y v + λ uv a∂y u∂y v + λ uv = f v, 1 A solu¸˜o fraca, ser´ a solu¸˜o u ∈ H0 ( ) do problema variacional ca a ca 1 b(u, v) = l(v), ∀v ∈ H0 ( ). Equivalˆncia. Supondo que f ∈ L2 ( ) temos pelo teorema de regularidade u ∈ H 2 ( ) ∩ e 1 ( ). Como u veriﬁca Du = f ent˜o repetimos os passos anteriores. A f´rmula H0 a o 2 −∂x u v − 2 a ∂y u v + λ uv = f v, 2 1 ´ v´lida para v ∈ H0 ( ) pois temos u ∈ H 2 ( ) e assim ∂x u ∈ L2 ( ) e todos os integrais e a 1 c existem. O facto de v ∈ H0 ( ) garante que o tra¸o seja nulo sobre a fronteira e podemos obter pela f´rmula de integra¸˜o por partes (em espa¸os de Sobolev) o ca c ∂x u∂x v + a∂y u∂y v + λ 184 uv = f v, o que signiﬁca que u ´ uma solu¸˜o fraca. e ca 1 Reciprocamente, como admitimos que u ∈ H0 ( ) ent˜o a condi¸˜o de Dirichlet nula ´ a ca e ∞ ( ) ⊂ H 1 ( ) e invertendo os passos, obtemos a imediata, e por outro lado, tomando v ∈ Cc 0 partir de b(u, v) = l(v), 2 2 ∞ (−∂x u − a ∂y u + λu − f ) v = 0, ∀v ∈ Cc ( ) 2 2 o que signiﬁca que −∂x u − a ∂y u + λu − f = 0 æ. . 1 b) Iremos aplicar o teorema de Lax-Milgram em H0 ( ), tendo presente que pela desigualdade de Poincar´ a seminorma ´ uma norma neste espa¸o. e e c 1 i) Vejamos que se trata de uma forma coerciva em H0 ( ). • Comecemos por ver o caso em que λ = 0, |b(u, u)| = ou seja (∂x u)2 + a(∂y u)2 + λ u2 ≥ min{1, a, λ}( (∂x u)2 + (∂y u)2 + u2 ) em que α = min{1, a, λ} > 0 e assim ﬁca estabelecida a coercividade em H 1 ( ) e consequente1 mente em H0 ( ). • No caso em que λ = 0, |b(u, u)| = ou seja, |b(u, u)| ≥ α|u|2 , 1, em que α = min{1, a}. 1 ii) Vejamos que se trata de uma forma cont´ ınua em H0 ( ). Basta reparar que aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos |b(u, u)| ≥ α||u||2 , 1, (∂x u)2 + a(∂y u)2 ≥ min{1, a}( (∂x u)2 + (∂y u)2 ), |b(u, v)| ≤ | ∂x u∂x v| + a| ∂y u∂y v| + λ| u v| ≤ ≤ ||∂x u||L2 ||∂x v||L2 + a||∂y u||L2 ||∂y v||L2 + λ||u||L2 ||v||L2 e utilizando a desigualdade de Poincar´ ||u||L2 ≤ C|| u||L2 , portanto e |b(u, v)| ≤ (1 + a + λ)|| u||L2 || v||L2 = (1 + a + λ)|u|1, |v|1, . 1 Estamos assim nas condi¸˜es do teorema de Lax-Milgram em H0 ( ), podendo-se garantir a co 1 ( ) desde que f ∈ (H 1 ( )) = H −1 ( ). existˆncia e unicidade de solu¸˜o do problema em H0 e ca 0 o c) Resulta da estimativa (6.16), considerando m = 3, dado que se tratam de polin´mios c´bicos. O facto de se assumir que u ∈ H 4 ( ) garante que |u|4, existe. u 185 17. Considere o problema num dom´ ınio = B(0, 1) ⊂ R2 −div(β(x) u(x)) + u(x) = f (x) em u = 0 sobre ∂ 1 em B(0, 0.25) em que f (x) = −1 em B(0, 1)\B(0, 0.25) a) Escreva a formula¸˜o variacional associada ao problema, indicando as formas bilinear, ca linear e o espa¸o onde est˜o deﬁnidas. Qual o funcional que se pretende minimizar? c a b) Imponha condi¸˜es sobre β de forma a garantir que o problema esteja bem posto. Qual co a regularidade que garante para u? c) Considere a aproxima¸˜o usando elementos ﬁnitos de Lagrange lineares. Indique como ca calcular o integral num elemento (i, j) da matriz do sistema discreto, em que as fun¸˜es base co ˆ tenham apenas um triˆngulo comum E, tal que F (E) = E, a partir das fun¸˜es de forma no a co ˆ triˆngulo de referˆncia E. a e d) Sabendo que β ´ um polin´mio de grau q, qual o grau da f´rmula de quadratura que e o o permite obter valores exactos na matriz? Justiﬁque. e) Deduza a estimativa de erro para ||u − uh ||0, usando elementos ﬁnitos de Lagrange lineares. Se utilizarmos elementos de Lagrange quadr´ticos podemos garantir a priori a estimativa a de erro ||u − uh ||1, = O(h2 ) ? Justiﬁque. Resolu¸˜o: ca a) Multiplicando por uma fun¸˜o teste v e integrando, ca −div(β(x) u(x))v(x) + u(x)v(x)dx = agora, da f´rmula de integra¸˜o por partes vem o ca β(x) u. v − ∂n u v + ∂ f (x)v(x)dx uv = fv 1 Considerando o espa¸o H0 ( ), temos v = 0 em ∂ c e obtemos uv = fv, β(x) u. v + 1 1 deﬁnindo a forma bilinear em H0 ( ) × H0 ( ) b(u, v) = 1 e a forma linear em H0 ( ) β(x) u. v + uv l(v) = fv. A forma bilinear ´ sim´trica (o β em nada inﬂui na troca de u e v), portanto o problema e e variacional corresponde a minimizar o funcional 1 1 J(v) = b(v, v) − l(v) = 2 2 β(x)| v|2 + 186 1 2 |v|2 − f v, 1 sobre as fun¸˜es v que est˜o em H0 ( ). co a b) Vamos aplicar o Teorema de Lax-Milgram. Precisamos de mostrar coercividade e con1 tinuidade de b em H0 ( ) onde sabemos que a norma ´ a seminorma de H 1 ( ). e 1 (i) Coercividade em H0 ( ). Sabemos que b(u, u) = β(x) u. u + u2 ≥ m||u||2 ≥ m|u|2 1, 1, em que m = min{B, 1}, sendo inf x∈ β(x) = B > 0, assumimos que β ´ cont´ e ınua e positiva em ¯. 1 (ii) Continuidade em H0 ( ). Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz |b(u, v)| ≤ | β(x) u. v| + | uv| ≤ M || u||0, || v||0, + ||u||0, ||v||0, e pela desigualdade de Poincar´, e ||u||0, ||v||0, ≤ C 2 |u|1, |v|1, . Assim, temos |b(u, v)| ≤ (M + C 2 )|u|1, |v|1, c) Sejam ψi , ψj as fun¸˜es base cujo suporte comum ´ apenas um certo triˆngulo E. O co e a elemento (i, j) da matriz ´ dado por e b(ψi , ψj ) = E β(x) ψi . ψj + E ψi ψj . Como h´ apenas um triˆngulo comum, n˜o se trata de um elemento da diagonal, ou seja ψi = ψj . a a a Assim sendo, em E, ψi ´ deﬁnida por uma fun¸˜o de forma ϕi diferente da fun¸˜o de forma ϕj que e ca ca deﬁne ψj , a estas fun¸˜es de forma diferentes em E ir˜o corresponder fun¸˜es de forma diferentes co a co ˆ em E, que iremos designar por ϕ1 e por ϕ2 , respectivamente. Como ϕi , ϕj s˜o polin´mios do ˆ ˆ a o primeiro grau, o termo ϕi . ϕj ser´ uma constante que designamos Kij. a Por outro lado temos ϕi (x) = ϕ1 (F −1 (x)) e ϕj (x) = ϕ2 (F −1 (x)), e portanto ˆ ˆ b(ψi , ψj ) = E β(x)Kij dx + E ϕ1 (F −1 (x))ϕ2 (F −1 (x))dx. ˆ ˆ Agora podemos levar a integra¸˜o para o elemento de referˆncia, ca e b(ψi , ψj ) = ˆ E β(F (ˆ))Kij | det A| dˆ + x x ˆ E ϕ1 (ˆ)ϕ2 (ˆ)| det A| dˆ, ˆ x ˆ x x em que x = F (ˆ) = Aˆ + b e aplicar uma f´rmula de quadratura, x x o M M b(ψi , ψj ) = m=1 wm β(F (ˆm ))Kij | det A| + ˆ x 187 wm ϕ1 (ˆm )ϕ2 (ˆm )| det A|, ˆ ˆ z ˆ z m=1 em que wm s˜o os pesos e zm os pontos de Gauss no triˆngulo de referˆncia. ˆ a ˆ a e Considerando por exemplo ϕ1 (x, y) = x e ϕ2 (x, y) = y e a f´rmula de Gauss com os 3 pontos ˆ ˆ o m´dios (correcta para polin´mios de grau 2) obtemos: e o 1 1 b(ψi , ψj ) = β(F (ˆm , ym ))Kij | det A| + x ˆ xm ym | det A|. ˆ ˆ 6 6 m=1 m=1 que ser´ correcta se β for um polin´mio de grau 2. a o d) Precisamos que as f´rmulas tenham pelo menos grau 2 para calcular exactamente E ϕ1 (ˆ)ϕ2 (ˆ). o ˆ ˆ x ˆ x No outro integral apenas entra a fun¸˜o β, logo precisamos que a f´rmula tenha pelo menos ca o grau q. Juntando estas duas informa¸˜es conclu´ co ımos que o grau ter´ que ser max{2, q}. a e) Como a fun¸˜o f apresenta uma descontinuidade em B(0, 0.25) n˜o tem derivadas regca a ulares, no entanto podemos garantir que pelo menos ´ uma fun¸˜o L2 ( ), e pelo teorema de e ca regularidade concluimos que u ∈ H 2 ( ), pois assumimos que tem fronteira regular... ´ um e c´ ırculo! Estando a usar elementos de Lagrange lineares, m = 1, e podemos assim apresentar a estimativa ˜ ||u − uh ||0, ≤ Ch2 ||u||2, ≤ Ch2 , a j´ que se u ∈ H 2 ( ) ent˜o ||u||2, ´ limitado por uma constante. Tamb´m temos, a e e ˜ ||u − uh ||1, ≤ Ch1 ||u||2, ≤ Ch. Se usarmos elementos de Lagrange quadr´ticos, m = 2, e por isso dever´ a ıamos obter ||u − uh ||0, ≤ Ch3 ||u||3, e ainda no entanto, como f ∈ H 1 ( ), n˜o garantimos que u ∈ H 3 ( ), e a norma ||u||3, n˜o ´ majorada / a a e por uma constante e esta estimativa n˜o se pode aplicar a priori. Assim sendo, n˜o podemos a a 2. garantir que ||u − uh ||1, ≤ Ch 18. Considere elementos ﬁnitos triangulares deﬁnidos num triˆngulo de referˆncia pelos a e 1 6 n´s {(0, 0), (1, 0), (0, 1), ( 3 , 1 ), ( 1 , 1 ), ( 1 , 1 )}, em que as vari´veis nodais est˜o deﬁnidas com o a a 3 4 4 6 6 condi¸˜es sobre a fun¸˜o nos n´s {(0, 0), (1, 0), (0, 1), ( 1 , 1 )} e sobre a fun¸˜o e as derivadas nos co ca o ca 4 4 1 1 n´s {( 3 , 1 ), ( 1 , 6 )}. o 3 6 a) Explicite as vari´veis nodais e o sistema que permite obter a base de polin´mios dual. a o b) O sistema tem solu¸˜o unica? Justiﬁque. ca ´ 19. Considere o seguinte problema. A deﬂex˜o de uma barra ´ dada pela equa¸˜o diferencial a e ca ordin´ria de quarta ordem a d2 d2 w c(x) 2 (x) = f (x) dx2 dx 188 ||u − uh ||1, ≤ Ch2 ||u||3, , 3 3 em que impˆmos as condi¸˜es de fronteira: o co w(a) = w(b) = dw dx (a) = 0 dw dx (b) = 0 a) Escreva a formula¸˜o variacional associada a este problema, indicando a forma bilinear, ca a forma linear, o espa¸o de fun¸˜es teste adequado e o funcional (de energia) que minimiza. c co b) Impondo condi¸˜es sobre c(x) mostre que o problema est´ bem posto para f ∈ H −2 (]a, b[). co a 189 Index Coeﬁcientes de Lam´, 47 e Condi¸˜o ca de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), 76 de Dirichlet, 8 de Neumann, 8 de Robin, 8 Consistˆncia de um esquema, 62 e Convergˆncia de um esquema, 62 e Coordenadas baricˆntricas, 120 e polares, 24 Crit´rio de Von Neumann, 59, 61 e Delta de Dirac, 10 Derivada de Fr´chet, 87 e Desigualdade de Korn, 156 de Poincar´, 96 e Diferen¸as c Centradas (Primeira Ordem), 14 Centradas (Segunda Ordem), 15 Progressivas, 13 Regressivas, 13 Dirac (delta de), 81 Elemento Finito curvil´ ıneo, 138 de Argyris, 115 de Clough-Tocher, 116 de Hermite C´bico, 113 u de Lagrange C´bico, 112 u de Lagrange Linear, 110 de Lagrange Quadr´tico, 111 a deﬁni¸˜o de Ciarlet, 109 ca Paralelotopo (caso 3D), 118 Rectangular, 116 Serendipity, 117 Simplicial (caso 3D), 117 Equa¸˜o ca das Ondas, 9 de Black-Scholes, 9 de Laplace, 20 de Poisson, 7 de Schrodinger, 9 de Stokes, 49 do Calor, 9, 54 Equivalentes aﬁns (elementos ﬁnitos), 118 Espa¸os de Sobolev, 169 c Esquema Crank-Nicolson, 66 de Lax (Ondas), 76 Expl´ ıcito (Calor), 57 Expl´ ıcito Instavel (Ondas), 74 Impl´ ıcito (Calor), 63 Impl´ ıcito (Ondas), 75 Impl´ ıcitos θ (Calor), 65 Lax-Wendroﬀ (Ondas), 78 Leap-Frog (Ondas), 78 Semi-Impl´ ıcito (Ondas), 75 Estabilidade de um esquema, 61 Forma bilinear coerciva, 86 cont´ ınua, 86 F´rmula o de Green, 162, 174 de integra¸˜o por partes, 161 ca de Quadratura de Gauss, 139 para o quadrado, 140 para o triˆngulo, 141 a Formula¸˜o variacional, 85 ca Fun¸˜o ca Biharm´nica, 46 o cut-oﬀ, 91 de Heaviside, 165 Harm´nica, 7 o sub-harm´nica, 28 o 190 Grau de uma aproxima¸˜o, 11 ca H −m ( ), 173 H 1/2 (∂ ), 172 1 H0 ( ), 91 m H0 ( ) caracteriza¸˜o, 173 ca deﬁni¸˜o, 171 ca Lei da Difus˜o de Fick, 8 a de Fourier da conductividade, 8 de Ohm, 8 Lema de Bramble-Hilbert, 125 Matriz Booleana, 147 M´todo e de Galerkin, 99 de Ritz, 89, 99 de Gauss-Seidel, 40 dos Coeﬁcientes Indeterminados, 11 SOR, 41 Operador Bilaplaciano, 46 de d’Alembert, 9 de Difus˜o, 8 a de Laplace, 7 de Tra¸o, 172 c Eliptico, 19 Parˆmetro de degenerescˆncia, 107 a e Princ´ ıpio do M´ximo/M´ a ınimo, 27, 28 do m´ximo discreto, 34 a do Valor M´dio, 28 e Problema de Cauchy, 29 de Dirichlet, 26 de Dirichlet-Neumann, 26 de Neumann, 27 Problemas Exteriores, 7 Interiores, 7 Solu¸˜o ca cl´ssica, 91 a 191 forte, 91 fraca, 91 Tensor das Tens˜es, 47 o Teorema da divergˆncia, 160 e de C´a, 101 e de Gauss, 160 de Lax (e Lax-Richtmyer), 63 de Lax-Milgram, 98 de Rellich-Kondrachov, 174 de Riesz, 94 - desigualdade de Poincar´ , 96 e do Tra¸o, 172 c Triangula¸˜o, 108 ca de Delauney, 108 Unissolvˆncia, 112 e W m,p , 170 Bibliograﬁa [1] Alves C.J.S., Fundamentos de An´lise Num´rica I. 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Análise Numérica de Equações Diferenciais Parciais (introdução)

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